Відношення – це частка двох чисел, а відсоток – це одна сота частина числа. На цих двох означеннях тримається весь розділ: задачі на відсотки, пропорції, рух, роботу, суміші та банківські нарахування. Цю тему розбирають на курсі математики KEVIN.
🔑 Головні правила
\(a : b = \dfrac{a}{b}\). Показує, у скільки разів перше число більше за друге або яку частину перше число становить від другого.
відношення не зміниться, якщо кожне з чисел помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля: \(20 : 16 = 5 : 4\).
\(1\% = \dfrac{1}{100} = 0,01\), тобто \(100\%\) числа \(a\) дорівнюють \(a\), а \(50\%\) числа \(a\) дорівнюють \(\dfrac{a}{2}\).
число відсотків поділити на \(100\): \(2\% = 0,02\), \(98\% = 0,98\), \(187\% = 1,87\).
дріб помножити на \(100\%\): \(0,8 = 80\%\), \(0,42 = 42\%\), \(\dfrac{3}{4} = 0,75 = 75\%\).
\(p\%\) від \(a\) дорівнюють \(a \cdot \dfrac{p}{100}\). Наприклад, \(13\%\) від \(40\) дорівнює \(0,13 \cdot 40 = 5,2\).
\(a = m : \dfrac{p}{100}\). Якщо \(19\%\) числа становлять \(57\), то число дорівнює \(57 : 0,19 = 300\).
\(\dfrac{a}{b} \cdot 100\%\). Наприклад, \(\dfrac{8}{16} \cdot 100\% = 50\%\), тобто \(8\) становить \(50\%\) від \(16\).
якщо банк щомісяця виплачує \(p\%\) внесеної суми \(A_0\), то через \(n\) місяців на рахунку буде \(A_n = A_0\left(1 + \dfrac{pn}{100}\right)\).
сума \(A_0\) під \(p\%\) річних через \(n\) років дає \(A_n = A_0\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^{n}\).
\(C = a \cdot n\), \(a = C : n\), \(n = C : a\), де \(a\) означає ціну одиниці товару, а \(n\) кількість.
\(s = v \cdot t\), \(v = s : t\), \(t = s : v\).
назустріч \(v_{\text{збл}} = v_1 + v_2\); в одному напрямку \(v_{\text{від}} = v_1 – v_2\) (якщо \(v_1 \gt v_2\)); у протилежних напрямках \(v_{\text{від}} = v_1 + v_2\).
за течією власна швидкість збільшується на швидкість течії, проти течії зменшується: \(15 + 2 = 17\) км/год і \(15 – 2 = 13\) км/год.
🗺 Оберіть підтему для детального розбору
Кожна підтема — окрема сторінка з реальними завданнями НМТ, покроковим методом та шпаргалкою.
📆 План підготовки — План підготовки, 4 тижні від нуля
Тиждень 1: означення відсотка й відношення. Переведення відсотків у дріб і назад, «швидкі» відсотки \(50\%\), \(25\%\), \(75\%\), відношення величин з однаковими одиницями. Тут же відпрацюйте зведення одиниць: хвилини в години, метри в міліметри.
Тиждень 2: три основні задачі на відсотки. Відсоток від числа, число за його відсотками, відсоткове відношення двох чисел. Кожен тип розвʼяжіть і множенням на десятковий дріб, і пропорцією, щоб бачити, що результат однаковий.
Тиждень 3: зміна величини у відсотках і задачі економічного змісту. Подорожчання й знижки, вартість товару \(C = a \cdot n\), задачі на роботу, прості й складні відсотки. Формули складних відсотків у довідкових матеріалах НМТ немає, тому її треба знати напамʼять і розуміти, що в дужках стоїть \(1 + \dfrac{p}{100}\), а в показнику кількість років.
Тиждень 4: задачі на рух і текстові задачі через рівняння. Рух назустріч, в одному напрямку, у протилежних напрямках, рух річкою, а потім задачі, де треба ввести \(x\) і скласти рівняння. Завершіть тиждень розбором реальних завдань НМТ нижче.
Як розв'язувати завдання теми — загальний метод
-
1 Визначте, що є \(100\%\)
Це те, від чого рахуємо: початкова ціна, зарплата квітня, вартість меншої рамки. Помилка тут ламає весь розвʼязок.
-
2 Зведіть одиниці до однакових
Відношення величин має сенс лише тоді, коли обидві виміряні однією одиницею.
-
3 Перекладіть відсотки в дріб
\(p\%\) стає \(\dfrac{p}{100}\), і далі ви працюєте зі звичайним множенням або діленням, а не з відсотками.
-
4 Виберіть модель
Відсоток від числа означає множення, число за відсотком означає ділення, відсоткове відношення означає дріб \(\dfrac{a}{b}\), помножений на \(100\%\). Для руху беріть \(s = v \cdot t\), для покупок \(C = a \cdot n\).
