Планіметрія на НМТ – це 4-5 завдань тесту з математики (≈20% усієї роботи). Часто йде в парі зі стереометрією і вимагає глибокого розуміння аксіом, теорем та властивостей фігур на площині.
Нижче: 8 базових формул площ → 3 ключові теореми (Піфагора, синусів, косинусів) → 6 типових помилок → план підготовки на 10 тижнів. Скільки ці бали важать при вступі разом з іншими предметами, рахує калькулятор конкурсного балу.
🔑 Усі формули теми на одній сторінці
Планіметрія – це візуальна геометрія, яку учні часто недооцінюють. «Я ж бачу трикутник!» Але на НМТ треба не «бачити», а застосовувати теореми: коли працює Піфагор, коли – синуси, коли – подібність. Без цього знання 4 балів за 4 задачі гарантовано пройдуть повз.
S = ½·a·h
S = ½·a·b·sinC
S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), де p = (a+b+c)/2
S = a·h або S = a·b·sinα
S = ½·(a+b)·h
S = π·R²
L = 2π·R
c² = a² + b² (для прямокутного трикутника)
c² = a² + b² − 2ab·cosC
🗺 Оберіть підтему для детального розбору
Кожна підтема — окрема сторінка з реальними завданнями НМТ, покроковим методом та шпаргалкою.
📆 План підготовки — План вивчення планіметрії — 10 тижнів від нуля до сертифікаційного рівня
Базові аксіоми планіметрії, сума кутів трикутника, нерівність трикутника. Види трикутників (рівнобедрений, рівносторонній, прямокутний) + властивості. Теорема Піфагора. Практика: 30 базових задач на трикутники, з яких 10 – з демо-варіантів УЦОЯО.
Узагальнення Піфагора на довільні трикутники. Коли яка теорема працює (синусів – для кут+сторона, косинусів – для 2 сторони+кут між ними). Подібність трикутників. Практика: 20 задач з вибором теореми.
4 типи чотирикутників (паралелограм, ромб, прямокутник, квадрат) + властивості. Трапеція. Коло і круг: вписаний/центральний кут, дотичні, хорди, вписані і описані многокутники. Формули площ для всіх фігур. Практика: 25 задач різних типів.
Складання повних варіантів НМТ за 60 хвилин. Перевірка одиниць виміру, перевірка логіки результату. Аналіз кожної помилки – на якому кроці помилилися. Робота над помилками – це найбільший приріст балів у фазі 4.
Як розв'язувати завдання теми — загальний метод
-
1 Зробіть рисунок (від руки, чорновик)
На НМТ часто рисунок не дається. Спочатку проведіть свій – навіть не точний. Підпишіть усі відомі величини: сторони, кути, висоти. Через 30 секунд бачите, що шукати і яка теорема підходить.
-
2 Визначте тип трикутника / чотирикутника
Прямокутний? Рівнобедрений? Рівносторонній? Паралелограм/ромб/прямокутник/квадрат? Від цього залежить, які формули працюють. Наприклад, у рівносторонньому трикутнику всі сторони рівні і всі кути 60°, тому h = a·√3/2.
-
3 Підберіть теорему під дані
Якщо є прямий кут – Піфагор. Якщо 2 сторони і кут між ними – теорема косинусів. Якщо потрібен невідомий кут – теорема синусів. Якщо площа через 3 сторони – Герон. Не використовуйте Піфагора у не-прямокутному трикутнику.
-
4 Шукайте подібність / рівність фігур
Якщо у задачі є 2 схожі трикутники – це може бути підказка. Сторони пропорційні, кути рівні. Через пропорцію можна знайти невідому сторону, не використовуючи теореми. На НМТ це швидше за теорему синусів.
-
5 Перевірте одиниці і логіку
Площа – у см². Довжина – у см. Кут – у градусах. Площа фігури зі сторонами 10 см не може бути 1000 см² (це площа квадрата зі стороною ~32 см). Якщо отримали «дивне» число – є помилка.
⚠️ Типові помилки по темі
Теорема Піфагора працює тільки у прямокутному трикутнику. У довільному - використовуйте теорему косинусів. Класична помилка: побачили 3 сторони, кинулися рахувати c² = a² + b², отримали невірний результат.
