Функції на НМТ – це наскрізна тема через всі розділи математики. Трапляються у задачах прямо та у десятках задач непрямо: тригонометрія, нерівності, графічні задачі – все це функції.
Нижче: 7 типів функцій з їх графіками → 5 ключових властивостей (ОДЗ, монотонність, парність, періодичність) → типові помилки → план підготовки на 10 тижнів. Перевірити, який конкурсний бал вийде з ваших результатів, можна в калькуляторі для вступу.
🔑 Усі формули теми на одній сторінці
Функції – це «мова», якою описується математика НМТ. Якщо не розуміти, що таке область визначення (ОДЗ) – втрачаєте бали на квадратних рівняннях. Якщо не вмієте читати графік – пропускаєте задачі-картинки. Якщо плутаєте показникову і логарифмічну – провалюєте цілий блок задач.
y = kx + b (k – кутовий коефіцієнт, b – точка перетину з Oy)
y = ax² + bx + c (парабола)
y = xⁿ (для цілого n)
y = aˣ (a > 0, a ≠ 1)
y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)
y = k/x (гіпербола)
y = sin x, y = cos x, y = tg x
🗺 Оберіть підтему для детального розбору
Кожна підтема — окрема сторінка з реальними завданнями НМТ, покроковим методом та шпаргалкою.
📆 План підготовки — План вивчення функцій — 10 тижнів від нуля до сертифікаційного рівня
Визначення функції, ОДЗ, область значень. Лінійна функція: графік, точки перетину з осями, монотонність. Квадратична: парабола, вершина, дискримінант для коренів. Практика: 30 задач, з яких 10 – графічні.
Степенева функція (парність n), показникова (зростання/спадання за основою), логарифмічна (обернена до показникової, ОДЗ x > 0). Властивості логарифмів. Практика: 25 задач + 10 графічних.
sin, cos, tg, ctg – періодичність, парність, основні значення. Графіки. y = k/x – гіпербола, ОДЗ x ≠ 0. Практика: 20 задач на тригонометричні графіки + 10 на обернену пропорційність.
Складання повних варіантів НМТ. Типова графічна задача – «обери правильний графік за описом». Без помилок на ОДЗ, без плутанини між показниковою і логарифмічною. Робота над помилками – це найбільший приріст балів.
Як розв'язувати завдання теми — загальний метод
-
1 Визначте тип функції за виглядом
Якщо y = ax + b – лінійна. Якщо y = ax² + bx + c – квадратична. Якщо y = aˣ – показникова (x у показнику). Якщо y = log_a(x) – логарифмічна (x у аргументі логарифма). Тип визначає всю стратегію розв’язання.
-
2 Запишіть ОДЗ
Для квадратичної, лінійної – ОДЗ = R (усі числа). Для y = 1/x – x ≠ 0. Для y = √x – x ≥ 0. Для y = log_a(x) – x > 0. Для y = tg(x) – x ≠ π/2 + πk. ОДЗ записуйте ДО розв’язання, не після.
-
3 Знайдіть точки перетину з осями
З Oy: підставити x = 0, отримати y = f(0). З Ox: розв’язати f(x) = 0. Це базові точки графіка. Для квадратичної функції точки перетину з Ox – це корені рівняння (через дискримінант).
-
4 Визначте монотонність
Зростає чи спадає? Для лінійної – за знаком k. Для квадратичної – за знаком a і положенням вершини. Для показникової/логарифмічної – за основою a (a > 1 → зростає, 0 < a < 1 → спадає).
-
5 Намалюйте графік (чорновик)
На НМТ часто буває «обери правильний графік». Намалюйте від руки на чернетці: вісь, базові точки, форма (парабола/пряма/гіпербола), напрямок. Через 30 секунд бачите, який з 4-5 варіантів правильний.
⚠️ Типові помилки по темі
y = xⁿ - степенева (x у основі, n у показнику). y = aˣ - показникова (a у основі, x у показнику). Це РІЗНІ функції! Степенева - парабола, кубічна тощо. Показникова - швидкозростаюча/спадаюча крива. На НМТ часто стоять поруч серед варіантів - будьте уважні.
y = log_a(x) існує лише для x > 0. Якщо у задачі log_a(x − 3) = 2, то ОДЗ: x − 3 > 0 → x > 3. Знайшли корінь x = 1? НЕ підходить, бо поза ОДЗ. Класична пастка на НМТ - корінь правильний, але поза ОДЗ.
log_a(−5) - НЕ існує (на дійсних числах). Якщо у відповіді отримали log_a(від'ємне число) - це помилка, треба перевірити кроки. Те ж саме для √(від'ємне): на НМТ це сигнал «розв'яжіть знову».
y = ax² + bx + c. Якщо a > 0 - гілки вгору (мінімум). Якщо a < 0 - гілки вниз (максимум). На графічних задачах НМТ це базова перевірка: подивіться на знак a у відповідях і виключіть невідповідні графіки.
