Площа — кількісна характеристика розміру плоскої фігури. На НМТ задачі на площу зустрічаються у тесті регулярно. Базис: 7 формул для основних фігур плюс техніка розбиття складних фігур на трикутники.
Без впевненого знання формул площі неможливо здати геометрію НМТ. Це найфундаментальніша планіметрична тема: усе інше (стереометрія, об’єми, аналітична геометрія) спирається на швидке обчислення площ. Тренування з площами — найвища ROI з планіметричних тем.
🔑 Ключові формули
S = ½ · a · h
S = a · h
S = (d₁ · d₂) / 2
S = ((a + b) / 2) · h
S = π · R²
S = (π · R² · α) / 360°
S = ½ · P · r
Як розв'язувати — покроковий метод
-
1 Класифікуйте фігуру
Перший крок, визначте тип фігури. Трикутник? Паралелограм? Трапеція? Круг? Сектор? Чи фігура комбінована (наприклад, прямокутник з вирізаним сектором)? Від цього залежить підхід.
-
2 Випишіть відомі величини
Які дані маємо, сторони, кути, діагоналі, радіус? Чи можна одразу застосувати готову формулу? Якщо так, перевірте: чи всі змінні у формулі відомі?
-
3 Виберіть оптимальну формулу
Для трикутника, якщо дано основу і висоту → S = ½ah; дві сторони і кут → ½ab·sin C; три сторони → Герона. Для паралелограма, основа і висота → ah; дві сторони і кут → ab·sin α. Для ромба, діагоналі → d₁d₂/2; сторона і кут → a²·sin α.
-
4 Для складних фігур, метод розбиття
Якщо фігура нестандартна (зірка, многокутник з вирізаннями), розбийте її на трикутники чи прямокутники. Намалюйте діагоналі, медіани. Обчисліть площу кожної частини окремо. Додайте (для розбиття) або відніміть (для вирізання).
-
5 Перевірте розмірності та реальність
Площа завжди у квадратних одиницях. Не може бути від’ємною. Якщо отримали негативне число, помилка в знаках. Якщо площа підозріло велика чи мала, перерахуйте. Зведення одиниць: 1 м² = 10000 см², 1 км² = 1000000 м².
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Знайдіть площу фігури, яка є прямокутником 10×6 см, з якого вирізали півкруг радіуса 3 см (центр на середині довшої сторони).
Площа прямокутника. S₁ = 10·6 = 60 см². Площа півкруга. S₂ = ½·π·R² = ½·π·9 = 4,5π см². Площа фігури. S = S₁ − S₂ = 60 − 4,5π см². У десятковому. 60 − 14,14 = 45,86 см². На НМТ зазвичай залишають у точній формі. Відповідь: 60 − 4,5π см² (≈ 45,86 см²).
Знайдіть площу сектора кола радіуса 6 см, який відповідає центральному куту 120°.
Формула: S = πR²α/360° = π·36·120/360 = π·36·(1/3) = 12π см² — У десятковому. ≈ 37,7 см². Перевірка через альтернативну формулу: довжина дуги L = πR·α/180 = π·6·120/180 = 4π см; S = ½·R·L = ½·6·4π = 12π см² ✓. Відповідь: 12π см².
У трикутнику ABC дано: AB = 10 см, AC = 14 см, кут A = 30°. Знайдіть площу.
Формула: S = ½·AB·AC·sin A = ½·10·14·sin 30° = ½·140·0,5 = 35 см² — Зверніть увагу: sin 30° = 0,5. одне з табличних значень, яке треба знати напам'ять. Відповідь: 35 см².
⚠️ Типові помилки учнів
У формулі S = a·h (паралелограм) ВИСОТА — це перпендикуляр від однієї сторони до протилежної, а не сусідня сторона! У прямокутнику вони збігаються (бо кут 90°), у похилому паралелограмі, ні. Це найпоширеніша помилка з площею.
S трикутника = ½·a·h. Якщо забути ½ і написати S = a·h, отримуєте площу паралелограма (у 2 рази більшу за справжню). Тренуйтеся: трикутник, половина від паралелограма з тими ж основою і висотою.
У формулі площі сектора S = πR²α/360° кут α у ГРАДУСАХ. У версії з радіанами S = ½R²α (без π і без 360°). Перевіряйте, у яких одиницях кут у задачі, перш ніж підставляти.
