Комбінаторика – це розділ математики, що вивчає вибір і розташування елементів скінченної множини за заданими умовами. Статистика опрацьовує дані масових явищ, а ймовірність випадкової події дорівнює відношенню кількості сприятливих випадків до кількості всіх можливих. Цю тему розбирають на курсі математики KEVIN.
🔑 Головні правила
якщо елемент \(A\) можна вибрати \(k_1\) способами, а елемент \(B\) незалежно від вибору \(A\) можна вибрати \(k_2\) способами, то вибрати \(A\) або \(B\) можна \(k_1 + k_2\) способами.
якщо елемент \(A\) можна вибрати \(k_1\) способами і після кожного такого вибору елемент \(B\) можна вибрати \(k_2\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(k_1 \cdot k_2\) способами.
\(p(A) = \dfrac{m}{n}\), де \(n\) означає кількість усіх можливих випадків, а \(m\) кількість випадків, що сприяють появі події \(A\).
\(0 \le p(A) \le 1\), причому \(p = 1\) для вірогідної події і \(p = 0\) для неможливої.
\(p(A) = 0{,}5\) те саме, що \(p(A) = 50\%\).
якщо проведено \(n\) дослідів і подія \(A\) відбулася \(n(A)\) разів, то відносна частота дорівнює \(\dfrac{n(A)}{n}\).
\(p(AB) = p(A) \cdot p(B)\), а для кількох незалежних у сукупності подій \(p(A_1 A_2 \ldots A_n) = p(A_1) \cdot p(A_2) \cdot \ldots \cdot p(A_n)\).
🗺 Оберіть підтему для детального розбору
Кожна підтема — окрема сторінка з реальними завданнями НМТ, покроковим методом та шпаргалкою.
📆 План підготовки — План підготовки, 3 тижні від нуля
Відпрацюйте вголос розпізнавання «або» та «і», потім задачі на складання чисел із заданих цифр з повтореннями й без. Орієнтир готовності: ви без вагань пояснюєте, чому в одній задачі \(4 \cdot 3 \cdot 2\), а в іншій \(4 \cdot 4 \cdot 4\).
Спочатку задачі, де \(n\) дано прямо (учні класу, кульки в ящику), потім ті, де \(n\) треба порахувати самому через таблицю або правило добутку (два кубики, \(n = 36\)). Паралельно закріпіть межі: 0, 1 і рівноймовірні події.
Перестановки, розміщення й комбінації без повторень, а далі вибіркові характеристики та читання таблиць, гістограм, кругових діаграм і графіків. Закінчіть тиждень міксом: 10 завдань підряд із різних підтем, щоб мозок сам обирав інструмент.
Олесь хоче придбати дві марки для своєї колекції. У магазині є \(40\) різних марок із краєвидами та \(30\) різних історичних марок. Скількома способами Олесь може обрати одну марку з краєвидом та одну історичну марку?
А) \(70\) · Б) \(140\) · В) \(600\) · Г) \(1200\) · Д) \(1400\)
Г. В умові стоїть «одну марку з краєвидом та одну історичну», тобто беруть і ту, і ту. Це правило добутку: \(40 \cdot 30 = 1200\). Варіант А привертає увагу тим, що \(40 + 30 = 70\): так відповідає той, хто застосував правило суми замість добутку, тобто прочитав умову як «або одну, або другу».
На парковку, де вільними є десять паркомісць, заїжджають два автомобілі. Скільки всього є різних варіантів розміщення цих автомобілів на вільних паркомісцях?
А) \(20\) · Б) \(19\) · В) \(45\) · Г) \(90\) · Д) \(100\)
Г. Перший автомобіль можна поставити 10 способами, після цього для другого залишається 9 вільних місць, тому за правилом добутку \(10 \cdot 9 = 90\). Найпідступніший варіант тут В: \(45\) виходить, якщо поділити результат навпіл, тобто вважати автомобілі однаковими. Але автомобілі різні, і «перший на місці 1, другий на місці 2» це не те саме розміщення, що «перший на місці 2, другий на місці 1». Варіант Д \(=10 \cdot 10\) зʼявляється в тих, хто забув, що одне місце вже зайняте.
Одночасно підкинули два гральних кубики. Яка ймовірність того, що сума очок, які випадуть, дорівнює 6?
\(\dfrac{5}{36}\). Складають таблицю сум для двох кубиків: усіх можливих подій \(n = 36\), випадків із сумою 6 рівно 5, тобто \(m = 5\), а отже \(p = \dfrac{5}{36}\). Типова пастка тут у знаменнику: якщо взяти \(n = 12\) замість \(36\), відповідь злетить одразу.
⚠️ Типові помилки по темі
Неправильно. Додавання дає правило суми, і воно працює лише для вибору «або з першого набору, або з другого». Коли беруть по одному обʼєкту з кожного набору, це правило добутку і множення: \(4 \cdot 3 = 12\) варіантів обіду з 4 перших і 3 других страв, а не \(4 + 3\).
