Алгебра на НМТ – це 11-12 з 22 завдань тесту з математики. Це не «одна тема», а 6 окремих блоків: рівняння, нерівності, тотожні перетворення, функції, прогресії, метод інтервалів. Без впевненої алгебри неможливо набрати високий бал.
Нижче: 6 базових формул скороченого множення → методика розв’язання → 7 типових помилок → план підготовки на 12 тижнів від нуля.
🔑 Усі формули теми на одній сторінці
Найбільший блок НМТ за обсягом. Якщо алгебра «провисає» – це автоматично −40-60 балів. Якщо тримається – фундамент під стереометрію, тригонометрію, текстові задачі.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a − b)(a + b)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
ax + b = 0 → x = −b/a (при a ≠ 0)
ax² + bx + c = 0 → D = b² − 4ac
x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a
🗺 Оберіть підтему для детального розбору
Кожна підтема — окрема сторінка з реальними завданнями НМТ, покроковим методом та шпаргалкою.
📆 План підготовки — План вивчення алгебри — 12 тижнів від нуля до сертифікаційного рівня
Вивчіть 6 формул скороченого множення (квадрат суми/різниці, куб суми/різниці, різниця квадратів, сума/різниця кубів). Запишіть від руки кожну формулу 3-5 разів – це закріплює краще за пасивне читання. Розберіться з лінійними та квадратними рівняннями: дискримінант, теорема Вієта, графічна інтерпретація.
Практика: 50 задач рівня «розв’язати рівняння», з яких мінімум 20 – з демо-варіантів УЦОЯО.
Лінійні нерівності, квадратні нерівності, метод інтервалів. Ключове – навчитися переводити нерівність у вигляд f(x) ≥ 0 та розкладати на множники. Особливу увагу – нерівностям з модулем (|x − 2| < 3) та дробовим (виду f/g ≥ 0).
Практика: 30 задач різних типів. Після кожної – звіряти з відповіддю та аналізувати помилку.
6 типів функцій (лінійна, квадратична, степенева, показникова, логарифмічна, тригонометричні) – їх властивості, графіки, область визначення. Розв’язання показникових (2^x = 8) та логарифмічних (log₂x = 3) рівнянь та нерівностей. Властивості логарифмів – обов’язково.
Практика: 25 задач на функції + 25 на показникові/логарифмічні рівняння.
Перехід від «розв’язування задач» до «складання повного варіанту НМТ за 60 хвилин» – на швидкість, з тренуванням стратегії «спочатку легкі, потім складні». Розбирайте кожну помилку: чому не вийшло, на якому кроці помилилися. Робота над помилками = +20 балів.
Практика: мінімум 4 повні варіанти НМТ-2024-2026 у реальних умовах.
Як розв'язувати завдання теми — загальний метод
-
1 Прочитайте умову двічі й визначте тип задачі
Перший крок, який рятує від багатьох помилок. Зрозумійте: це рівняння (з рівним «=») чи нерівність (зі знаками <, >, ≤, ≥)? Рівняння лінійне, квадратне, показникове чи дробове? Ключові слова – «розв’яжіть», «знайдіть», «спростіть», «розкладіть».
-
2 Запишіть ОДЗ
Область допустимих значень – те, при яких значеннях x вираз має сенс. Знаменник не може бути 0, під коренем не може бути від’ємного числа, логарифм існує лише для додатних аргументів. Корені поза ОДЗ – одна з частих помилок на НМТ. Запишіть ОДЗ ще до того, як починати розв’язувати.
-
3 Спростіть вираз
Використайте формули скороченого множення (різниця квадратів, куб суми тощо), щоб згрупувати або розкласти на множники. Часто після спрощення задача стає тривіальною. Наприклад, x² − 25 = 0 → (x − 5)(x + 5) = 0 → x = ±5.
-
4 Застосуйте відповідний метод
Для квадратних – формула дискримінанта або теорема Вієта. Для показникових – звести до однакової основи. Для логарифмічних – використати властивості логарифмів. Для дробових – спочатку звести до спільного знаменника, потім помножити обидві частини.
-
5 Перевірте корені на ОДЗ
Після того, як знайшли x, обов’язково підставте у ОДЗ. Якщо корінь не задовольняє ОДЗ – викресліть його. Це найчастіша «втрата балу» у відмінників: правильно розв’язали, але не перевірили.
-
6 Запишіть відповідь у потрібному форматі
На НМТ відповідь – це число або вираз без зайвих перетворень. Якщо є кілька коренів – записати в порядку зростання, через крапку з комою. Якщо нерівність – записати у вигляді інтервалу (наприклад, x ∈ (−∞; −2] ∪ [3; +∞)).
⚠️ Типові помилки по темі
Найчастіша помилка з алгебри на НМТ. Знаменник у рівнянні = (x−2), знайшли корінь x = 2 - а він не входить до ОДЗ. У відповіді 0 коренів, не 1. Правило: ОДЗ записати ще ДО розв'язання, не після.
2 − (x − 3) = 2 − x + 3 = 5 − x. Але учні часто пишуть «2 − x − 3 = −1 − x» (забули поміняти знак другого доданку у дужці). Це автоматично втрачений бал на тесті.