-
5 Не йде арифметикою - складайте рівняння
Позначте невідоме через \(x\), запишіть умову рівністю і знайдіть корінь.
-
6 Перевірте відповідь на здоровий сенс
Якщо величина зросла, результат мусить бути більшим за початковий; якщо шукали частину, вона не може перевищувати ціле.
Для миття рук в середньому використовують \(25\) л води, \(60\%\) якої марнується при їх намилюванні. Скільки води можна зберегти, закриваючи кран під час намилювання рук?
А) \(16\) л · Б) \(15\) л · В) \(10\) л · Г) \(18\) л · Д) \(12\) л
Б) \(15\) л. Тут потрібно знайти відсоток від числа: \(60\% = 0,6\), отже \(25 \cdot 0,6 = 15\) л. Приваблює варіант В) \(10\) л, бо це \(40\%\) від \(25\), тобто вода, яка витрачається з користю. Якщо неуважно прочитати, що саме марнується, легко порахувати «залишок» замість «збереженого».
У магазині одягу всі футболки коштують \(300\) грн. У магазині діє акція: отримай знижку на одиницю другого товару. Скільки гривень має заплатити покупець за дві такі футболки загалом, якщо за умовами акції за другу футболку він має заплатити на \(40\%\) менше?
А) \(180\) грн · Б) \(450\) грн · В) \(420\) грн · Г) \(120\) грн · Д) \(480\) грн
Д) \(480\) грн. Друга футболка коштує на \(40\%\) менше, тобто \(300 \cdot 0,6 = 180\) грн, а разом \(300 + 180 = 480\) грн. Варіант А) \(180\) грн - це ціна лише другої футболки, варіант Г) \(120\) грн - це сама знижка \(300 \cdot 0,4\). Обидва хибні варіанти виникають тоді, коли учень дорахував до потрібного числа, але забув, що питали про суму за дві футболки.
У травні заробітна плата працівника зросла на \(2\%\) порівняно з квітнем. Якою була заробітна плата цього працівника в квітні, якщо в травні вона зросла на \(605\) грн?
А) \(60\ 500\) грн · Б) \(1210\) грн · В) \(121\ 000\) грн · Г) \(3250\) грн · Д) \(30\ 250\) грн
Д) \(30\ 250\) грн. Це задача на число за його відсотками: \(605\) грн становлять \(2\%\) зарплати квітня, отже \(605 : 0,02 = 30\ 250\) грн. Варіант А) \(60\ 500\) грн отримують ті, хто поділив на \(0,01\) замість \(0,02\), тобто порахував \(1\%\). Варіант Б) \(1210\) грн виникає, якщо \(605\) не поділити, а помножити на \(2\).
Василь замовив виготовлення двох рамок для своїх картин. Вартість рамки для більшої картини на \(40\%\) вища за вартість рамки для меншої картини. Визначте вартість (у грн) рамки для більшої картини, якщо за обидві рамки Василь заплатив \(1560\) грн.
910. Тут арифметика вже не проходить, потрібне рівняння. Нехай менша рамка коштує \(x\) грн, тоді більша \(1,4x\) грн, і разом \(x + 1,4x = 1560\), тобто \(2,4x = 1560\) і \(x = 650\). Більша рамка: \(1,4 \cdot 650 = 910\) грн. Пастка в тому, що корінь рівняння \(650\) - це вартість меншої рамки, і саме це число хочеться записати у відповідь. Дочитуйте питання до кінця.
На діаграмі відображено частку відвідувачів (у %), які позитивно оцінили якість обслуговування в супермаркеті протягом пʼяти місяців року. Визначте місяць, у якому ця частка становила \(\dfrac{4}{5}\) від загальної кількості опитаних відвідувачів у цьому місяці.
А) січень · Б) лютий · В) березень · Г) квітень · Д) травень
Б) лютий. Ключ до завдання - переведення звичайного дробу у відсотки: \(\dfrac{4}{5} = 0,8 = 80\%\). Далі на діаграмі шукаємо місяць зі стовпчиком \(80\%\). Пастка в тому, що учень намагається шукати на діаграмі число \(4\) або \(5\), хоча діаграма підписана у відсотках, а дріб треба спершу перевести.
На діаграмі відображено інформацію про кількість проданих смартфонів протягом \(5\) місяців. На скільки відсотків середня кількість проданих за місяць смартфонів перевищує кількість смартфонів, проданих у квітні?
25. Це задача на зміну величини у відсотках, і головне тут правильно обрати \(100\%\). Питають, на скільки відсотків середнє перевищує квітень, отже за \(100\%\) беруть саме квітень: спершу знаходять різницю між середнім і квітнем, потім рахують, яку частину ця різниця становить від квітневого показника, і множать на \(100\%\). Найпоширеніша пастка - поділити різницю на середнє значення замість квітневого.
