Трикутник — найпростіша плоска фігура з трьох сторін. На НМТ зустрічається у різних типах завдань: класифікація трикутників, обчислення сторін через теорему синусів/косинусів, знаходження площі через Герона. Сума кутів завжди 180°.
Трикутники — фундамент планіметрії та стереометрії: будь-який многокутник можна розбити на трикутники, а в стереометрії бічні грані піраміди — це трикутники. На НМТ з математики прямо чи опосередковано зачіпається регулярно. Без вільного володіння основними властивостями трикутників, а також правил використання формул неможливо розв’язати геометричні задачі.
🔑 Ключові формули
∠A + ∠B + ∠C = 180°
c² = a² + b²
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
c² = a² + b² − 2ab · cos C
S = ½ · a · h
S = ½ · a · b · sin C
S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), де p = (a+b+c)/2
Як розв'язувати — покроковий метод
- 1 Прочитайте умову та визначте тип трикутника
Звертайте увагу на ключові слова: «прямокутний» (один кут = 90°), «рівнобедрений» (дві сторони рівні), «рівносторонній» (всі сторони рівні). Це дозволяє визначити тип трикутника і підібрати формулу.
- 2 Намалюйте трикутник з підписами
Позначте вершини літерами A, B, C, сторони, a, b, c (a проти A, тобто a = BC). Підпишіть відомі величини. Якщо є прямий кут, позначте квадратиком. Якщо є рівні сторони, позначте однаковими рисочками.
- 3 💡 Лайфхак KEVIN №19 — упізнавай «єгипетський» трикутник 3-4-5 та подібні
Якщо у задачі прямокутний трикутник з двома сторонами, які потрапляють у ряд 3-4-5 (або кратний йому), — третю сторону знаходиш миттєво, без формули Піфагора.
Коефіцієнт Катет 1 Катет 2 Гіпотенуза ×1 (базовий) 3 4 5 ×2 6 8 10 ×3 9 12 15 ×4 12 16 20 ×5 15 20 25 ×10 30 40 50 Як працює: бачиш «катети 9 і 12» — гіпотенуза 15 (×3 від базового 3-4-5). Не обов’язково використовувати теорему Піфагора.
Викладачі KEVIN рекомендують запам’ятати цю властивість — у НМТ-варіантах прямокутні трикутники з єгипетським співвідношенням зустрічаються постійно.
- 4 Виберіть оптимальну формулу
Якщо потрібно визначити площу і дано три сторони → формула Герона. Якщо потрібно визначити кут чи вид трикутника за трьома сторонами → теорема косинусів. Треба знайти сторону, а дано іншу сторону і два кути → теорема синусів. Треба знайти третю сторону, якщо відомо дві сторони і кут між ними → теорема косинусів. Якщо ж треба знайти площу, а відомо дві сторони і кут між ними, то S = ½ab · sin C. Площу за основою і висотою шукаємо за формулою S = ½ah.
- 5 Перевірте на реальність відповіді
Сторона та площа не можуть бути від’ємними. Навпроти найбільшого кута має лежати найбільша сторона і навпаки. Кожна сторона менша за суму двох інших.
- 6 Запишіть одиниці виміру
Сторона у см → площа у см². Якщо сторони у різних одиницях, зведіть до одної (см або м). Кут, у градусах, якщо не вказано інакше.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть гіпотенузу.
Знайдіть площу трикутника зі сторонами 5 см, 12 см і 13 см.
У трикутнику ABC дано: AB = 7 см, AC = 5 см, кут A = 60°. Знайдіть BC.
⚠️ Типові помилки учнів
Трикутники, фундамент всієї планіметрії на НМТ. Якщо не впевнено володієш формулами та властивостями, не починай інші теми (чотирикутники, коло і круг, вписані і описані кути, інші многокутники), вони вимагають знань про трикутники. Тренуйся за такою послідовністю: 1) типи трикутників та їх властивості, 2) формули для знаходження площ, 3) теореми синусів/косинусів та наслідки, 4) подібні і рівні трикутники, 5) вписані та описані трикутники. На це треба 10-14 днів якщо рівень нульовий, або 5-7 днів якщо є базові знання.
