Нерівність — це твердження про порядок виразів (>, <, ≥, ≤). Розв’язання, знайти усі x, при яких твердження істинне. Лінійні розв’язуються переносом доданків, квадратні та дробові, методом інтервалів. Головне правило: при діленні/множенні на від’ємне число знак нерівності обертається.
Нерівності — це регулярні завдання на НМТ з математики. Тема перевіряє не лише вміння розв’язувати, але й розуміння концепції «множина розв’язків». Учні, які плутаються зі знаками або не вміють записати відповідь інтервально, гарантовано втрачають бали. Ця тема, фундамент для оптимізаційних задач та функціонального аналізу у ЗВО.
🔑 Ключові формули
Якщо a < 0: a · x > b ⇔ x < b/a · a · x < b ⇔ x > b/a
ax² + bx + c > 0 (a > 0, D > 0) ⇒ x ∈ (−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞)
ax² + bx + c < 0 (a > 0, D > 0) ⇒ x ∈ (x₁; x₂)
a < b ⇒ a + c < b + c · a < b, c > 0 ⇒ ac < bc · a < b, c < 0 ⇒ ac > bc
(a; b), обидві проколоті · [a; b], обидві замкнуті · (a; b], a проколота, b замкнута
Як розв'язувати — покроковий метод
- 1 Визначте тип нерівності
Лінійна (ax + b ⋛ 0), квадратна (ax² + bx + c ⋛ 0), дробова (f/g ⋛ 0), степенева чи з модулем. Від типу залежить метод розв’язання. Найчастіше на НМТ, лінійні та квадратні.
- 2 Зведіть до стандартного вигляду
Усе в один бік, в іншому, 0. Наприклад, 2x + 5 > x − 1 → 2x + 5 − (x − 1) > 0 → x + 6 > 0. Для квадратних, стандартний вигляд ax² + bx + c < 0 або > 0.
- 3 Для лінійної, перенесіть і поділіть
Розв’язується як рівняння. Приклад: 3x − 6 > 0 → 3x > 6 → x > 2. ВАЖЛИВО: при діленні на від’ємне число знак обертається. Приклад: −2x > 4 → x < −2 (поділили на −2, знак став <).
- 4 Для квадратної, знайдіть корені та визначте знак
Знаходимо дискримінант, корені x₁, x₂. Малюємо параболу: вітки догори при a > 0, донизу при a < 0. Дивимось, де парабола додатна (вище осі Ox), а де від’ємна. Обираємо інтервали згідно зі знаком нерівності.
- 5 Для дробової, метод інтервалів
Знайдіть нулі чисельника (замкнуті ●, якщо нерівність нестрога) та знаменника (завжди проколоті ○). Розставте знаки в інтервалах за чергуванням. Виберіть інтервали з потрібним знаком. Точки розриву ВИКЛЮЧАЙТЕ навіть якщо ≥ або ≤.
- 6 Запишіть відповідь інтервальним записом
x ∈ (a; b) для проколотих кінців, x ∈ [a; b] для замкнутих. Об’єднання через ∪: x ∈ (−∞; −2) ∪ (3; +∞). Перевіряйте дужки: круглі для строгих нерівностей та точок розриву, квадратні для нестрогих та нулів чисельника.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Розв’яжіть нерівність −3(x − 2) ≥ 12.
Розв’яжіть нерівність x² − 5x + 6 ≥ 0.
Розв’яжіть нерівність (2x − 6)/(x + 1) ≤ 0.
⚠️ Типові помилки учнів
Нерівності — це автоматизм, який досягається 10-15 завданнями на день впродовж тижня. На НМТ найважче, не сам розв’язок, а грамотний інтервальний запис відповіді. Тренуйте: відразу після знаходження коренів пишіть відповідь у вигляді x ∈ (…) ∪ […]. І завжди двічі перевіряйте обернення знаку при діленні на від’ємне число — це гарантований -1 бал якщо проґавите.
Дивись також: Метод інтервалів, Логарифмічні та показникові рівняння, Дискримінант квадратного рівняння.
