Показникова y = aˣ і логарифмічна y = logₐx функції — це пара взаємно обернених функцій. Їхні графіки симетричні відносно прямої y = x. На НМТ зустрічаються у задачах на властивості, графіки і у поєднанні з рівняннями.
Нижче: формули, поведінка залежно від основи a, точки перетину з осями, типові помилки і живі приклади з НМТ.
🔑 Ключові формули
y = aˣ, де a > 0, a ≠ 1.
D(f) = ℝ, E(f) = (0; +∞).
y = logₐx, де a > 0, a ≠ 1.
D(f) = (0; +∞), E(f) = ℝ.
a^(logₐb) = b для будь-якого b > 0.
logₐ(aˣ) = x для будь-якого x.
lg x = log₁₀x (десятковий логарифм)
ln x = logₑx, де e ≈ 2,718 (натуральний логарифм)
При a > 1 — обидві функції зростають.
При 0 < a < 1 — обидві спадають.
Як розв'язувати — покроковий метод
- 1 Крок 1. Визнач тип функції і її основу a
y = 3ˣ — показникова з a = 3 (a > 1, зростає). y = log₅x — логарифмічна з a = 5 (a > 1, зростає). y = (1/2)ˣ — показникова з a = 0,5 (спадає). Зверни увагу на знак a порівняно з 1.
- 2 Крок 2. Знайди D(f) і E(f) за типом
Для показникової: D = ℝ, E = (0; +∞).
Для логарифмічної: D = (0; +∞), E = ℝ.
Якщо у функції є зсуви (наприклад, y = log₂(x − 3)), знайди D(f) через нерівність: x − 3 > 0, тобто x > 3.
- 3 Крок 3. Знайди опорні точки графіка
Для y = aˣ: точка (0; 1) — завжди на графіку. Точка (1; a) — також.
Для y = logₐx: точка (1; 0) — завжди. Точка (a; 1) — також.
Цього достатньо для побудови.
- 4 Крок 4. Перевір симетрію відносно y = x
Якщо побудовано обидва графіки на одній координатній площині, вони симетричні відносно бісектриси першого і третього координатних кутів (прямої y = x). Це візуальна перевірка, що ти не сплутав показникову з логарифмічною.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Знайдіть область визначення функції y = log₃(2x − 6).
Показникова функція y = aˣ проходить через точку (2; 25). Знайдіть a.
⚠️ Типові помилки учнів
Показникова і логарифмічна — це пара. Розумієш одну — розумієш і другу. Тому раджу вчити їх разом, малюючи обидва графіки на одній координатній площині. Симетрія відносно y = x — це не абстракція, її видно одразу.
На НМТ ці функції часто йдуть у комбінаціях з рівняннями і нерівностями. Якщо у тебе впевнено знайдена D(f) і відомий характер монотонності (зростає чи спадає) — більша частина задачі вже розв’язана.
Графіки показникової і логарифмічної функцій входять у 6 базових форм, які за прийомом викладачів KEVIN №20 треба впізнавати без розрахунків (див. Властивості функції).
Дивись також: Pillar: Функції на НМТ, Властивості функції, Логарифмічні і показникові рівняння.
Якщо застряг на конкретній темі — запишись на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN. Покажемо, де саме провал, і складемо план підготовки. Залишити заявку →
Показникова функція має вигляд y = aˣ, де a > 0, a ≠ 1.
- D(f) = ℝ (можна підставити будь-яке x)
- E(f) = (0; +∞) (значення завжди додатне)
- Графік проходить через (0; 1), бо a⁰ = 1
- При a > 1 — зростає (наприклад, y = 2ˣ)
- При 0 < a < 1 — спадає (наприклад, y = (1/2)ˣ)
Логарифмічна функція y = logₐx — обернена до показникової. Тобто logₐx — це степінь, у який треба піднести a, щоб отримати x.
- D(f) = (0; +∞) (логарифм існує тільки від додатного числа)
- E(f) = ℝ (будь-яке значення)
- Графік проходить через (1; 0), бо logₐ1 = 0
- При a > 1 — зростає (наприклад, y = log₂x)
- При 0 < a < 1 — спадає
Зв’язок між ними: графіки y = aˣ і y = logₐx симетричні відносно прямої y = x. Це і означає «взаємно обернені».
- y = aˣ: D = ℝ, E = (0; +∞), точка (0; 1).
- y = logₐx: D = (0; +∞), E = ℝ, точка (1; 0).
- a > 1 — обидві зростають.
- 0 < a < 1 — обидві спадають.
- Графіки симетричні відносно y = x (взаємно обернені).
- aˣ > 0 завжди. logₐx визначений тільки при x > 0.
❓ Часті запитання
Чому графіки y = aˣ і y = logₐx симетричні відносно y = x?
Бо ці функції взаємно обернені. Якщо точка (m; n) належить графіку y = aˣ, то n = aᵐ, тобто m = logₐn. Це означає, що точка (n; m) належить графіку y = logₐx. А точки (m; n) і (n; m) симетричні відносно прямої y = x.
Чому при 0 < a < 1 функція спадає?
Бо при дробовій основі піднесення до більшого степеня дає менший результат. Приклад: (1/2)¹ = 0,5, (1/2)² = 0,25, (1/2)³ = 0,125. Зі зростанням x значення функції зменшуються.
Чи може показникова функція дорівнювати нулю?
Ні. aˣ > 0 для будь-якого x і будь-якого a > 0. Графік асимптотично наближається до осі Ox при x → −∞ (для a > 1), але ніколи її не торкається.
Як знайти D(f) для y = log₂(x² − 4)?
Аргумент логарифма має бути додатним: x² − 4 > 0. Розв’язуємо: (x − 2)(x + 2) > 0. Через параболу або метод інтервалів: x < −2 або x > 2. Отже, D(f) = (−∞; −2) ∪ (2; +∞).
Що таке натуральний логарифм ln і чим він відрізняється?
ln x = logₑx, де e ≈ 2,718 (основа натурального логарифма, число Ейлера). Поведінка така сама, як у будь-якого логарифма з основою > 1. Використовують у аналізі (похідні, інтеграли), бо мають найпростіші формули.
Чи може показникова функція бути рівною логарифмічній у якійсь точці?
Може, якщо обидві з однаковою основою. Точка перетину y = aˣ і y = logₐx лежить на прямій y = x. Для a > 1 така точка є (наприклад, для a = 2 — приблизно (0,4; 0,4)). Для деяких a точок перетину може бути дві або взагалі не бути.