Показникові рівняння розв’язуються зведенням до однієї основи: a^f(x) = a^g(x) ⇒ f(x) = g(x). Логарифмічні — потенціюванням: log_a f(x) = log_a g(x) ⇒ f(x) = g(x), з обов’язковою перевіркою ОДЗ. Складніші рівняння, методом заміни змінної.
Показникові та логарифмічні рівняння — це завдання НМТ з математики щороку, переважно у складніших варіантах (рівень профільної підготовки). Учні, які не володіють властивостями логарифмів та методом заміни, гарантовано втрачають ці бали. Тема обов’язкова для технічних та економічних напрямків ЗВО.
🔑 Ключові формули
a^f(x) = a^g(x) ⇒ f(x) = g(x), при a > 0, a ≠ 1
log_a f(x) = log_a g(x) ⇒ f(x) = g(x), при f(x) > 0, g(x) > 0
log_a(xy) = log_a x + log_a y · log_a(x/y) = log_a x − log_a y · log_a(x^n) = n·log_a x
log_a b = c ⇔ a^c = b, при a > 0, a ≠ 1, b > 0
log_a x = log_b x / log_b a, або у частковому випадку log_a x = 1 / log_x a
Як розв'язувати — покроковий метод
-
1 Запишіть ОДЗ перед розв'язанням
Для логарифма log_a f(x): a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0. Запишіть умови на чернетці ДО розв’язання, не після. Це врятує від хибних коренів, які не входять у ОДЗ. ОДЗ показникових рівнянь, без обмежень (якщо немає логарифмів чи коренів).
-
2 Зведіть до однієї основи
Для показникового 8^x = 32: 8 = 2³, 32 = 2⁵. Рівняння стає (2³)^x = 2⁵ → 2^(3x) = 2^5 → 3x = 5 → x = 5/3. Шукайте спільну основу — це часто 2, 3 або 5.
-
3 Застосуйте властивості логарифмів
log_2 x + log_2 (x − 1) = 1. Об’єднайте за властивістю: log_2(x(x − 1)) = 1 → x² − x = 2¹ = 2 → x² − x − 2 = 0 → x₁ = 2, x₂ = −1. Перевірка ОДЗ: x > 0 і x − 1 > 0, тобто x > 1. Підходить тільки x = 2.
-
4 Зробіть заміну змінної (для складних)
4^x − 5·2^x + 4 = 0 → (2^x)² − 5·(2^x) + 4 = 0. Нехай t = 2^x (t > 0). Отримуємо t² − 5t + 4 = 0 → t = 1 або t = 4. Назад: 2^x = 1 → x = 0; 2^x = 4 → x = 2. Перевірка t > 0, обидва значення підходять.
-
5 Перевірте корені в оригіналі та ОДЗ
Підставляйте знайдені x у вихідне рівняння та в ОДЗ. Хибні корені, типова проблема логарифмічних рівнянь, де ОДЗ виключає одне з рішень. Якщо корінь не задовольняє ОДЗ, викреслюйте його. У відповідь записуйте лише валідні корені.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Розв’яжіть рівняння 9^x − 3^(x+1) − 18 = 0.
9^x = (3²)^x = (3^x)². Нехай t = 3^x, t > 0. Рівняння: t² − 3t − 18 = 0. За теоремою Вієта: t₁ + t₂ = 3, t₁ · t₂ = −18 → t₁ = 6, t₂ = −3. Викреслюємо t = −3 (бо t > 0). Залишається 3^x = 6 → x = log_3 6 = 1 + log_3 2 ≈ 1.63. Якщо у відповіді очікують ціле, перевіряйте чи в задачі немає пастки. Відповідь: x = log_3 6.
Розв’яжіть рівняння log_2 x + log_2 (x − 3) = 2.
ОДЗ: x > 0 і x − 3 > 0 → x > 3. За властивістю об'єднуємо: log_2(x(x − 3)) = 2 → x(x − 3) = 2² = 4 → x² − 3x − 4 = 0 → (x − 4)(x + 1) = 0 → x = 4 або x = −1. Перевірка ОДЗ x > 3: підходить лише x = 4. Відповідь: x = 4.
Знайдіть x: log_5 (x − 1) = 2.
ОДЗ: x − 1 > 0 → x > 1. Переводимо у показникову форму: x − 1 = 5² = 25 → x = 26. Перевірка ОДЗ 26 > 1 ✓. Підстановка в оригінал: log_5(26 − 1) = log_5 25 = 2 ✓. Відповідь: x = 26.
⚠️ Типові помилки учнів
Записують корені без перевірки на ОДЗ. Наприклад, для log(x − 3) = 1 знаходять x = 13. Але якщо в рівнянні log(x − 3) + log(x + 1) = 2, корінь x = −5 буде «знайдено» алгебраїчно, але ОДЗ x > 3 його виключає. Завжди записуйте ОДЗ ПЕРЕД розв'язанням.
Пишуть log(x + y) = log x + log y — це НЕПРАВИЛЬНО. Правильна формула: log(xy) = log x + log y (тільки для добутку, не для суми). Логарифм суми НЕ розкладається на доданки — це найпоширеніша помилка.