Якщо фігура нестандартна (трикутник з вирізаним меншим трикутником, многокутник з вирізами), не намагайтесь знайти «магічну формулу». Її немає. Розбийте на стандартні фігури, рахуйте кожну окремо, додавайте або віднімайте.
1 м = 100 см, але 1 м² = 10000 см² (не 100!). Якщо сторони у см, а відповідь у м², помножте/поділіть на 10000. Часта пастка: одні дані у м, інші у см. Зведіть до одиниць перш ніж рахувати.
Площі, фундамент усієї геометрії. Без вільного володіння цією темою решта планіметрії і стереометрії стає тортурою. Тренуйтеся 10-14 днів, по частину задач щодня, поки 7 базових формул не вимовляться автоматично. Особлива увага, метод розбиття складних фігур, саме у ньому виграється або втрачається більшість складних геометричних задач на НМТ.
Дивись також: Трикутники, Чотирикутники, Коло, Планіметрія (pillar).
Хочеш перевірити свій рівень з планіметрії? Запишись на безкоштовну 60-хвилинну онлайн-діагностику з експертом KEVIN: визначимо твій рівень з НМТ-математики та складемо персональний план підготовки. Залишити заявку →
Площа вимірюється у квадратних одиницях (см², м², км²). Базовий принцип, площа квадрата зі стороною 1 одиниця дорівнює 1 одиниця². Усі формули виводяться з порівняння з еталоном.
Для прямих фігур (трикутник, паралелограм, трапеція) є точні формули. Для криволінійних (коло, сектор) — формули з π. Для складних фігур (зірки, нестандартні многокутники) — метод розбиття на трикутники.
Ключова техніка: метод розбиття — розрізаєте фігуру на трикутники чи прямокутники і рахуєте площу кожної частини, додаєте. Або — метод додаткової побудови — малюєте фігуру всередині простішої (квадрат, прямокутник) і віднімаєте площу «зайвих» частин.
Трикутник: ½·a·h
Паралелограм: a·h
Ромб: d₁d₂/2
Трапеція: ((a+b)/2)·h
Круг: πR²
Сектор: πR²α/360°
Правильний многокутник: ½P·r
Складна фігура: метод розбиття на трикутники
❓ Часті запитання
Скільки задач на площу зустрічається в НМТ?
кілька завдань щороку. Найпоширеніші, площа трикутника через основу і висоту, площа паралелограма/трапеції, площа круга/сектора. Складні комбіновані задачі з розбиттям трапляються у завданнях.
Чи треба знати всі 7 формул напам'ять?
Так. На НМТ довідника немає, базові формули мають бути в активній пам’яті. Тренуйтеся не лише запам’ятовувати, але й виводити: площа паралелограма = 2 × площі трикутника з тими ж основою і висотою, площа трапеції = площа двох трикутників.
Як швидко знайти площу неправильного чотирикутника?
Розбийте діагоналлю на два трикутники. Знайдіть площу кожного (наприклад, формулою Герона якщо знаєте всі сторони). Додайте. Альтернатива: формула S = ½d₁d₂·sin θ (через діагоналі і кут між ними). працює для будь-якого чотирикутника.
Чим відрізняються площа і периметр?
Периметр, сума всіх сторін (одиниця: см, м). вимірює довжину контуру фігури. Площа, внутрішня площина фігури (одиниця: см², м²). Якщо у задачі «огорожа навколо саду», то периметр. Якщо «трава на полі», то площа.
Як знайти площу сектора, якщо дано лише радіус і довжину дуги?
Знайдіть центральний кут через довжину дуги. α = (180·L)/(πR), потім підставте у формулу сектора. Альтернатива (швидша): S сектора = ½·R·L, де R — радіус, L — довжина дуги. Це окрема формула, корисна для НМТ.
Що таке апофема правильного многокутника?
Апофема, перпендикуляр з центра многокутника до середини сторони, дорівнює радіусу вписаного кола (r). У задачах: використовується у формулі S = ½·P·r. Не плутати з апофемою піраміди (висота бічної грані).
Як знайти площу криволінійної фігури?
Якщо фігура обмежена відрізками прямих + дугами кіл, розбийте на стандартні (прямокутники, трикутники, сектори, сегменти). Якщо плавна крива без формули, на НМТ такого не буває. Ці задачі зі сфери математичного аналізу (ЗВО).