Дивись також: Планіметрія (pillar), Нерівності.
Хочеш перевірити свій рівень з планіметрії? Запишись на безкоштовну 60-хвилинну онлайн-діагностику з експертом KEVIN: визначимо твій рівень з НМТ-математики та складемо персональний план підготовки. Залишити заявку →
Класифікація трикутників. За кутами: гострокутний (усі < 90°), прямокутний (один = 90°), тупокутний (один > 90°). За сторонами: різносторонній, рівнобедрений (дві сторони рівні), рівносторонній (три сторони рівні, усі кути по 60°).
Базові елементи: сторона, кут, висота (перпендикуляр з вершини до протилежної сторони), медіана (відрізок з вершини до середини протилежної сторони), бісектриса (ділить кут навпіл), серединний перпендикуляр.
Ключова властивість: сума внутрішніх кутів трикутника = 180°. Це базис для розв’язання більшості задач: якщо два кути відомі, третій знаходиться відніманням.
Сума кутів: 180°
Піфагор: c² = a² + b² (тільки прямокутний)
Косинусів: c² = a² + b² − 2ab·cos C
Синусів: a/sin A = 2R
Площа: ½ah або ½ab sin C або Герона
Нерівність: сторона < сума двох інших
❓ Часті запитання
Скільки задач на трикутники зустрічається у НМТ з математики?
2 тестових завдання (трикутники та чотирикутники), 1 завдання на хибні та правильні твердження (треба знати властивості і елементи, нерівність трикутника, умови вписання й описання кола), 1 завдання на відповідність (трикутники, чотирикутники, коло) та 1 задача на стереометрію (часто є комбінованою і зводиться до розв’язування трикутників). Підготовка по трикутниках одразу закриває значну частину геометричних балів.
Чи потрібно знати всі формули напам'ять?
Ні. На НМТ видається довідник з формулами. Там є всі базові формули (Піфагор, площа, теорема косинусів, синусів, формула Герона). Але треба вчити властивості.
Як зрозуміти, який трикутник прямокутний за умовою?
Ключові маркери в умові: 1) явно сказано «прямокутний трикутник», 2) один з кутів = 90°, 3) дано довжини сторін і вони задовольняють a² + b² = c² (обернена теорема Піфагора). Якщо немає прямого кута явно, застосовуй теорему косинусів, не Піфагора.
Що таке висота, медіана та бісектриса?
Висота — перпендикуляр з вершини до протилежної сторони. Медіана — відрізок з вершини до середини протилежної сторони. Бісектриса — ділить кут навпіл. У рівносторонньому трикутнику ці три збігаються; у рівнобедреному, збігається тільки та, що проведена до основи; у різносторонньому, різні відрізки.
Чому теорема косинусів, узагальнення Піфагора?
Теорема косинусів: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Якщо C = 90°, то cos 90° = 0, формула спрощується до c² = a² + b² — це і є теорема Піфагора. Для гострокутних трикутників член −2ab·cos C віднімається; для тупокутних, додається (бо cos > 90° від’ємний).
Як знайти площу трикутника, якщо дано тільки три сторони?
Формула Герона: спочатку півпериметр p = (a+b+c)/2, потім S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)). Приклад: сторони 3, 4, 5 → p = 6 → S = √(6·3·2·1) = √36 = 6. Альтернатива: за теоремою косинусів знайти кут, потім S = ½ab sin C — довше.
Що таке нерівність трикутника?
Будь-яка сторона трикутника менша за суму двох інших: a < b + c, b < a + c, c < a + b. Якщо нерівність порушена, трикутника з такими сторонами не існує. Це часта пастка: у тестових варіантах серед відповідей бувають «сторони» 2, 3, 6 — це не трикутник, бо 2+3 < 6.