Похідна функції f'(x) — це швидкість зміни значення f(x) при зміні x. Геометрично — це тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції. Через похідну досліджують монотонність і знаходять екстремуми (максимуми та мінімуми).
Нижче: похідні елементарних функцій, правила знаходження похідної суми, добутку, частки та складної функції, алгоритм дослідження функції на монотонність та екстремуми, типові помилки і живі приклади з НМТ.
🔑 Ключові формули
- (c)’ = 0 (похідна константи)
- (x)’ = 1
- (xⁿ)’ = n · xⁿ⁻¹
- (√x)’ = 1 / (2√x)
- (sin x)’ = cos x
- (cos x)’ = −sin x
- (tg x)’ = 1/cos²x
- (ctg x)’ = −1/sin²x
- (aˣ)’ = aˣ · ln a; зокрема (eˣ)’ = eˣ
- (logₐx)’ = 1 / (x · ln a); зокрема (ln x)’ = 1/x
- (c · f)’ = c · f’ (винесення константи)
- (f + g)’ = f’ + g’ (похідна суми)
- (f − g)’ = f’ − g’
- (f · g)’ = f’ · g + f · g’ (похідна добутку)
- (f / g)’ = (f’ · g − f · g’) / g² (похідна частки)
- Похідна складної функції: (f(g(x)))’ = f'(g(x)) · g'(x)
y = f(x₀) + f'(x₀) · (x − x₀)
x — критична точка функції f(x), якщо f'(x) = 0 або f'(x) не існує.
f'(x) > 0 на проміжку → f(x) зростає.
f'(x) < 0 на проміжку → f(x) спадає.
Як розв'язувати — покроковий метод
- 1 Крок 1. Знайди похідну за правилами
Розклади функцію на доданки. Кожен доданок диференціюй за таблицею. Якщо є константа — виноси її. Якщо є добуток або частка — застосуй відповідне правило.
Приклад: y = 3x² − 5x + 7. Похідна: y’ = 3 · 2x − 5 · 1 + 0 = 6x − 5.
- 2 Крок 2. Знайди критичні точки
Розв’яжи рівняння f'(x) = 0. Корені цього рівняння — критичні точки. Також додай точки, де f'(x) не існує (наприклад, де знаменник = 0).
Приклад: f(x) = x³ − 3x. f'(x) = 3x² − 3. Рівняння 3x² − 3 = 0 → x = ±1. Критичні точки: −1 і 1.
- 3 Крок 3. Визнач знаки f'(x) на проміжках між критичними точками
Розбий числову пряму критичними точками на проміжки. Підстав у f'(x) тестову точку з кожного проміжку — отримаєш знак. Можна використати графічну візуалізацію: якщо f'(x) квадратна — намалюй параболу (див. прийом викладачів KEVIN №9 у subtopic Квадратична функція).
Приклад продовження: f'(x) = 3x² − 3 — парабола гілками вгору з нулями ±1. Знаки: (+) на (−∞; −1), (−) на (−1; 1), (+) на (1; +∞).
- 4 Крок 4. Визнач характер критичних точок
У точці x:
- якщо f’ переходить з (+) у (−) → x — точка максимуму
- якщо f’ переходить з (−) у (+) → x — точка мінімуму
- якщо знак f’ не змінюється → x не є екстремумом (можлива точка перегину)
Продовження прикладу: у точці x = −1 знак f’ з (+) у (−) → максимум. У точці x = 1 з (−) у (+) → мінімум.
- 5 Крок 5. Знайди значення функції в екстремумах
Підстав x екстремуму у f(x) (не у f'(x)). Це дасть y екстремуму.
Для f(x) = x³ − 3x: f(−1) = −1 + 3 = 2 (максимум), f(1) = 1 − 3 = −2 (мінімум).
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Знайдіть похідну функції y = 2x³ − 5x² + 4x − 7.
Знайдіть точки екстремуму функції y = x³ − 12x + 5.
⚠️ Типові помилки учнів
Похідна — це інструмент для дослідження функції. Якщо володієш ним впевнено, задачі на знаходження екстремумів, найбільшого/найменшого значення на відрізку або дослідження характеру функції стають алгоритмічними.
На НМТ найчастіше зустрічаються три типи задач: знайти похідну, знайти екстремум функції, скласти рівняння дотичної. Кожен тип розв’язується за чітким алгоритмом, описаним вище.
Важливо: спочатку добре опанувати таблицю похідних елементарних функцій і правила диференціювання. Без цього усі подальші кроки не мають сенсу.
Дивись також: Pillar: Функції на НМТ, Властивості функції, Квадратична функція.
Якщо застряг на конкретній темі — запишись на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN. Покажемо, де саме провал, і складемо план підготовки. Залишити заявку →
Похідна функції f(x) у точці x₀ позначається f'(x₀) і визначається як границя:
f'(x₀) = limΔx→0 [f(x₀ + Δx) − f(x₀)] / Δx.
На НМТ границю обчислювати не потрібно — користуються таблицею похідних елементарних функцій і правилами диференціювання.
Два головних застосування похідної на НМТ:
- Геометричний зміст — f'(x₀) дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції у точці (x₀; f(x₀)).
- Дослідження функції — знаки похідної визначають, де функція зростає (f’ > 0), де спадає (f’ < 0), а точки, у яких f'(x) = 0 — це кандидати на екстремум.
- Знайди f'(x) за правилами.
- Розв’яжи f'(x) = 0 → критичні точки.
- Визнач знаки f’ на проміжках між критичними точками.
- За зміною знаку визнач максимуми (+ → −), мінімуми (− → +).
- Підстав x екстремумів у f(x), знайди значення y екстремумів.
❓ Часті запитання
Як швидко знайти похідну простої функції?
Розклади функцію на доданки. Кожен доданок диференціюй за таблицею елементарних. Сума похідних = похідна суми. Якщо є константа множник — виноси її. Більшість задач НМТ зводяться до цього.
Що таке критична точка функції?
Це точка, у якій f'(x) = 0 або f'(x) не існує. Критичні точки — кандидати на екстремум. Не всі з них є екстремумами: треба перевірити, чи змінюється знак похідної при переході через цю точку.
Як визначити, чи у критичній точці максимум або мінімум?
Перевіряй знак f'(x) ліворуч і праворуч від точки. Якщо знак з (+) на (−) — це максимум. Якщо з (−) на (+) — мінімум. Якщо знак не змінюється — це точка перегину, не екстремум.
Який геометричний зміст похідної?
f'(x₀) дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції у точці (x₀; f(x₀)). Якщо f'(x₀) > 0 — дотична йде вгору (функція зростає). Якщо f'(x₀) < 0 — донизу. Якщо f'(x₀) = 0 — дотична горизонтальна.
Як знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку [a; b]?
1. Знайди критичні точки всередині [a; b]. 2. Обчисли значення f у цих точках і на кінцях відрізка f(a), f(b). 3. Найбільше з усіх обчислених значень — найбільше на відрізку, найменше — найменше.
Чим відрізняється точка екстремуму від екстремуму?
Точка екстремуму — це x (абсциса). Екстремум — це y (значення функції у цій точці). Якщо задача питає «знайдіть точку максимуму» — пиши x. Якщо «знайдіть максимум» — пиши y. Це частий момент плутанини у відповідях.