Тригонометричні функції y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x — це сімейство періодичних функцій, які описують коливання, обертання і хвильові процеси. На НМТ зустрічаються у задачах на властивості, графіки, періоди, амплітуди, а також у тригонометричних рівняннях.
Нижче: формули для D(f), E(f), періодів кожної функції, поведінка при перетвореннях (y = A sin(ωx + φ)), типові помилки і живі приклади з НМТ.
🔑 Ключові формули
y = sin(kx), y = cos(kx) → T = 2π/|k|
y = tg(kx), y = ctg(kx) → T = π/|k|
Для y = A · sin(kx + φ) амплітуда дорівнює |A|.
E(f) = [−|A|; |A|]
Для y = sin(kx + φ) фазовий зсув = −φ/k.
Це горизонтальний зсув графіка sin kx.
Для y = sin x + d графік зсувається вгору на d (якщо d > 0) або вниз (якщо d < 0).
E(f) = [−1 + d; 1 + d]
sin(x + π/2) = cos x
cos(x − π/2) = sin x
Як розв'язувати — покроковий метод
- 1 Крок 1. Визнач тип функції та її основу
Подивися, яка з чотирьох функцій (sin, cos, tg, ctg) і чи є перетворення: коефіцієнт перед x, амплітуда, зсуви.
- 2 Крок 2. Знайди D(f) та E(f) за типом
sin x, cos x → D = ℝ, E = [−1; 1].
tg x → D = ℝ \ {π/2 + πn}, E = ℝ.
ctg x → D = ℝ \ {πn}, E = ℝ.
Якщо є зсув всередині (наприклад, tg(x − π/4)), знайди D(f) через нерівність: x − π/4 ≠ π/2 + πn.
- 3 Крок 3. Знайди період
Для y = sin(kx) або y = cos(kx) → T = 2π/|k|.
Для y = tg(kx) або y = ctg(kx) → T = π/|k|.
Якщо у функції сума тригонометричних з різними k — період це найменше спільне кратне періодів окремих функцій.
- 4 Крок 4. Знайди амплітуду (для sin і cos)
Для y = A · sin(kx + φ) амплітуда |A|. E(f) = [−|A|; |A|]. Це і є «розмах» коливань. Для y = A · sin(kx + φ) + d графік зсувається на d по вертикалі, E(f) = [−|A| + d; |A| + d].
- 5 Крок 5. Побудуй графік за опорними точками
Для одного періоду sin x достатньо 5 точок: x = 0 (y = 0), π/2 (y = 1), π (y = 0), 3π/2 (y = −1), 2π (y = 0).
Для cos x: x = 0 (y = 1), π/2 (y = 0), π (y = −1), 3π/2 (y = 0), 2π (y = 1).
Інші тригонометричні функції з перетвореннями будують через зсуви і розтяги стандартних графіків.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Знайдіть період функції y = cos(πx/3).
Знайдіть область значень функції y = 2 sin x − 3.
⚠️ Типові помилки учнів
Тригонометричні функції — це коливання. Якщо ти візуально пам’ятаєш «гірку» синуса і «дзеркальну гірку» косинуса, більшість задач на властивості і графіки розв’язується без формул, через впізнавання.
На НМТ задачі на тригонометричні функції часто перевіряють базові речі: знаходження періоду, амплітуди, D(f), парність. Усі ці параметри читаються прямо з формули, якщо знати, де і як їх шукати.
Тримай шпаргалку з 4 функціями (вище) під рукою при розв’язанні задач — вона прискорює визначення періоду, амплітуди, ОДЗ.
Графіки sin x і cos x входять у 6 базових форм, які за прийомом викладачів KEVIN №20 треба впізнавати з льоту (див. Властивості функції).
Дивись також: Pillar: Функції на НМТ, Властивості функції.
Якщо застряг на конкретній темі — запишись на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN. Покажемо, де саме провал, і складемо план підготовки. Залишити заявку →
Чотири основні тригонометричні функції отримуються з одиничного кола: для кута x точка на колі має координати (cos x; sin x), а тангенс і котангенс — це відношення цих координат.
Синус y = sin x:
- D(f) = ℝ; E(f) = [−1; 1]; період 2π; непарна функція
- Нулі: x = πn (n ∈ ℤ)
Косинус y = cos x:
- D(f) = ℝ; E(f) = [−1; 1]; період 2π; парна функція
- Нулі: x = π/2 + πn (n ∈ ℤ)
Тангенс y = tg x:
- D(f) = ℝ \ {π/2 + πn}; E(f) = ℝ; період π; непарна функція
- Нулі: x = πn. Вертикальні асимптоти у x = π/2 + πn
Котангенс y = ctg x:
- D(f) = ℝ \ {πn}; E(f) = ℝ; період π; непарна функція
- Нулі: x = π/2 + πn. Вертикальні асимптоти у x = πn
Зверни увагу: sin і cos обмежені (значення між −1 і 1), а tg і ctg не обмежені (приймають усі дійсні значення).
| Функція | D(f) | E(f) | Період | Парність |
|---|---|---|---|---|
| sin x | ℝ | [−1; 1] | 2π | непарна |
| cos x | ℝ | [−1; 1] | 2π | парна |
| tg x | ℝ \ {π/2 + πn} | ℝ | π | непарна |
| ctg x | ℝ \ {πn} | ℝ | π | непарна |
❓ Часті запитання
Як знайти період функції y = 3 sin(2x + π/3)?
Період залежить тільки від коефіцієнта при x: T = 2π/|2| = π. Амплітуда 3, фазовий зсув −π/6, але ці параметри на період не впливають.
Чим відрізняються графіки sin і cos?
Графік cos — це графік sin, зсунутий вліво на π/2. Або, що те саме, sin — це cos, зсунутий вправо на π/2. Формально: cos x = sin(x + π/2).
Як побудувати графік y = 2 sin(x − π/4)?
Беремо стандартний y = sin x. Зсуваємо вправо на π/4 (бо у дужках −π/4). Потім розтягуємо у 2 рази по вертикалі (множник 2 спереду). Амплітуда 2, період 2π, фазовий зсув π/4 праворуч.
Чому tg і ctg мають період π, а sin і cos — 2π?
Бо tg і ctg — це відношення sin і cos. На відстані π синус і косинус міняють знаки одночасно, тому їхнє відношення повертається до того самого значення. У синуса і косинуса повторення тільки на 2π.
Як знайти D(f) для y = tg(x − π/4)?
Тангенс не визначений, коли його аргумент дорівнює π/2 + πn. Розв’язуємо: x − π/4 ≠ π/2 + πn → x ≠ 3π/4 + πn. Отже, D(f) = ℝ \ {3π/4 + πn, n ∈ ℤ}.
Які функції є парними, а які непарними?
cos x — парна (симетрія відносно Oy). sin x, tg x, ctg x — непарні (симетрія відносно (0; 0)). Це важливо для аналізу графіків і для розв’язання тригонометричних рівнянь.