Період sin x і cos x = 2π (повний оберт). Не π! Період tg x і ctg x = π. Часто на НМТ запитують «знайти всі x ∈ [0; 2π] такі, що sin x = ½» - відповідь має 2 корені (π/6 і 5π/6), бо у періоді 2π синус дорівнює ½ двічі.
Вершина параболи y = ax² + bx + c у точці x = −b/2a (НЕ b/2a). Знак мінус обов'язковий. Учні часто пишуть x = b/2a і отримують неправильну точку. Запам'ятайте: «мінус бе на два а».
Функція – це правило, яке кожному значенню x (з області визначення) ставить у відповідність єдине значення y. Записується y = f(x) або просто f.
Область визначення (ОДЗ) – множина усіх дозволених значень x. Наприклад, для y = 1/x ОДЗ = x ≠ 0 (бо ділення на 0 неможливе). Для y = √x ОДЗ = x ≥ 0 (під коренем не може бути від’ємне).
5 базових властивостей функції:
- Область визначення (D або ОДЗ) – що дозволено для x
- Область значень (E) – які значення може приймати y
- Монотонність – зростає чи спадає на даному проміжку
- Парність – f(−x) = f(x) (парна) або f(−x) = −f(x) (непарна)
- Періодичність – лише для тригонометричних: f(x + T) = f(x)
❓ Часті запитання про тему
Які типи функцій будуть на НМТ?
7 типів: лінійна (y = kx + b), квадратична (y = ax² + bx + c), степенева (y = xⁿ), показникова (y = aˣ), логарифмічна (y = log_a x), обернена пропорційність (y = k/x), тригонометричні (sin, cos, tg, ctg). Усі з них трапляються – або прямо, або в нерівностях/рівняннях.
Що таке ОДЗ функції?
Область допустимих значень – це усі значення x, при яких функція має сенс. Для y = 1/(x−3) ОДЗ: x ≠ 3 (бо ділення на 0). Для y = √(x−1) ОДЗ: x ≥ 1 (під коренем не може бути від’ємне). Для y = log_a(x): x > 0. 40% помилок на НМТ – це корені поза ОДЗ.
Як знайти область значень функції?
Область значень – це усі можливі y, які може приймати функція. Для y = sin x область значень = [−1; 1]. Для y = x² + 1 – y ≥ 1 (бо мінімум у вершині параболи). Для y = aˣ – y > 0 (показникова завжди додатна). Знання області значень – типова задача на НМТ.
Як швидко вивчити графіки 7 функцій?
За тиждень: день 1 – лінійна і квадратична. День 2 – степенева і обернена пропорційність. День 3 – показникова і логарифмічна. День 4 – тригонометричні. День 5-7 – змішані задачі «обери графік». Малюйте кожен графік від руки 5-7 разів, не просто читайте – це механічна пам’ять.
Чи дають таблицю значень cos і sin на НМТ?
Так – УЦОЯО надає довідник з основними формулами та таблицею тригонометричних значень. Але звернення до довідника під час тесту = втрачені 2-3 хвилини. Завчіть 6 базових значень: sin0=0, sin30=½, sin45=√2/2, sin60=√3/2, sin90=1, sin180=0. cos йде «навпаки». Це 5 хвилин на запам’ятовування.
Що таке монотонна функція?
Функція монотонна, якщо весь час або зростає, або весь час спадає (на даному проміжку). Лінійна (k > 0) – зростає завжди. Показникова (a > 1) – теж зростає завжди. Квадратична – НЕ монотонна (спадає до вершини, потім зростає). Монотонність важлива для обернених функцій і рівнянь.
Як підготуватися до функцій з нуля?
Мінімум 10 тижнів. Тижні 1-3 – базова теорія + лінійна/квадратична. Тижні 4-5 – степенева/показникова/логарифмічна. Тижні 6-7 – тригонометричні. Тижні 8-9 – графічні задачі «обери графік». Тиждень 10 – пробні тести. Без функцій неможливо рухатися далі до тригонометрії, текстових задач і алгебри в цілому.
🔗 Схожі теми: з Математики
Готуєтесь до НМТ з Математики? Запишіться на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN — визначимо ваш рівень і складемо план підготовки.
Отримати план підготовкиАбо зателефонуйте: +38 (073) 304 64 49