Квадратична функція y = ax² + bx + c — наступна за лінійною за частотою на НМТ. Графік — парабола. Парабола описує форму будь-якого квадратного рівняння і будь-якої квадратної нерівності.
Нижче: координати вершини, поведінка параболи залежно від a, переходи між загальною і канонічною формами, прийом викладачів KEVIN на швидкі квадратичні нерівності, типові помилки і живі приклади з НМТ.
🔑 Ключові формули
y = ax² + bx + c, де a ≠ 0.
x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀) = c − b²/(4a).
y = a(x − x₀)² + y₀, де (x₀; y₀) — вершина.
D = b² − 4ac.
Нулі функції (точки перетину з Ox): x = (−b ± √D) / (2a) при D ≥ 0.
x = 0 → y = c. Точка (0; c).
Як розв'язувати — покроковий метод
- 1 Крок 1. Визнач напрямок гілок параболи
Дивись на знак a: a > 0 — гілки вгору (вершина — мінімум), a < 0 — гілки вниз (вершина — максимум). Це визначає область значень функції.
- 2 Крок 2. Знайди координати вершини
x₀ = −b/(2a) — абсциса вершини. Підстав x₀ у формулу функції — отримаєш y₀.
Приклад: y = 2x² − 8x + 3. x₀ = −(−8)/(2·2) = 8/4 = 2. y₀ = 2·4 − 16 + 3 = −5. Вершина (2; −5).
- 3 Крок 3. Знайди точки перетину з осями
З Oy: x = 0 → y = c. Точка (0; c) видно одразу з формули.
З Ox: розв’яжи рівняння ax² + bx + c = 0 через дискримінант. Якщо D < 0 — парабола не перетинає Ox.
- 4 Прийом викладачів KEVIN №9. Квадратні нерівності розв'язуй через параболу
Для нерівності виду ax² + bx + c ⋛ 0 не застосовуй метод інтервалів — швидше через параболу:
- Уяви параболу: гілки вгору при a > 0, вниз при a < 0.
- Знайди нулі функції (корені рівняння) — це точки перетину з Ox.
- Якщо нерівність «> 0» — обираєш ті проміжки, де парабола над віссю. Якщо «< 0» — під віссю.
Приклад: x² − 5x + 6 < 0. Корені 2 і 3, парабола гілками вгору. Між коренями парабола під віссю. Відповідь: x ∈ (2; 3).
Метод інтервалів залишай для нерівностей вище 2-го степеня та для дробових.
- 5 Крок 4. Побудуй графік
Достатньо 5 точок: вершина, два нулі (якщо є), точка (0; c), і одна симетрична до (0; c) точка відносно осі симетрії параболи.
Вісь симетрії параболи — вертикальна пряма x = x₀, що проходить через вершину.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Знайдіть координати вершини параболи y = x² − 6x + 5.
Розв’яжіть нерівність x² − 4x − 5 ≥ 0.
⚠️ Типові помилки учнів
Квадратична функція — фундамент для розуміння нерівностей, екстремумів і похідної. Якщо володієш нею впевнено, наступні теми (показникова, логарифмічна, тригонометричні) йдуть легше — бо там використовується той самий принцип: знаходимо вершину/особливі точки, дивимося поведінку.
На НМТ задачі на параболу зустрічаються постійно: знайди вершину, побудуй графік, розв’яжи нерівність, знайди екстремум функції. Усі вони зводяться до тих самих 4-5 кроків.
Дивись також: Pillar: Функції на НМТ, Властивості функції, Дискримінант квадратного рівняння, Метод інтервалів.
Якщо застряг на конкретній темі — запишись на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN. Покажемо, де саме провал, і складемо план підготовки. Залишити заявку →
Квадратична функція — функція вигляду y = ax² + bx + c, де a ≠ 0.
Графік — парабола з віссю симетрії, паралельною осі Oy.
Поведінка параболи залежить від знаку a:
- a > 0 — гілки направлені вгору, вершина — мінімум
- a < 0 — гілки направлені вниз, вершина — максимум
Вершина параболи — точка з координатами (x₀; y₀), де x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀). Це найнижча точка при a > 0 і найвища при a < 0.
Канонічна форма: y = a(x − x₀)² + y₀. Вершина (x₀; y₀) видна одразу. Зручна для дослідження зсувів.
Зв’язок з квадратним рівнянням: нулі функції (точки перетину з Ox) — це корені рівняння ax² + bx + c = 0. Дискримінант визначає, скільки таких точок: D > 0 — дві, D = 0 — одна (парабола торкається Ox у вершині), D < 0 — нема.
- y = ax² + bx + c, графік — парабола.
- a > 0 — гілки вгору; a < 0 — гілки вниз.
- Вершина: x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀).
- Нулі: розв’язок ax² + bx + c = 0 через дискримінант.
- Перетин з Oy: точка (0; c).
- Нерівність — через параболу, не метод інтервалів.
❓ Часті запитання
Як швидко знайти вершину параболи?
x₀ = −b/(2a), потім підстав x₀ у формулу функції — отримаєш y₀. Усе.
Що означає коефіцієнт a?
a відповідає за напрямок гілок (вгору при a > 0, вниз при a < 0) і за «розтяг» параболи: чим більше |a|, тим «вужча» парабола. При a = 1 — стандартна ширина, при a = 2 — вдвічі вужча.
Як перейти від загальної форми до канонічної?
y = ax² + bx + c → y = a(x − x₀)² + y₀, де x₀ = −b/(2a), y₀ = c − b²/(4a). Або через виділення повного квадрата.
Коли парабола симетрична відносно осі Oy?
Коли b = 0. Тоді y = ax² + c, вершина у точці (0; c), вісь симетрії збігається з Oy. Це найпростіший випадок для побудови.
Як знайти область значень E(f) квадратичної функції?
Через вершину. Знайди y₀. Якщо a > 0 → E = [y₀; +∞). Якщо a < 0 → E = (−∞; y₀]. Це безпосередньо випливає з напрямку гілок.
У чому різниця між квадратичною функцією і квадратним рівнянням?
Функція y = ax² + bx + c — це залежність y від x. Рівняння ax² + bx + c = 0 — це задача знайти такі x, при яких функція дорівнює нулю. Тобто рівняння — це «де функція перетинає вісь Ox».