Розв'язують 9^x = 27 через тестування: «9² = 81, забагато, 9¹ = 9, замало...». Правильно: 9 = 3², 27 = 3³, тобто 3^(2x) = 3³ → 2x = 3 → x = 1.5. Завжди шукайте спільну основу.
Після заміни t = a^x учні часто включають у відповідь негативні значення t. Але показникова функція ЗАВЖДИ додатня → t > 0. Якщо отримали t = −2, викреслюйте і шукайте інші корені.
З 3^x = −5 беруть log обох частин, отримують «log(−5)», що не існує. Перевіряйте перед застосуванням log: обидві частини мають бути додатні. Якщо права частина від'ємна, рівняння не має дійсних коренів.
Логарифмічні та показникові рівняння, найскладніший блок алгебри на НМТ для більшості учнів. Корінь успіху: 1) вивчити напам’ять 5 властивостей логарифмів; 2) тренувати ОДЗ перед кожним розв’язанням (це автоматизм 1-го кроку); 3) знати 3 типові методи: зведення до основи, об’єднання логарифмів, заміна змінної. На НМТ зустрічається 2-3 такі завдання у складніших варіантах — це важливі бали.
Дивись також: Дискримінант квадратного рівняння, Нерівності, Метод інтервалів.
Хочеш перевірити свій рівень з алгебри? Запишись на безкоштовну 60-хвилинну онлайн-діагностику з експертом KEVIN: визначимо твій поточний рівень з НМТ-математики та складемо персональний план підготовки. Залишити заявку →
Показникова функція a^x (a > 0, a ≠ 1) монотонна: при a > 1 зростає, при 0 < a < 1 спадає. Тому з рівняння a^f(x) = a^g(x) можна знімати основу, отримуємо f(x) = g(x). Це базовий метод усіх показникових рівнянь.
Логарифм log_a b — це показник, у який треба піднести a, щоб отримати b: a^(log_a b) = b. ОДЗ логарифма: основа a > 0, a ≠ 1, аргумент b > 0. Перевірка ОДЗ, обов’язкова після знаходження коренів.
Ключові властивості: log_a(xy) = log_a x + log_a y; log_a(x/y) = log_a x − log_a y; log_a(x^n) = n·log_a x; log_a x = log_b x / log_b a (формула переходу).
Показникові:
1) Звести до однієї основи → 2) Зняти основу → 3) Розв’язати алгебраїчне
Логарифмічні:
1) Записати ОДЗ → 2) Властивості логарифмів (об’єднання) → 3) Потенціювання → 4) Розв’язати алгебраїчне → 5) Перевірити ОДЗ
Заміна t = a^x: завжди t > 0
log_a 1 = 0, log_a a = 1
❓ Часті запитання
Коли застосовувати показникову форму, а коли логарифмічну?
Якщо в рівнянні є основа у степені (наприклад, 2^x = 16), пишемо показникову форму. Якщо в рівнянні є логарифм (log_2 x = 4), переводимо у показникову: x = 2⁴ = 16. Обидві форми еквівалентні, обираєте за тим, яка зручніша для подальших дій.
Що робити, якщо основи логарифмів різні?
Зведіть до однієї основи за формулою переходу: log_a x = log_b x / log_b a. Найчастіше зручно переходити до натурального логарифма (ln) або до log_2/log_10. Приклад: log_4 x = log_2 x / log_2 4 = log_2 x / 2.
Чи завжди показникове рівняння має розв'язок?
Ні. Якщо a > 0, a ≠ 1, то a^x > 0 завжди. Тому рівняння типу 2^x = −5 не має дійсних коренів. Перевіряйте, що права частина додатня перед розв’язанням. На НМТ це часто пастка у завданнях рівня «оберіть правильне твердження».
Як перевірити, чи корінь логарифмічного рівняння, справжній?
Підставте у ОДЗ (всі вирази під логарифмами мають бути додатні) та у вихідне рівняння. Якщо хоч одне з ОДЗ-обмежень порушене, корінь хибний. Якщо все підходить, записуєте у відповідь. Перевірка обов’язкова для НМТ.
Чи можна логарифмувати показникове рівняння?
Так, якщо не вдається звести до спільної основи. Наприклад, 5^x = 7: беремо log обох частин: x·log 5 = log 7 → x = log 7 / log 5. Це дробове число, можна обчислити калькулятором. На НМТ зазвичай приводять основи так, щоб корені були цілі.
Що таке десятковий та натуральний логарифм?
Десятковий log x = log_10 x (основа 10). Натуральний ln x = log_e x (основа, число Ейлера e ≈ 2.718). На НМТ використовується переважно десятковий і логарифми з цілими основами 2, 3, 5. Натуральний, у вищій математиці й технічних ЗВО.
Скільки коренів може мати показникове рівняння?
Зазвичай 0, 1 або 2 (після заміни змінної). Простіше показникове рівняння a^x = b (b > 0) має один корінь x = log_a b. Складніше з заміною t = a^x може мати 2 корені, якщо обидва t > 0. Якщо t < 0, корінь виключаємо.
Що таке потенціювання логарифмічного рівняння?
Дія, зворотна логарифмуванню: з рівняння log_a f(x) = c отримуємо f(x) = a^c. Працює лише тоді, коли по обидва боки рівняння, логарифми з однаковою основою. Завжди супроводжується перевіркою ОДЗ.