Неправильно. Другий множник зменшується, якщо обʼєкти не можуть зайняти одне й те саме місце: після заповнення першого місця для другого залишається на один варіант менше. Саме так у задачі про трицифрові числа без повторень виходить \(4 \cdot 3 \cdot 2\), а з повтореннями \(4 \cdot 4 \cdot 4\).
Неправильно. Ймовірність випадкової події може бути будь-яким числом від 0 до 1, ймовірність вірогідної події дорівнює рівно 1, а неможливої 0. Значення понад одиницю означає помилку в підрахунку \(m\) або \(n\).
Неправильно. Частота \(n(A)\) це кількість разів, коли подія відбулася, відносна частота це \(\dfrac{n(A)}{n}\), і вона змінюється від серії до серії. Ймовірністю відносну частоту вважають лише тоді, коли дослідів проведено дуже багато і її значення тримається біля певного числа.
Неправильно. Це різні форми подання тих самих оброблених даних: у підручнику один і той самий розподіл 50 девʼятикласників за рівнями навчальних досягнень подано і таблицею, і гістограмою, і круговою діаграмою. Обирають ту форму, яка наочніша, а графік беруть для змін величини в часі.
Що саме треба вміти за програмою НМТ
Програма формулює вимоги дуже конкретно, тому їх зручно використати як власний чек-лист. Розділ називається «Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики», і в ньому перелічено таке: означення перестановки, комбінації, розміщення без повторень, комбінаторні правила суми та добутку, класичне означення ймовірності події, означення вибіркових характеристик рядів даних (розмаху вибірки, моди, медіани, середнього значення), а також графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичних даних.
Від вас вимагають: розвʼязувати задачі, використовуючи перестановки, комбінації, розміщення без повторень і комбінаторні правила; обчислювати ймовірності випадкових подій, користуючись означенням і комбінаторними схемами; обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних. Окремим пунктом у загальних вимогах стоїть уміння аналізувати інформацію, подану в графічній, табличній, текстовій та інших формах, тобто читати діаграми й таблиці.
Як зрозуміти, коли додавати, а коли множити
Орієнтир простий: сполучник «або» дає додавання, сполучник «і» дає множення. Легкоатлет обирає одну пару взуття з 5 пар кросівок або 2 пар кедів, тому варіантів \(5 + 2 = 7\). Учень бере один пиріжок і одну склянку соку з 4 видів пиріжків та 3 видів соку, тому варіантів \(4 \cdot 3 = 12\). Обидва правила поширюються на три і більше елементів.
Далі схема ускладнюється лише кількістю кроків. Скільки трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, якщо цифри не повторюються? Для сотень маємо 4 способи, після заповнення сотень для десятків залишається 3 способи, для одиниць 2 способи, тому за правилом добутку виходить \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\) числа. Якщо цифри повторюються, кожне з трьох місць заповнюється 4 способами, і чисел стає \(4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\).
Коли в задачі є додаткова умова, правила працюють разом. Скільки парних пʼятицифрових чисел можна скласти з цифр 5, 6, 7, 8, 9 без повторень? Парним число буде тоді, коли останньою цифрою стане 6 або 8, а всередині кожного випадку решта місць заповнюється і так, і так: \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\) числа для кожного варіанта останньої цифри.
Коментар викладачки. Ідемо далі, і ось тут головне. Перш ніж рахувати, проговоріть умову вголос своїми словами й почуйте в ній сполучник. «Одну марку з краєвидом і одну історичну» це «і», значить множення. «Кросівки або кеди» це «або», значить додавання. Ця вголос сказана фраза економить більше балів, ніж будь-яка формула.
Як обчислити ймовірність випадкової події
Ймовірність випадкової події \(A\) дорівнює відношенню кількості випадків, що сприяють появі події \(A\), до кількості всіх можливих випадків: \(p(A) = \dfrac{m}{n}\). Порядок дій завжди один: спочатку знаходите \(n\), потім \(m\), потім ділите.
Найпростіший приклад із підручника: із 30 учнів класу 12 мають з алгебри оцінки високого рівня, тому \(n = 30\), \(m = 12\), а ймовірність того, що навмання вибраний учень матиме оцінку високого рівня, дорівнює \(0{,}4\).
Складніший випадок – коли всі можливі випадки треба спершу порахувати самому. Одночасно підкидають два гральних кубики, і всіх можливих подій тут \(n = 36\). Якщо потрібна ймовірність того, що сума очок дорівнює 6, складають таблицю сум і знаходять 5 таких випадків, тобто \(m = 5\). Саме тому таблиця чи схема тут не марна трата часу, а спосіб не загубити варіант.