⚠️ Типові помилки по темі
Неправильно. \(0,2\) - це десятковий дріб, а не відсотки. Щоб отримати відсотки, дріб множать на \(100\%\), тому правильна відповідь \(20\%\). Це найчастіша плутанина в темі: два різні записи однієї величини сприймають як однаковий.
Неправильно. Множення на \(0,15\) дає лише розмір приросту, а не нову суму: грошей же не стало \(15\%\) від початкових. Стало \(115\%\), тому множити треба на \(1,15\), тобто на \(1 + \dfrac{p}{100}\). Саме тому у формулі складних відсотків у дужках стоїть одиниця.
Неправильно. Відсоток вважають від початкового значення величини. Різниця \(40\) грн від ціни \(400\) грн дає \(10\%\), а та сама різниця від \(360\) грн дала б інше число. Змінили базу - змінили відповідь.
Неправильно. Відношенням величин називають відношення їхніх числових значень лише тоді, коли величини виміряні однією й тією самою одиницею. Спершу зводимо одиниці: \(4\) см \(= 40\) мм, і лише тоді \(40 : 12\).
Неправильно. За формулою складних відсотків сума множиться на \(\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)\) щороку, тобто \(A_3 = A_0\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^{3}\), і відсотки нараховуються вже на збільшену суму. Додавати відсотки за роки не можна, треба підносити множник до степеня.
Неправильно. У задачі про дві рамки корінь рівняння дає вартість меншої рамки, а питали про більшу. Після знаходження кореня обовʼязково повертайтеся до питання умови.
Що таке відношення двох чисел і як його знайти
Відношення двох чисел – це їхня частка. Воно показує, у скільки разів перше число більше за друге або яку частину перше число становить від другого. Якщо довжина дороги \(10\) км, а заасфальтовано \(8\) км, то \(10 : 8 = 1,25\), тобто вся дорога в \(1,25\) раза довша за заасфальтовану частину, і водночас \(8 : 10 = \dfrac{4}{5}\) дороги вже заасфальтовано.
Окремо про відношення величин: якщо дві величини вимірюють однією й тією самою одиницею, то відношенням цих величин називають відношення їхніх числових значень. Саме тому перед діленням одиниці треба звести до однакових. Щоб знайти відношення \(1\) год до \(25\) хв, спершу подаємо годину у хвилинах: \(1\) год \(= 60\) хв, і лише тоді \(60 : 25 = \dfrac{12}{5} = 2,4\).
Коментар викладачки. Ось тут учні найчастіше й губляться. Якщо в умові метри й міліметри, спершу переведіть усе в одну одиницю, а вже потім складайте дріб. І не бійтеся скорочувати в декілька етапів: скоротили один раз, дріб усе ще скоротний, скоротіть ще раз. У відповідь записуєте нескоротний дріб.
Відношення, обернене до заданого, отримуємо, помінявши місцями числа: для \(a : b\) оберненим є \(b : a\), тому для \(19 : 12\) оберненим буде \(12 : 19\).
Як перевести відсотки в дріб і дріб у відсотки
Щоб перетворити відсотки в десятковий дріб, кількість відсотків ділять на \(100\), а щоб перетворити дріб у відсотки, його множать на \(100\%\). Тобто \(40\% = 0,4\), \(263\% = 2,63\), і навпаки \(1,34 = 134\%\), \(0,372 = 37,2\%\). Звичайний дріб спершу переводять у десятковий, а потім множать на \(100\%\): \(\dfrac{3}{4} = 0,75 = 75\%\).
Варто запамʼятати «швидкі» відсотки, бо на них будується половина усних прикидок: \(\dfrac{1}{2} = 50\%\), \(\dfrac{1}{4} = 25\%\), \(\dfrac{3}{4} = 75\%\). Також корисно бачити, що \(100\% = 1\), \(300\% = 3\), \(480\% = 4,8\).
Як знайти відсотки від числа і число за його відсотками
Щоб знайти \(p\%\) від числа, запишіть відсотки десятковим дробом і помножте число на цей дріб. Наприклад, молоко містить \(4\%\) жиру, і в \(500\) кг молока жиру буде \(500 : 100 \cdot 4 = 20\) кг: спершу знаходимо \(1\%\), потім потрібну кількість відсотків.
Обернена задача розвʼязується діленням. Робітникові виплатили авансом \(1400\) грн, що становить \(35\%\) зарплати. Записуємо \(35\% = 0,35\) і ділимо: \(1400 : 0,35 = 4000\) грн. Той самий результат дає пропорція \(\dfrac{1400}{x} = \dfrac{35}{100}\).
