Метод інтервалів — універсальний алгоритм для нерівностей. Розкладаємо вираз на множники, знаходимо нулі, ставимо на числовій осі, визначаємо знак у кожному інтервалі, і записуємо відповідь. Працює для квадратних, дробових, степеневих нерівностей.
На НМТ з математики регулярні завдання — це нерівності. Метод інтервалів дає змогу розв’язати їх швидко без зайвих обчислень. Учні, які володіють методом, не плутаються зі знаками і не пропускають інтервали, а саме це найчастіша помилка на тесті.
🔑 Ключові формули
1) f(x) → множники → 2) нулі → 3) на осі → 4) знаки у інтервалах → 5) відповідь
(+) · (+) = (+), (−) · (−) = (+), (+) · (−) = (−)
У крайньому правому інтервалі (за умови старшого коефіцієнта > 0) знак додатній. Далі знаки чергуються через корені непарної кратності.
(x − a)²: знак не змінюється при переході через a. (x − a)¹: знак змінюється.
Як розв'язувати — покроковий метод
- 1 Перенесіть усе в один бік, отримайте f(x) ⋛ 0
Нерівність 2x² − 3x > 5 спочатку зведіть до 2x² − 3x − 5 > 0. У правій частині завжди має бути 0, інакше метод інтервалів не застосовується.
- 2 💡 Лайфхак KEVIN №9 — для квадратних нерівностей візуалізуй параболу, не інтервали
Якщо нерівність квадратна (ax² + bx + c ⋛ 0) — НЕ застосовуй метод інтервалів. Швидше:
- Намалюй параболу подумки: гілки вгору при a > 0, вниз при a < 0.
- Знайди нулі (D, корені) — це точки перетину з Ox.
- Якщо знак нерівності «>» — обираєш проміжки, де парабола над віссю; «<» — під віссю.
Приклад: x² − 5x + 6 < 0. Корені 2 і 3, парабола гілками вгору. Між коренями — під віссю. Відповідь: x ∈ (2; 3).
Економія: 15-20 сек замість 1 хв. Метод інтервалів залишай для нерівностей вище 2-го степеня та для дробових.
- 3 Розкладіть на множники
Виноcьте за дужки, розкладайте за формулами скороченого множення, групуванням, теоремою Вієта чи дискримінантом. Приклад: 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1). Для дробу, обидва множники окремо.
- 4 Знайдіть нулі та точки розриву
Кожен множник прирівняйте до нуля: 2x − 5 = 0 → x = 2.5; x + 1 = 0 → x = −1. Для дробу, також прирівняйте знаменник до нуля (точки, де ділення неможливе).
- 5 Позначте точки на числовій осі
Замкнута ●, якщо знак нерівності ≥ або ≤ і це нуль чисельника. Проколота ○, якщо знак > або <, або це точка розриву (нуль знаменника). Точки розриву завжди проколоті, навіть для нестрогих нерівностей.
- 6 Розставте знаки в інтервалах
Найшвидше: у крайньому правому інтервалі (за умови старшого коефіцієнта > 0) знак «+». Далі знаки чергуються через прості (некратні) корені. Перевірте підстановкою числа з найзручнішого інтервалу.
- 7 Запишіть відповідь, об'єднання інтервалів
Виберіть інтервали зі знаком, що відповідає нерівності (> 0 → шукаємо «+», < 0 → «−»). Записуйте у вигляді об’єднання: x ∈ (−∞; −1) ∪ (2.5; +∞). Замкнуті точки, у квадратних дужках [a; b], проколоті, у круглих (a; b).
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Розв’яжіть нерівність x² − 5x + 6 > 0.
Розв’яжіть нерівність (x − 4)/(x + 2) ≤ 0.
Розв’яжіть нерівність (x + 1)²(x − 3) ≥ 0.
⚠️ Типові помилки учнів
Метод інтервалів — це алгоритм, який треба довести до автоматизму. Розв’язуйте 5 нерівностей щодня впродовж тижня, і метод стане автоматичним. На НМТ він економить час на кожній нерівності проти роботи через формули. Найважче, не помилитися зі знаками при чергуванні. Завжди перевіряйте знак підстановкою числа з крайнього правого інтервалу.
