Дискримінант — це число, яке показує скільки коренів має квадратне рівняння ax² + bx + c = 0. Формула: D = b² − 4ac. На НМТ зустрічається у завданнях.
Якщо D > 0 — два корені, D = 0 — один корінь, D < 0 — дійсних коренів немає. Нижче: повна формула → методика → 4 розв’язаних приклади з НМТ.
Без дискримінанта неможливо розв’язати жодне квадратне рівняння на НМТ. А квадратні рівняння — це багатьох завданнях тесту, плюс вони ховаються в текстових задачах, нерівностях, тригонометрії. Тому дискримінант — друге після формул скороченого множення базове знання алгебри.
🔑 Ключові формули
D = b² − 4ac
x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a (за умови D ≥ 0)
Якщо b = 2k, то D₁ = k² − ac
x₁,₂ = (−k ± √D₁) / a
x₁ + x₂ = −b/a
x₁ · x₂ = c/a
Як розв'язувати — покроковий метод
- 1 Запишіть рівняння у стандартному вигляді
ax² + bx + c = 0, де a, b, c — числа. Якщо рівняння записане не у такому вигляді (наприклад, 3x² + 5 = 2x), спочатку перенесіть усе в ліву частину: 3x² − 2x + 5 = 0. Тепер a = 3, b = −2, c = 5.
- 2 Визначте коефіцієнти a, b, c
Уважно зчитайте знаки. Часто помилка: рівняння x² − 3x − 4 = 0 → c = −4 (з мінусом), не +4. Пишіть на чернетці: «a = 1, b = −3, c = −4». Перевіряйте знак ще раз перед формулою.
- 3 Обчисліть дискримінант D = b² − 4ac
Для x² − 3x − 4 = 0: D = (−3)² − 4·1·(−4) = 9 + 16 = 25. Зверніть увагу: 4ac з мінусом перед всім виразом, але якщо c — від’ємне, виходить + (мінус на мінус дає плюс).
- 4 Перевірте знак D і визначте кількість коренів
D = 25 > 0 — два корені. Якщо D = 0 — один корінь (рідкий випадок на НМТ). Якщо D < 0 — коренів немає (часто пастка серед варіантів відповідей).
- 5 Знайдіть корені за формулою
√D = √25 = 5. x₁ = (3 + 5)/2 = 4, x₂ = (3 − 5)/2 = −1. Перевірка: x₁ · x₂ = 4 · (−1) = −4 = c/a ✓; x₁ + x₂ = 4 + (−1) = 3 = −b/a ✓.
- 6 Підставте корені у початкове рівняння (контроль)
Для x = 4: 4² − 3·4 − 4 = 16 − 12 − 4 = 0 ✓. Для x = −1: (−1)² − 3·(−1) − 4 = 1 + 3 − 4 = 0 ✓. Якщо хоч одна перевірка не сходиться — є арифметична помилка.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Скільки коренів має рівняння 2x² − 4x + 5 = 0?
Знайдіть корені рівняння x² − 7x + 12 = 0.
Знайдіть значення k, при якому рівняння x² − 4x + k = 0 має один корінь.
⚠️ Типові помилки учнів
Дискримінант — це індикатор, а не самоціль. Завжди питайте себе: «А чи можна без нього?». Для рівнянь з a = 1 і малими b, c — швидше Вієтою. Для всіх інших — дискримінант надійніший. Не забувайте про скорочений дискримінант, коли b парне: економить 20 секунд на задачу, а за тест це 5-10 секунд × частину задач = додатковий час на складні питання.
Викладачка Анастасія — КЕВІН, НПУ ім. Драгоманова, 4 роки досвіду.
Дивись також: Формули скороченого множення, Теорема Вієта, Нерівності.
Хочеш перевірити свій рівень з алгебри? Запишись на безкоштовну консультацію з експертом KEVIN: визначимо твій рівень з НМТ-математики та складемо персональний план підготовки. Залишити заявку →
Квадратне рівняння — рівняння виду ax² + bx + c = 0, де a ≠ 0. Числа a, b, c називаються коефіцієнтами (a — старший коефіцієнт, b — середній, c — вільний член).
Дискримінант — допоміжне число, яке обчислюється за формулою D = b² − 4ac. Він показує, скільки коренів має рівняння:
- D > 0 — два різні дійсні корені: x₁ = (−b + √D) / 2a, x₂ = (−b − √D) / 2a
- D = 0 — один корінь (двократний): x = −b / 2a
- D < 0 — дійсних коренів немає (тільки комплексні, які НЕ входять в НМТ)
Скорочений дискримінант — якщо b парне, можна використовувати D₁ = (b/2)² − ac. Це швидше за обчисленнями.
D = b² − 4ac | D > 0 → 2 корені | D = 0 → 1 корінь | D < 0 → коренів немає | x = (−b ± √D) / 2a
❓ Часті запитання
Як знайти дискримінант квадратного рівняння?
Формула: D = b² − 4ac, де a, b, c — коефіцієнти рівняння ax² + bx + c = 0. Підставте числа з рівняння у формулу, обчисліть. Наприклад, для x² + 3x − 4 = 0: D = 3² − 4·1·(−4) = 9 + 16 = 25.
Що означає D > 0, D = 0, D < 0?
D > 0 — рівняння має два різні корені (x₁ ≠ x₂). D = 0 — рівняння має один корінь (x₁ = x₂, так званий «двократний» корінь). D < 0 — рівняння НЕ має дійсних коренів (тобто розв’язків у звичайних числах). У НМТ варіант «коренів немає» зустрічається у завданнях.
Як знайти корені, якщо знаю дискримінант?
Формула: x₁ = (−b + √D) / 2a, x₂ = (−b − √D) / 2a. Знак ± розшифровуєте на два рівняння: один з +, другий з −. Якщо D = 0, обидва корені однакові: x = −b/2a.
Що швидше — дискримінант чи теорема Вієта?
Теорема Вієта швидше, коли коефіцієнти прості (a = 1, b і c — невеликі цілі числа). Тоді корені часто видно усно: для x² − 5x + 6 = 0 одразу видно x₁ = 2, x₂ = 3 (сума = 5, добуток = 6). Дискримінант надійніший, бо працює завжди. На НМТ використовуйте Вієта якщо бачите «легке» рівняння, інакше — дискримінант.
Чи дають довідник з дискримінантом на НМТ?
Так — УЦОЯО надає довідник з основними формулами на самому НМТ. Формули D = b² − 4ac і x = (−b ± √D) / 2a там є. Але учні, які звертаються до довідника під час тесту, втрачають час: втрату часу — не розв’язаних завдань. Завчіть формули назубок до тесту.
Як визначити дискримінант якщо b парне?
Якщо b = 2k (парне число), використовуйте скорочений дискримінант: D₁ = k² − ac. Корені: x = (−k ± √D₁) / a. Менше арифметики, швидше обчислення. Наприклад, для x² − 6x + 5 = 0: k = 3 (бо b = −6 = 2·(−3), отже k = −3), D₁ = 9 − 5 = 4, x = (3 ± 2) / 1 → x₁ = 5, x₂ = 1.
Скільки балів дають завдання на дискримінант на НМТ?
Безпосередньо «знайти дискримінант» — окремі завдання. Але дискримінант використовується у багатьох інших темах, нерівності, текстові задачі, задачі на функції. Тобто без дискримінанта ви втрачаєте значну частину балів. Це найприбутковіша інвестиція часу в підготовку до алгебри.