Хочеш перевірити свій рівень з алгебри? Запишись на безкоштовну 60-хвилинну онлайн-діагностику з експертом KEVIN: визначимо твій поточний рівень з НМТ-математики та складемо персональний план підготовки. Залишити заявку →
Лінійна нерівність ax + b ⋛ 0 розв’язується як лінійне рівняння, з однією ключовою відмінністю: при діленні (множенні) обох частин на від’ємне число знак нерівності обертається. Наприклад: −2x > 6 → x < −3 (поділили на −2, знак > став <).
Квадратна нерівність ax² + bx + c ⋛ 0, графічно це знак параболи. Якщо a > 0 і D > 0: парабола перетинає вісь Ox у двох точках x₁ і x₂. Між коренями значення параболи від’ємні, поза коренями, додатні. Залежно від знаку нерівності обираємо відповідні інтервали.
Дробова нерівність f(x)/g(x) ⋛ 0 розв’язується методом інтервалів. Кожен множник чисельника та знаменника прирівнюється до нуля, точки розриву (нулі знаменника) завжди ВИКЛЮЧАЮТЬСЯ з відповіді, навіть при нестрогій нерівності (≥, ≤).
Лінійна: ax + b ⋛ 0, переносимо, ділимо. При діленні на від’ємне → знак обертається.
Квадратна: знайти корені → намалювати параболу → визначити знак.
Дробова: метод інтервалів. Точки розриву (нулі знаменника), завжди проколоті ○.
Запис: ( ) для строгих та точок розриву, [ ] для нестрогих та нулів чисельника. Об’єднання через ∪.
❓ Часті запитання
Коли знак нерівності обертається?
При множенні або діленні обох частин на від’ємне число. Приклад: −2x > 4 → x < −2. При додаванні/відніманні знак НЕ змінюється — це найчастіша пастка. Множення/ділення на додатне число, теж НЕ змінює знак.
Як швидко вирішити квадратну нерівність?
1) Знайти корені x₁, x₂. 2) Намалювати параболу (вітки догори при a > 0). 3) Дивитися, де парабола має потрібний знак: вище осі, додатна, нижче, від’ємна. Для a > 0, D > 0: між коренями < 0, поза коренями > 0. Працює швидше після практики.
Що робити, якщо дискримінант квадратної нерівності від'ємний?
Якщо D < 0 і a > 0, парабола повністю над віссю Ox, тобто ax² + bx + c > 0 для всіх x. Якщо нерівність > 0, відповідь x ∈ (−∞; +∞) (усі дійсні числа). Якщо < 0, розв’язків немає. Аналогічно при a < 0 з протилежними висновками.
Як зрозуміти, чи точка проколота чи замкнута?
Якщо нерівність строга (>, <), точки проколоті ○ (нулі функції не входять у відповідь). Якщо нестрога (≥, ≤), точки замкнуті ● (нулі входять). АЛЕ точки розриву (нулі знаменника) ЗАВЖДИ проколоті, навіть при нестрогій нерівності.
Що означає система нерівностей?
Система — це декілька нерівностей, які мають виконуватись ОДНОЧАСНО. Розв’язуємо кожну окремо, потім знаходимо ПЕРЕТИН (інтерсекцію) розв’язків. Приклад: x > 2 і x < 5 → x ∈ (2; 5). Якщо хоча б одна з нерівностей не має розв’язків, система теж не має.
Чим відрізняється «сукупність» від «системи» нерівностей?
У сукупності […] виконується хоча б ОДНА з нерівностей, беремо ОБ’ЄДНАННЯ. У системі {…} мають виконуватись УСІ одночасно, беремо ПЕРЕТИН. Сукупність позначається квадратною дужкою [, система, фігурною {.
Як розв'язати нерівність з модулем?
За визначенням модуля: |x| < a (a > 0) ⇒ −a < x < a. |x| > a ⇒ x < −a або x > a. Для складніших, розкривають модуль за визначенням (|f| = f при f ≥ 0, −f при f < 0), отримуючи систему чи сукупність.
Чи може нерівність мати один єдиний розв'язок?
Так. Наприклад, (x − 3)² ≤ 0, лише x = 3 (бо квадрат не може бути від’ємним, а нерівність нестрога). Або x² + 1 < 0, розв’язків взагалі немає. Ці випадки на НМТ, пастки рівня «знайдіть кількість розв’язків».