Дивись також: Нерівності, Логарифмічні та показникові рівняння.
Хочеш перевірити свій рівень з алгебри? Запишись на безкоштовну 60-хвилинну онлайн-діагностику з експертом KEVIN: визначимо твій поточний рівень з НМТ-математики та складемо персональний план підготовки. Залишити заявку →
Будь-яка нерівність виду f(x) > 0 (або < 0, ≥ 0, ≤ 0) розв’язується методом інтервалів, якщо f(x) можна розкласти на лінійні чи квадратні множники. Алгоритм базується на тому, що неперервна функція змінює знак лише у точках, де вона дорівнює нулю або не існує.
Спочатку знаходимо нулі функції (значення x, при яких f(x) = 0) та точки, де функція не визначена (наприклад, знаменник = 0). Позначаємо їх на числовій осі: замкнутою точкою ●, якщо знак нерівності нестрогий (≥, ≤), проколотою ○, якщо строгий (>, <). Точки розриву (де ділення на нуль), завжди проколоті.
Далі визначаємо знак функції у кожному інтервалі: підставляємо будь-яке зручне число з інтервалу у вираз і дивимося, додатній результат чи від’ємний. Записуємо у відповідь ті інтервали, де знак відповідає нерівності.
1) Усе в один бік → f(x) ⋛ 0
2) Розкласти на множники
3) Знайти нулі (чисельник = 0) та точки розриву (знаменник = 0)
4) ● замкнуті (для ≥ ≤) або ○ проколоті (для > < або розривів)
5) У крайньому правому інтервалі: «+» якщо старший коеф. > 0
6) Знаки чергуються через прості корені
7) Парна кратність, знак НЕ змінюється
8) Записати інтервали з потрібним знаком
❓ Часті запитання
Коли застосовувати метод інтервалів, а коли формули?
Метод інтервалів, універсальний для нерівностей будь-якої складності, де ліва частина розкладається на множники. Формули (наприклад, рішення квадратної нерівності через вершину параболи) працюють лише для простих випадків. На НМТ метод інтервалів, найнадійніший спосіб не помилитися зі знаками.
Чи можна вирішити квадратну нерівність без методу інтервалів?
Так. Для x² + px + q > 0 знаходите корені x₁, x₂ і пишете: якщо вітки догори (a > 0), відповідь x < x₁ або x > x₂. Це швидше для простих випадків, але метод інтервалів універсальніший, особливо для дробових чи кубічних нерівностей.
Що робити, якщо корені нераціональні?
Залишайте їх у точному вигляді (наприклад, √3 чи (3 + √5)/2). Розставляйте на осі приблизно (√3 ≈ 1.7) для визначення знаків, але у відповіді, точні значення. Точне співвідношення коренів між собою визначайте за дискримінантом.
Як визначити знак функції у крайньому правому інтервалі?
Якщо у виразі f(x) = (x − a₁)(x − a₂)·…(x − aₙ) старший коефіцієнт > 0, то при дуже великих x усі множники додатні → знак «+». Якщо старший коефіцієнт < 0 (наприклад, у −x² + 3x + 4 = −(x − 4)(x + 1)), крайній правий знак «−».
Чи можна метод інтервалів застосувати до нерівностей з модулем?
Так, але спочатку треба розкрити модуль за визначенням (|f| = f, якщо f ≥ 0; |f| = −f, якщо f < 0). Розбиваєте задачу на 2 випадки і у кожному застосовуєте метод інтервалів. Це довше, ніж для звичайних нерівностей.
Скільки інтервалів утворюють n коренів?
n коренів ділять числову вісь на n+1 інтервал. Наприклад, 3 корені (−2, 0, 5) утворюють 4 інтервали: (−∞;−2), (−2;0), (0;5), (5;+∞). Це корисно для перевірки, у відповіді не повинно бути більше n+1 інтервалу.
Як швидко зрозуміти, які інтервали обрати у відповідь?
Якщо нерівність f(x) > 0, беремо інтервали зі знаком «+». Якщо f(x) < 0, зі знаком «−». Якщо ≥ або ≤, додаємо замкнуті точки (нулі чисельника). Точки розриву (нулі знаменника), завжди ВИКЛЮЧАЄМО.