Третій тип задачі – відсоткове відношення. Щоб дізнатися, скільки відсотків одне число становить від іншого, перше число ділять на друге і множать на \(100\%\). У класі \(30\) учнів, з них \(27\) відвідали театр, отже \(\dfrac{27}{30} \cdot 100\% = 90\%\).
Як порахувати, на скільки відсотків змінилася величина
Щоб дізнатися, на скільки відсотків величина збільшилася або зменшилася, спочатку знаходять, на скільки одиниць вона змінилася, а потім рахують, скільки відсотків ця різниця становить від початкового значення. Карта памʼяті коштувала \(400\) грн, а стала коштувати \(360\) грн: різниця \(400 – 360 = 40\) грн, і \(\dfrac{40}{400} \cdot 100\% = 10\%\).
Так само рахують банківський відсоток за фактом. Вкладник поклав \(8000\) грн, а через рік забрав \(9440\) грн. Прибуток \(9440 – 8000 = 1440\) грн, а \(\dfrac{1440}{8000} \cdot 100\% = 18\%\), отже банк нараховує \(18\%\) річних.
Коментар викладачки. За \(100\%\) ми завжди беремо те, від чого нам потрібно порахувати. Це головна фраза всієї теми. Якщо в умові написано «зросла порівняно з квітнем», то \(100\%\) – це квітень, а не травень. Один раз це зрозумієте, і половина помилок зникне.
Які текстові задачі бувають на НМТ
Текстові задачі економічного змісту – це задачі, повʼязані з вартістю товару, роботою, бюджетом сімʼї, покупками, податками й роботою банків, веденням господарства та використанням природних ресурсів. Базові моделі тут дві: вартість \(C = a \cdot n\), де \(a\) означає ціну одиниці товару, і задачі на роботу, де порівнюють продуктивність за одиницю часу.
Друга велика група – задачі на рух. Тут працює формула \(s = v \cdot t\) і три типові конфігурації: рух назустріч зі швидкістю зближення \(v_1 + v_2\), рух з однієї точки в одному напрямку зі швидкістю віддалення \(v_1 – v_2\) та рух у протилежних напрямках зі швидкістю віддалення \(v_1 + v_2\). Окремо стоїть рух річкою, де швидкість човна за течією і проти течії відрізняється на швидкість течії.
Третя група – задачі, які зводяться до рівняння. Програма прямо вимагає застосовувати рівняння, нерівності та системи рівнянь до розвʼязування текстових задач. Тобто якщо арифметичним шляхом задача не йде, ви вводите \(x\), складаєте рівняння і розвʼязуєте його.
❓ Часті запитання про тему
Чи дають на НМТ довідник з формулами?
Так, довідкові матеріали на НМТ видають, але формули складних відсотків у них немає. Тому її треба знати напамʼять і розуміти, що означає кожна її частина.
Скільки текстових задач буває на НМТ з математики?
Точну кількість завдань наперед ніхто не знає, вона змінюється між сесіями. Завдання на відсотки й текстові задачі є в програмі НМТ, тому тему пропускати не можна. У розборі вище зібрані завдання з сесій 2024, 2025 і 2026 років.
Як рахувати відсотки без калькулятора?
Через «швидкі» відсотки й скорочення дробів. Тримайте в голові \(\dfrac{1}{2} = 50\%\), \(\dfrac{1}{4} = 25\%\), \(\dfrac{3}{4} = 75\%\): щоб знайти \(50\%\) від \(280\), достатньо поділити на \(2\) і отримати \(140\). Числа в завданнях підбирають так, щоб дроби скорочувалися й обчислення були нескладними.
Чим відрізняються прості й складні відсотки?
За простими відсотками нарахування щоразу рахують від початкової суми: \(A_n = A_0\left(1 + \dfrac{pn}{100}\right)\). За складними відсотками нарахування щоразу рахують від уже збільшеної суми, тому множник підносять до степеня: \(A_n = A_0\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^{n}\).
Що робити, якщо задача не розвʼязується арифметично?
Вводьте невідоме і складайте рівняння. Програма НМТ прямо передбачає застосування рівнянь, нерівностей і систем рівнянь до текстових задач, тому це не «складніший спосіб», а другий законний інструмент. Приклад – задача про дві рамки, де \(x + 1,4x = 1560\).
Як зрозуміти, від чого брати \(100\%\)?
Від тієї величини, з якою порівнюють. Формулювання «зросла порівняно з квітнем» означає, що \(100\%\) – це квітень; «знизилася ціна» означає, що \(100\%\) – це початкова ціна. Відсоток завжди вважають від початкового значення величини.
Хочете план підготовки з математики під ваш рівень? Залиште імʼя і телефон, і ми передзвонимо.
🔗 Схожі теми: з Математики
Готуєтесь до НМТ з Математики? Запишіться на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN — визначимо ваш рівень і складемо план підготовки.
Отримати план підготовкиАбо зателефонуйте: +38 (073) 304 64 49