Чотирикутники на НМТ: п’ять базових типів: паралелограм, ромб, прямокутник, квадрат, трапеція. Кожен має унікальний набір властивостей сторін, кутів та діагоналей. Сума внутрішніх кутів будь-якого чотирикутника = 360°.
Чотирикутники зустрічаються у завданнях НМТ. Без знання властивостей діагоналей паралелограма (точка перетину ділить навпіл), ромба (взаємно перпендикулярні), трапеції (середня лінія) неможливо швидко розв’язати задачі на знаходження сторін чи площі. Це класична тема де помилки коштують значну частину балів.
🔑 Ключові формули
S = a · h
S = a · b · sin α
S = (d₁ · d₂) / 2
S = ((a + b) / 2) · h
S = a²
m = (a + b) / 2
Як розв'язувати — покроковий метод
- 1 Класифікуйте чотирикутник за умовою
Ключові слова: «протилежні сторони рівні», «діагоналі взаємно перпендикулярні», «дві сторони паралельні» вказують на конкретний тип. Якщо нічого не сказано, можливий довільний чотирикутник. Тип задає формули площі та властивості діагоналей.
- 2 Намалюйте з підписами вершин
Позначте ABCD за годинниковою стрілкою. Підпишіть сторони (a, b, c, d), кути (∠A, ∠B…), діагоналі (AC, BD). Якщо є прямі кути, позначте квадратиками. Якщо рівні сторони, однаковими рисочками.
- 3 Виберіть формулу площі за типом
Паралелограм: S = a·h або a·b·sin α. Ромб: S = d₁d₂/2 (через діагоналі) або a²·sin α. Трапеція: S = ((a+b)/2)·h. Прямокутник: S = a·b. Квадрат: S = a². Пам’ятайте, що прямокутник, ромб і квадрат є паралелограмом. Квадрат є ромбом і прямокутником.
- 4 Використайте властивості діагоналей
Паралелограм, діагоналі ділять одна одну навпіл (точка перетину, середина обох). Прямокутник, діагоналі рівні. Ромб, діагоналі взаємно перпендикулярні і є бісектрисами кутів. Квадрат, всі перелічені властивості разом.
- 5 Перевірте суму кутів і нерівності
Сума всіх 4 кутів = 360°. У паралелограмі протилежні кути рівні, сусідні в сумі дають 180°. У трапеції кути біля бічної сторони в сумі дають 180°. Якщо отримали інакше, помилка.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Діагоналі ромба дорівнюють 10 см і 24 см. Знайдіть площу та сторону.
Основи трапеції дорівнюють 8 см і 14 см, а висота. 6 см. Знайдіть площу.
У паралелограмі ABCD кут A дорівнює 70°. Знайдіть інші кути.
⚠️ Типові помилки учнів
Чотирикутники — тема, де класифікація вирішує. Спочатку завжди питайте: який це тип? Від типу залежить набір формул і властивостей. Тренуйтесь за такою послідовністю: 1) паралелограм та його властивості, 2) ромб, 3) прямокутник і квадрат, 4) трапеція, 5) довільні чотирикутники. 7-10 днів практики, по частині задач щодня. На НМТ ця тема — одна з найкращих у співвідношенні бал/час підготовки.
Дивись також: Трикутники, Планіметрія (pillar).
Хочеш перевірити свій рівень з планіметрії? Запишись на безкоштовну 60-хвилинну онлайн-діагностику з експертом KEVIN: визначимо твій рівень з НМТ-математики та складемо персональний план підготовки. Залишити заявку →
Паралелограм — чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні та рівні. Протилежні кути рівні, сума сусідніх: 180°. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл.
Прямокутник — паралелограм з усіма прямими кутами. Діагоналі рівні. Ромб — паралелограм з усіма рівними сторонами. Діагоналі взаємно перпендикулярні та ділять кути навпіл. Квадрат — ромб + прямокутник (всі сторони рівні, всі кути прямі).
Трапеція — чотирикутник, у якого лише дві сторони (основи) паралельні. Середня лінія дорівнює півсумі основ. Рівнобічна трапеція має рівні бічні сторони та рівні діагоналі.
Сума кутів: 360°
Паралелограм: S = ah або ab·sin α
Ромб: S = d₁d₂/2
Трапеція: S = ((a+b)/2)·h
Квадрат: S = a²
Середня лінія трапеції: (a+b)/2
❓ Часті запитання
Скільки задач на чотирикутники зустрічається у НМТ?
кілька завдань, найчастіше площа паралелограма/ромба/трапеції, властивості діагоналей квадрата, знаходження сторони через діагональ ромба. Тема дає додаткові бали якщо володієш формулами.
Як швидко відрізнити паралелограм від трапеції?
Перевір умову, якщо ОБИДВІ пари протилежних сторін паралельні, паралелограм. Якщо ЛИШЕ ОДНА пара паралельна, трапеція. На рисунку, у паралелограма «ромбоподібна» форма (всі сторони можуть бути нахилені), у трапеції типово одна пара горизонтальна, а бічні нахилені.
Чи квадрат, це ромб?
Так. Квадрат, окремий випадок ромба (де всі кути ще й прямі) І окремий випадок прямокутника (де всі сторони ще й рівні). На НМТ можна застосовувати до квадрата всі властивості ромба І прямокутника одночасно. (рівні сторони, перпендикулярні рівні діагоналі, рівні кути).
Чим відрізняються формули площі для різних чотирикутників?
Для паралелограма S = a·h (основа на висоту). Для ромба є додатково S = d₁d₂/2 (через діагоналі), бо вони взаємно перпендикулярні. Для трапеції S = ((a+b)/2)·h, бо дві основи. Прямокутник і квадрат, часткові випадки паралелограма.
Як знайти площу довільного чотирикутника, який не належить жодному з 5 типів?
Розбийте діагоналлю на два трикутники, обчисліть площу кожного (наприклад, формулою Герона), додайте. Або використайте формулу площі чотирикутника через діагоналі та кут між ними. S = ½·d₁·d₂·sin θ (працює для будь-якого чотирикутника).
Що таке рівнобічна трапеція?
Трапеція з рівними бічними сторонами (тими, що НЕ є основами). У неї також, кути біля кожної основи рівні між собою, діагоналі рівні, навколо можна описати коло. Зустрічається на НМТ у завданнях.
Чи можна вписати коло в будь-який чотирикутник?
Ні. Коло можна вписати лише в чотирикутник, у якого суми протилежних сторін рівні. a + c = b + d. Це обов’язкова умова. Зокрема, у ромб і квадрат коло завжди вписується (всі сторони рівні), у прямокутник, лише якщо це квадрат.