Окремо запамʼятайте три граничні значення. Ймовірність вірогідної події дорівнює 1, ймовірність неможливої події дорівнює 0, а ймовірність випадкової події може бути будь-яким числом від 0 до 1. Події, ймовірність яких у цьому випробуванні однакова, називають рівноймовірними: коли в ящику одна біла й одна чорна кулька, \(p(A) = p(B) = 0{,}5\).
Чим відрізняється відносна частота від ймовірності
Відносна частота – це відношення \(\dfrac{n(A)}{n}\), де \(n(A)\) означає кількість дослідів, у яких подія відбулася, а \(n\) загальну кількість дослідів. Саме число \(n(A)\) називають частотою події. Наприклад, кубик підкинули 150 разів, шістка випала 24 рази: 24 це частота, а \(\dfrac{24}{150}\) відносна частота.
Відносна частота змінюється, якщо змінити кількість дослідів або провести іншу серію за тих самих умов. Якщо ж дослідів дуже багато й відносна частота тримається біля певного числа, це число називають статистичною ймовірністю події. Класичний приклад: у дослідах Бюффона, Пірсона, Феллера та інших учених із багаторазовим підкиданням монети відносна частота випадання аверса щоразу виявлялася близькою до 0,5.
Звідси головний висновок теми: що більше проведено дослідів, то ближчим є значення відносної частоти випадкової події до ймовірності цієї події. Проводити численні досліди складно, а іноді неможливо, тому в задачах здебільшого користуються саме класичним означенням.
Що таке статистичні дані й у якому вигляді їх подають
Математична статистика – це розділ математики, що вивчає математичні методи систематизації, обробки та дослідження статистичних даних для наукових і практичних висновків. Самі статистичні дані стосуються явищ, процесів і подій масового характеру. Назва походить від латинського status, тобто «стан», «становище».
Після обробки результати подають у найбільш наочному та стислому вигляді. Форм подання чотири, і всі вони трапляються в завданнях: таблиця, стовпчаста діаграма (у статистиці її називають гістограмою), кругова діаграма і графік. Графік беруть тоді, коли дані відображають зміну величини протягом певного проміжку часу, наприклад по роках.
Схема обробки в підручнику показана на балах 50 девʼятикласників: спочатку дані згрупували за рівнями навчальних досягнень (початковий 1-3 бали, середній 4-6, достатній 7-9, високий 10-12), підрахували кількість учнів у кожній групі й лише потім побудували таблицю та діаграми. Тобто спершу групування, і лише після нього картинка.
❓ Часті запитання про тему
Скільки завдань із комбінаторики й статистики буває на НМТ з математики
Точну кількість наперед не називають, але тема входить до програми НМТ окремим розділом і серед обовʼязкових умінь прямо стоїть «розвʼязувати комбінаторні задачі та обчислювати ймовірності випадкових подій». У реальних варіантах 2026 року завдання цього розділу стояли під номером 11.
Що складніше вивчити: комбінаторику чи ймовірність
Починати треба з комбінаторики, бо ймовірність спирається на неї. У формулі \(p(A) = \dfrac{m}{n}\) обидва числа часто доводиться рахувати саме комбінаторними правилами, тому без упевненого множення варіантів ймовірність не піде.
Як швидко перевірити, чи правильно обчислено ймовірність
Подивіться на результат: він має лежати в межах від 0 до 1. Значення понад одиницю або відʼємне означає помилку в \(m\) чи \(n\). Додатково перевірте, чи не переплутано чисельник зі знаменником: сприятливих випадків не може бути більше, ніж усіх можливих.
Чи потрібно вчити формули перестановок і комбінацій напамʼять
Так, програма вимагає означення перестановки, комбінації та розміщення без повторень і вміння розвʼязувати задачі з їх використанням. Це окремий пункт розділу поряд із комбінаторними правилами суми та добутку.
Що означає «проаналізувати дані з діаграми» в завданні
Це вміння читати оброблені статистичні дані в будь-якій із форм подання: таблиці, гістограмі, круговій діаграмі чи графіку. Серед вимог програми окремо стоїть здатність аналізувати інформацію, подану в графічній, табличній, текстовій та інших формах.
Чому в одній задачі множники однакові, а в іншій зменшуються на одиницю
Усе залежить від того, чи можуть обʼєкти повторюватися. Якщо повторення дозволені, кожне місце заповнюється однією й тією самою кількістю способів: \(4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\). Якщо ні, після кожного вибору варіантів стає на один менше: \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\).
Хочете план підготовки з математики під ваш рівень? Залиште імʼя і телефон, і ми передзвонимо.
Авторка: Анастасія Носенко, викладачка математики KEVIN. НПУ ім. М.П. Драгоманова, 6 років досвіду, 1 676 учнів за цей рік.
🔗 Схожі теми: з Математики
Готуєтесь до НМТ з Математики? Запишіться на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN — визначимо ваш рівень і складемо план підготовки.
Отримати план підготовкиАбо зателефонуйте: +38 (073) 304 64 49