R - радіус (від центра до точки на колі). D - діаметр (з кінця в кінець через центр). D = 2R. Площа S = π·R² (через радіус), не через діаметр. Якщо у задачі дано D - спочатку поділіть на 2.
У теоремі косинусів - саме cos, не sin. У теоремі синусів - sin, не cos. Запам'ятати через формули: cos90° = 0 (Піфагор), sin90° = 1 (повний радіус 2R). Це різні теореми для різних задач.
Сума кутів трикутника = 180°. Якщо знайшли кут A = 100°, кут B = 90° - це помилка, бо сума вже 190°. Перевіряйте: A + B + C = 180°. На НМТ часто пастка з варіантами «150°, 100°, 50°» - здається правильно, але сума 300°.
Якщо сторона у см, а висота у м - спочатку переведіть до одного: 0.5 м = 50 см. Інакше площа буде у см·м = безглуздо. Особливо у задачах з трапеціями і трикутниками, де висота може бути в інших одиницях.
Центральний кут = подвоєний вписаний (якщо обидва спираються на одну дугу). На НМТ часто пастка: «знайдіть вписаний кут якщо центральний 80°» → відповідь 40°. Учні беруть 80°. Завжди ділимо центральний навпіл для вписаного.
Планіметрія – розділ геометрії, який вивчає фігури на площині (трикутники, чотирикутники, кола, многокутники). На відміну від стереометрії (об’ємні фігури), у планіметрії все «пласке» – двовимірне.
Базові аксіоми: через дві точки проходить одна пряма; сума кутів трикутника = 180°; вертикальні кути рівні; накрест лежачі кути при паралельних прямих рівні.
3 головні теореми НМТ:
- Піфагора: у прямокутному трикутнику c² = a² + b² (де c – гіпотенуза)
- Синусів: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (працює в будь-якому трикутнику)
- Косинусів: c² = a² + b² − 2ab·cosC (узагальнення Піфагора)
Відеорозбір: планіметрія
❓ Часті запитання про тему
Скільки завдань з планіметрії буде на НМТ?
4-5 завдань (≈15-20% тесту). Часто йде в парі зі стереометрією – наприклад, у задачі про піраміду спочатку треба знайти сторону основи через планіметрію, а потім підставити у формулу об’єму. Тому планіметрія – це фундамент стереометрії.
Які теореми обов'язково знати?
3 головні теореми: Піфагора (для прямокутних трикутників), синусів (a/sinA = 2R) і косинусів (c² = a² + b² − 2ab·cosC). Плюс властивості 4 типів чотирикутників (паралелограм, ромб, прямокутник, квадрат), вписаний/центральний кут у колі, ознаки подібності трикутників.
Чи дають формули площ на НМТ?
Так – УЦОЯО публікує довідник з основними формулами на самому НМТ. Формули площ трикутника, паралелограма, трапеції, круга там є. Але учні, які звертаються до довідника, втрачають час. Завчіть 8 базових формул назубок: testportal.gov.ua/…/ZNO_Math_dovidkovy-materialy.pdf
Як вивчити теореми Піфагора, синусів, косинусів за тиждень?
День 1-2: розберіть кожну теорему окремо + 5 базових задач на неї. День 3-4: змішані задачі – навчіться обирати, яка теорема підходить. День 5-6: задачі з НМТ-2024 demo. День 7: пробний тест. Через тиждень – повторення (інтервальне).
Чи треба знати тригонометричні формули для планіметрії?
Базові – так. cos і sin для основних кутів (0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°). Це 6 значень: sin0=0, sin30=½, sin45=√2/2, sin60=√3/2, sin90=1, sin180=0. cos йде «навпаки». Запам’ятайте таблицю – це 5 хвилин роботи, але економить години на тесті.
Як підготуватися до планіметрії з нуля?
Минимум 10 тижнів регулярних занять (4-6 годин на тиждень). Перші 2 тижні – базова теорія (визначення, аксіоми, ознаки фігур). Тижні 3-6 – теореми + типові задачі по кожній. Тижні 7-8 – формули площ. Тижні 9-10 – пробні тести + аналіз помилок. Це класичний цикл KEVIN.
🔗 Схожі теми: з Математики
Готуєтесь до НМТ з Математики? Запишіться на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN — визначимо ваш рівень і складемо план підготовки.
Отримати план підготовкиАбо зателефонуйте: +38 (073) 304 64 49