Лінійна функція y = kx + b — найпростіший і найчастіший тип функції в НМТ-математиці. Графік — пряма. k відповідає за нахил, b — за точку перетину з віссю Oy.
Нижче: формули, як знайти k і b за двома точками, перевірка паралельності та перпендикулярності прямих, типові помилки і живі приклади з НМТ.
🔑 Ключові формули
y = kx + b, де k — кутовий коефіцієнт, b — точка перетину з Oy.
З віссю Oy: x = 0 → y = b. Точка (0; b).
З віссю Ox: y = 0 → kx + b = 0 → x = −b/k. Точка (−b/k; 0).
Якщо пряма проходить через точки A(x₁; y₁) і B(x₂; y₂), то k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
y₁ = k₁x + b₁ і y₂ = k₂x + b₂ паралельні ⇔ k₁ = k₂ і b₁ ≠ b₂.
y₁ = k₁x + b₁ і y₂ = k₂x + b₂ перпендикулярні ⇔ k₁ · k₂ = −1.
Як розв'язувати — покроковий метод
- 1 Крок 1. Знайди k і b за умовою
Залежно від того, що дано в задачі:
- Дано рівняння y = kx + b — k і b видно одразу.
- Дано дві точки (x₁; y₁) і (x₂; y₂) — рахуй k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), потім підстав одну точку у y = kx + b і знайди b.
- Дано графік — k знаходь за нахилом, b за точкою перетину з Oy.
- 2 Крок 2. Побудуй пряму за двома точками
Для побудови достатньо двох точок. Зручно брати точки перетину з осями: (0; b) і (−b/k; 0). Якщо b = 0 — пряма проходить через початок координат, для побудови візьми будь-яке інше значення x.
- 3 Крок 3. Перевір паралельність або перпендикулярність
Дано дві прямі y₁ = k₁x + b₁ і y₂ = k₂x + b₂:
- Паралельні: k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂
- Збігаються: k₁ = k₂, b₁ = b₂ (це одна пряма)
- Перпендикулярні: k₁ · k₂ = −1
- Перетинаються в одній точці: k₁ ≠ k₂
- 4 Крок 4. Знайди точку перетину двох прямих
Якщо прямі перетинаються (k₁ ≠ k₂), точку перетину знаходять зі системи: k₁x + b₁ = k₂x + b₂. Розв’язавши, отримуєш x перетину. Підставивши у будь-яку з прямих — y перетину.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Пряма проходить через точки A(1; 3) і B(4; 9). Знайдіть рівняння цієї прямої.
Знайдіть координати точки перетину прямих y = 3x − 4 і y = −x + 8.
⚠️ Типові помилки учнів
Лінійна функція — це база для багатьох інших тем. Більшість помилок із квадратичною функцією, з системами рівнянь і з аналітичною геометрією походять з невпевненого володіння лінійною. Тому почни з неї перед тим, як братися за складніші теми.
На НМТ задачі на лінійну функцію зазвичай прості, але вимагають акуратності з знаками. Тренуйся будувати прямі за двома точками і знаходити точки перетину — ці задачі добре піддаються тренуванню.
Пряма — перша з 6 базових форм графіків, які за прийомом викладачів KEVIN №20 треба знати «з льоту» (див. Властивості функції).
Дивись також: Pillar: Функції на НМТ, Властивості функції, Дискримінант квадратного рівняння.
Якщо застряг на конкретній темі — запишись на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN. Покажемо, де саме провал, і складемо план підготовки. Залишити заявку →
Лінійна функція має вигляд y = kx + b, де k і b — задані числа.
- k — кутовий коефіцієнт. Показує нахил прямої до осі Ox.
- b — вільний член. Показує, в якій точці пряма перетинає вісь Oy.
Графік — це пряма лінія. Достатньо двох точок, щоб побудувати її.
Якщо k = 0, функція перетворюється на константу: y = b. Графік — горизонтальна пряма.
Залежно від знаку k:
- k > 0 — функція зростає (пряма йде вгору зліва направо)
- k < 0 — функція спадає (пряма йде вниз)
- k = 0 — функція стала (горизонтальна пряма)
- y = kx + b. Графік — пряма.
- k — нахил (кутовий коефіцієнт). b — точка перетину з Oy.
- k за двома точками: k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
- k > 0 — зростає, k < 0 — спадає, k = 0 — стала.
- Паралельність: k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂.
- Перпендикулярність: k₁ · k₂ = −1.
❓ Часті запитання
Як швидко знайти k за двома точками графіка?
k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Знак ділиш «верх на низ»: приріст y ділиш на приріст x. Якщо отримав від’ємне число — пряма спадає, додатне — зростає.
Як знайти b, якщо відомо k і одну точку прямої?
Підстав координати точки у y = kx + b замість x і y, отримай рівняння з b. Приклад: k = 2, точка (1; 5). Підставляємо: 5 = 2·1 + b → b = 3. Отже, y = 2x + 3.
Що означає кутовий коефіцієнт k?
k показує, на скільки змінюється y при збільшенні x на 1. Якщо k = 3, то при зростанні x на одиницю y зростає на 3. Геометрично — це тангенс кута нахилу прямої до осі Ox.
Як перевірити, чи дві прямі паралельні?
Зведи обидва рівняння до вигляду y = kx + b. Якщо k₁ = k₂, але b₁ ≠ b₂ — прямі паралельні. Якщо k₁ = k₂ і b₁ = b₂ — це одна пряма. Якщо k₁ ≠ k₂ — прямі перетинаються.
Чим відрізняється лінійна функція від рівняння прямої?
Лінійна функція — це залежність y від x, записана як y = kx + b. Рівняння прямої може мати інший вигляд: ax + by + c = 0 (загальне рівняння) або x/a + y/b = 1 (рівняння у відрізках). Усі ці форми описують одну й ту саму пряму.
Чи може лінійна функція не перетинати вісь Ox?
Може, якщо k = 0. Тоді y = b — горизонтальна пряма. Вона перетинає Oy у точці (0; b), але з віссю Ox не перетинається ніколи (крім випадку b = 0, тоді пряма збігається з самою віссю Ox).