Маємо x² = 4x. Ділять на x → x = 4. Втратили корінь x = 0! Правильно: x² − 4x = 0 → x(x − 4) = 0 → x = 0 або x = 4. Ніколи не діліть на змінну без перевірки x = 0.
Якщо x² = 9, то x = ±3 (два корені). Але якщо √9 = ?, то це 3 (один невід'ємний корінь). У задачі x² = 9 пишуть лише x = 3 - і втрачають половину розв'язку.
(a − b)² ≠ a² − b². Це класична помилка. Правильно: (a − b)² = a² − 2ab + b². Той самий «середній член» 2ab - і про нього часто забувають. Перевірте: (3 − 1)² = 4, а 3² − 1² = 8. Не дорівнює.
Нерівність (x − 1)(x + 2) ≥ 0 не можна розв'язати «розкривши дужки і поділивши» - отримаєте неправильну відповідь. Тільки метод інтервалів: знайти нулі (x = 1, x = −2), позначити на осі, перевірити знак на кожному інтервалі.
2^x = 2^x · 4 → не можна просто «скоротити 2^x». Правильно: 2^x − 2^x · 4 = 0 → 2^x · (1 − 4) = 0 → 2^x = 0, що неможливо → коренів немає. Скорочення на 2^x приховує реальний розв'язок.
Алгебраїчне рівняння – рівність двох виразів, у яких є невідома (зазвичай позначається літерою). Розв’язати рівняння означає знайти всі значення невідомої, при яких рівність є істинною.
Тотожне перетворення – заміна виразу на рівносильний, без зміни ОДЗ (області допустимих значень). Базові тотожності – формули скороченого множення: (a±b)², (a±b)³, a²−b² = (a−b)(a+b), a³±b³.
Функція – правило, яке кожному значенню x з ОДЗ ставить у відповідність єдине значення y. На НМТ трапляються 6 типів функцій: лінійна, квадратична, степенева, показникова, логарифмічна, тригонометрична.
Метод інтервалів – графічний метод розв’язання нерівностей виду f(x) ≥ 0 (≤, >, <). Працює коли f(x) можна розкласти на множники.
❓ Часті запитання про тему
Скільки завдань з алгебри буде на НМТ з математики?
Близько половини з 22 завдань – тобто 11-12 задач. Це найбільший блок, який покриває рівняння, нерівності, тотожні перетворення, функції та прогресії.
Які теми алгебри обов'язково знати для НМТ?
Мінімум 6 блоків: формули скороченого множення (квадрати, куби, різниця квадратів), розв’язання квадратних рівнянь (дискримінант, теорема Вієта), лінійні та квадратні нерівності, метод інтервалів, показникові й логарифмічні рівняння, властивості функцій (область визначення, монотонність).
Чи можна підготуватися до алгебри НМТ за 2-3 місяці?
Можна, але лише з сильною шкільною базою. Якщо учень упевнено розв’язує задачі рівня 8-9 класу – за 3 місяці реально вийти на 170 балів. Якщо база слабка – потрібно мінімум 6 місяців: спочатку закрити прогалини, потім переходити до тестового формату.
Чим відрізняється алгебра НМТ від шкільної алгебри?
На НМТ менше «розв’яжіть» і більше «оберіть правильну відповідь з 5 варіантів». Це вимагає швидкого розрахунку та вміння відсіювати неправильні варіанти. Шкільна задача – це 5-10 хвилин на повне розв’язання; задача НМТ – 2-3 хвилини на вибір варіанту. Плюс на НМТ калькулятор заборонений.
Що таке метод інтервалів і чому він важливий?
Метод інтервалів – це графічний спосіб розв’язання нерівностей. Знаходимо нулі функції, позначаємо їх на числовій осі, потім перевіряємо знак функції на кожному отриманому інтервалі. На НМТ цей метод використовується у 3-4 задачах на нерівності – це 10-15 балів. Без нього їх не розв’язати.
Чи дають довідник з алгебри на НМТ?
Так – УЦОЯО видає довідник з основними формулами на самому НМТ. Але там немає теорем, властивостей функцій, методів розв’язання. Роздрукуйте офіційний довідник заздалегідь: testportal.gov.ua/…/ZNO_Math_dovidkovy-materialy.pdf
Як побороти страх перед нерівностями?
Найчастіше «страх» – це невпевненість у методі. Запам’ятайте: будь-яка нерівність зводиться або до лінійної, або до методу інтервалів. Якщо не знаєте, з чого почати – переведіть усе у вигляд f(x) ≥ 0 (зведіть до 0 з правого боку), розкладіть f(x) на множники й застосуйте метод інтервалів.
Чи потрібно знати алгебру для стереометрії та тригонометрії?
Так, обов’язково. Стереометрія – це алгебраїчні обчислення з формулами об’єму та площі. Тригонометрія – це функції, рівняння й нерівності з sin/cos/tg. Без алгебри неможливо рухатися далі. Тому в плані підготовки до НМТ алгебра завжди йде першою.
🔗 Схожі теми: з Математики
Готуєтесь до НМТ з Математики? Запишіться на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN — визначимо ваш рівень і складемо план підготовки.
Отримати план підготовкиАбо зателефонуйте: +38 (073) 304 64 49