Теорема Вієта зв’язує корені квадратного рівняння з його коефіцієнтами. Для зведеного рівняння x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q. Дає змогу швидше перевірити корені або підібрати їх усно, без дискримінанта.
На НМТ з математики регулярні завдання перевіряють вміння застосувати теорему Вієта: знайти суму чи добуток коренів без розв’язання, відновити рівняння за коренями або знайти невідомий коефіцієнт. Учні, які володіють теоремою, економлять час.
🔑 Ключові формули
x² + px + q = 0 → x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q
ax² + bx + c = 0 → x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a
Якщо x₁ + x₂ = s і x₁ · x₂ = p, то корені — це розв’язки рівняння x² − sx + p = 0
D = b² − 4ac ≥ 0
Як розв'язувати — покроковий метод
- 1 Зведіть рівняння до вигляду x² + px + q = 0
Якщо в рівнянні є коефіцієнт a ≠ 1 (наприклад, 2x² + 6x − 8 = 0), поділіть усе на a. Отримаєте x² + 3x − 4 = 0. Тепер можна напряму застосувати теорему Вієта: x₁ + x₂ = −3, x₁ · x₂ = −4.
- 2 Запишіть суму та добуток коренів
Випишіть на чернетці: x₁ + x₂ = −p (з протилежним знаком до p), x₁ · x₂ = q (як є). Це найчастіша помилка, забути знак мінус у сумі. Перевіряйте знак двічі.
- 3 Підберіть пару чисел усно
Для типових НМТ-задач корені, цілі числа від −10 до 10. Перебирайте пари: які цілі числа дають потрібну суму та добуток? Наприклад, для x² − 5x + 6 = 0: сума 5, добуток 6 → 2 і 3.
- 4 Перевірте дискримінант
Якщо усно підібрати не вдається, обчисліть D = p² − 4q (для зведеного) або D = b² − 4ac. Якщо D
- 5 Підставте корені в оригінал, перевірка
Завжди підставляйте знайдені x₁ і x₂ у вихідне рівняння. Якщо отримуєте 0 = 0, корені правильні. Перевірка займає кілька секунд і ловить арифметичних помилок.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Знайдіть корені рівняння x² − 7x + 12 = 0 за теоремою Вієта.
У рівнянні x² + px − 15 = 0 один з коренів дорівнює 3. Знайдіть p та другий корінь.
Знайдіть корені рівняння 2x² − 10x + 8 = 0 за теоремою Вієта.
⚠️ Типові помилки учнів
На НМТ теорема Вієта, найшвидший інструмент для квадратних рівнянь з цілими коефіцієнтами. Тренуйте усний підбір: пишіть 10 рівнянь на день і знаходьте корені швидше без обчислення дискримінанта. З регулярним тренуванням швидкість підбору коренів зростає, і це дає перевагу на іспиті. Уважно стежте за знаком мінус у сумі — це помилок учнів.
Дивись також: Дискримінант квадратного рівняння, Нерівності.
Хочеш перевірити свій рівень з алгебри? Запишись на безкоштовну 60-хвилинну онлайн-діагностику з експертом KEVIN: визначимо твій поточний рівень з НМТ-математики та складемо персональний план підготовки. Залишити заявку →
Якщо квадратне рівняння x² + px + q = 0 має корені x₁ та x₂, то між ними та коефіцієнтами існує зв’язок: сума коренів дорівнює коефіцієнту при x з протилежним знаком (x₁ + x₂ = −p), а добуток коренів дорівнює вільному члену (x₁ · x₂ = q).
Для загального вигляду ax² + bx + c = 0 (де a ≠ 0) формули перетворюються: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a. Теорема працює лише якщо дискримінант невід’ємний (D ≥ 0), інакше дійсних коренів немає.
Зворотна теорема дозволяє відновити рівняння за двома числами s = x₁ + x₂ та p = x₁ · x₂: x² − sx + p = 0.
Зведене рівняння x² + px + q = 0:
• сума коренів = −p (з мінусом!)
• добуток коренів = q (як є)
Загальний вигляд ax² + bx + c = 0:
• сума = −b/a, добуток = c/a
Перевірка: підставити обидва корені в оригінал.
❓ Часті запитання
Коли краще застосовувати теорему Вієта, а не дискримінант?
Теорему Вієта застосовуйте, коли в рівнянні x² + px + q = 0 коефіцієнти невеликі цілі числа і ви бачите можливі корені усно (наприклад, x² − 5x + 6: корені 2 і 3). Дискримінант, коли коефіцієнти дробові, великі або корені нецілі. На НМТ Вієта економить 3-5 хв на завдання.
Чи працює теорема Вієта для кубічних рівнянь?
Так, є узагальнена теорема Вієта для рівнянь будь-якого степеня. Для кубічного ax³ + bx² + cx + d = 0: x₁ + x₂ + x₃ = −b/a, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a, x₁x₂x₃ = −d/a. У шкільній програмі та на НМТ використовується переважно для квадратних рівнянь.
Що робити, якщо дискримінант від'ємний?
Якщо D < 0, у дійсних числах рівняння не має коренів, теорема Вієта не застосовується. У відповіді пишемо «рівняння не має дійсних коренів». На НМТ з математики комплексні корені не вивчаються.
Як швидко відновити квадратне рівняння за двома коренями?
За зворотною теоремою Вієта: якщо корені x₁ та x₂, то рівняння має вигляд x² − (x₁ + x₂)x + x₁ · x₂ = 0. Приклад: корені 4 і 7 → сума 11, добуток 28 → рівняння x² − 11x + 28 = 0.
Чому в теоремі Вієта мінус лише у сумі, а в добутку, ні?
Походить з того, як рівняння розкладається на множники: x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂). Якщо розкрити дужки: x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂. Порівнюючи коефіцієнти, отримуємо p = −(x₁ + x₂), тобто x₁ + x₂ = −p. У добутку знака мінус немає, бо двічі мінус дає плюс.
Чи може один з коренів бути нулем?
Так. Якщо вільний член q = 0 (наприклад, x² − 7x = 0), то добуток коренів дорівнює нулю → один з коренів обов’язково 0. Інший корінь дорівнює −p (у нашому прикладі, 7). Можна також розв’язати винесенням x за дужки: x(x − 7) = 0.
Скільки разів теорема Вієта зустрічається на НМТ з математики?
кілька завдань у кожному варіанті НМТ прямо чи опосередковано використовують теорему Вієта. Прямі, на знаходження суми/добутку коренів або відновлення рівняння. Опосередковані, на швидкий розв’язок квадратних рівнянь з цілими коефіцієнтами в текстових задачах.
Що робити, якщо корені нецілі?
Якщо при усному підборі не вдається знайти цілі корені, переходьте до стандартної формули x = (−b ± √D) / (2a). Теорема Вієта при нецілих коренях технічно працює, але підбирати усно стає неможливо, простіше дискримінант.