Коло — геометричне місце точок, рівновіддалених від центра. На НМТ. регулярні завдання, знаходження довжини, площі круга, властивості кутів, дотичних. Ключова теорема: вписаний кут дорівнює половині центрального, що спирається на ту саму дугу.
Коло і круг — це планіметрична тема НМТ. Учні, які не вивчили теорему про вписаний кут і властивості дотичної, втрачають до 4 балів. Це база для математики в школі та для технічних ЗВО.
🔑 Ключові формули
C = 2πR = πd
S = πR²
L = (πR · α) / 180°
S = (πR² · α) / 360°
∠вписаний = ∠центральний / 2
дотична ⊥ радіус (у точці дотику)
Як розв'язувати — покроковий метод
- 1 Намалюйте коло і відмітьте дані
Намалюйте коло, центр O. Якщо дано хорду, дотичну, кути, позначте їх на рисунку. Підпишіть радіус R, центральний кут α, вписаний кут β. Якщо є прямокутний трикутник, позначте квадратик у точці дотику.
- 2 Знайдіть тип кута
Центральний кут (вершина в центрі кола O) — дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається. Вписаний кут (вершина лежить на колі) — дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається. Кут між дотичною і хордою — дорівнює половині градусної міри дуги, яку ця хорда відсікає. Кут між двома хордами, що перетинаються всередині кола — дорівнює півсумі градусних мір двох протилежних дуг, які висікаються цими хордами.
- 3 Застосуйте теорему про вписаний кут
Якщо знаєте центральний кут: вписаний кут, що спирається на ту саму дугу, у 2 рази менший, а градусна міра самої дуги — така сама. Якщо знаєте вписаний кут: центральний кут у 2 рази більший, як і градусна міра дуги, на яку вони спираються. Якщо знаєте градусну міру дуги: центральний кут, який на неї спирається, дорівнює цій мірі, а вписаний — дорівнює її половині. Важливі константи: повне коло становить 360°, а вписаний кут, що спирається на діаметр (півколо 180°), завжди дорівнює 90°.
- 4 Використайте властивість дотичної
Радіус у точку дотику перпендикулярний до дотичної. Це дає прямокутний трикутник для Піфагора. Дві дотичні з однієї зовнішньої точки до кола рівні (це часта пастка у задачах НМТ).
- 5 Обчисліть та перевірте
Підставте у формулу. Перевірте розмірності (см для довжини, см² для площі). Якщо отримали кут понад 360° чи від’ємний, помилка. Якщо радіус від’ємний, помилка.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
У колі AB. діаметр. На колі взято точку C. Знайдіть кут ACB.
Знайдіть довжину дуги, яка відповідає центральному куту 60°, якщо радіус кола дорівнює 12 см.
З точки M, віддаленої від центра кола O на 13 см, проведено дотичну до кола. Знайдіть довжину дотичної, якщо радіус кола = 5 см.
⚠️ Типові помилки учнів
Коло, тема де геометрична інтуїція важливіша за формули. Малюйте, малюйте, малюйте, кожна задача стає очевидною коли є хороший рисунок з усіма позначеннями. Учні, які пропускають крок «намалюй чітко», втрачають частину задач на коло. Тренуйтеся за послідовністю: 1) елементи кола, 2) центральний/вписаний кути, 3) дотична, 4) теорема Фалеса, 5) комбіновані задачі.
Дивись також: Трикутники, Планіметрія.
Хочеш перевірити свій рівень з планіметрії? Запишись на безкоштовну 60-хвилинну онлайн-діагностику з експертом KEVIN: визначимо твій рівень з НМТ-математики та складемо персональний план підготовки. Залишити заявку →
Базові елементи. Центр (точка O), радіус (R), діаметр (d = 2R), хорда (відрізок між двома точками кола), діаметр, найдовша хорда. Дотична — пряма, що має з колом одну спільну точку, перпендикулярна до радіуса в точці дотику.
Центральний кут — вершина в центрі, сторони, два радіуси. Його градусна міра дорівнює міра дуги, на яку він спирається. Вписаний кут — вершина на колі, сторони, дві хорди. Завжди дорівнює ПОЛОВИНІ центрального кута, що спирається на ту ж дугу.
Теорема Фалеса для кола. кут, вписаний у півколо (спирається на діаметр), завжди прямий (90°). Це найчастіша «прихована» властивість у задачах НМТ.
Довжина: C = 2πR
Площа: S = πR²
Дуга: L = πRα/180°
Сектор: S = πR²α/360°
Вписаний кут: = центральний / 2
Кут у півколі: завжди 90°
Дотична ⊥ радіус у точці дотику
Дві дотичні з однієї точки рівні
❓ Часті запитання
Скільки задач на коло у НМТ з математики?
регулярні завдання. Часто з’являється комбінований кут (вписаний + дотична), знаходження довжини дуги, площі сектора або застосування теореми Фалеса (90° у півколі). Це теми, які гарантовано перевіряються.
Що таке вписане і описане коло?
Вписане коло, дотикається до всіх сторін многокутника зсередини. Описане коло, проходить через усі вершини многокутника. Для трикутника: радіус вписаного r = S/p, радіус описаного R = abc/(4S). У квадраті описане і вписане кола мають різні радіуси.
Як знайти радіус описаного навколо трикутника кола?
За теоремою синусів. R = a/(2·sin A) = b/(2·sin B) = c/(2·sin C). Для прямокутного трикутника простіше. R = c/2 (гіпотенуза, діаметр описаного кола, наслідок теореми Фалеса).
Чи можна провести коло через 3 точки?
Якщо 3 точки не лежать на одній прямій, так, і таке коло єдине. Якщо лежать на одній прямій, ні (це називається вироджений випадок). На НМТ зазвичай задача формулюється так, щоб гарантовано існувало коло.
Як знайти кут між двома хордами, що перетинаються всередині кола?
Дорівнює півсумі двох дуг, на які спираються кути (вертикальні дуги між хордами). Формула. ∠ = (дуга₁ + дуга₂) / 2. Якщо хорди перетинаються поза колом. ∠ = (дуга_більша − дуга_менша) / 2.
Що таке хорда і чим вона відрізняється від діаметра?
Хорда, відрізок, що з’єднує дві точки кола. Діаметр, хорда, що проходить через центр (найдовша). Будь-який діаметр, хорда, але не кожна хорда, діаметр. Діаметр у 2 рази довший за радіус.
Як ставитися до π у відповідях?
На НМТ зазвичай залишають π у точному вигляді (наприклад, 2π см). Якщо в умові вказано «округлити до десятих» чи «обчислити», беруть π ≈ 3,14. Калькулятор школьний має кнопку π з кращою точністю. У сертифікаційному рівні точна форма надається перевагою.