Подібність — відношення між фігурами, у яких відповідні кути рівні, а сторони пропорційні. На НМТ. частина задач щороку, найчастіше «знайти сторону через пропорцію». Теорема Фалеса, фундамент подібності трикутників.
Подібність, одна з найкорисніших технік розв’язання геометричних задач: коли неможливо знайти сторону прямо, через подібність трикутників вдається скласти пропорцію. Теорема Фалеса також з’являється у задачах з планіметрії та стереометрії. Економить час на завдання.
🔑 Ключові формули
k = a / a’ = b / b’ = c / c’
S / S’ = k²
AB / BC = A’B’ / B’C’
m = (1/2) · a
BD / DC = AB / AC
Як розв'язувати — покроковий метод
- 1 Розпізнайте, що це задача на подібність
Маркери, дві фігури з паралельними сторонами; трикутники з однаковими кутами; задача типу «знайти невідому сторону через відношення». Якщо в умові є фраза «трикутники подібні» або «паралельні прямі» — це точно подібність.
- 2 Виберіть ознаку подібності
Якщо дано два рівних кути → ознака AA. Якщо два кути не дано, але є пропорційність сторін з відомим кутом між ними → SAS. Якщо лише сторони → SSS. Найчастіше на НМТ: ознака AA (вона ж найпростіша).
- 3 Зіставте відповідні сторони
Сторони, що лежать проти рівних кутів, відповідні. Поставте їх у пропорцію в правильному порядку: a/a’ = b/b’ = c/c’. Помилка у відповідності, найчастіша причина невірних відповідей.
- 4 Складіть пропорцію і знайдіть невідому
Запишіть пропорцію з відомих величин. Виразіть невідому через хрест-навхрест: якщо a/b = c/x, то x = (b·c)/a. Обчисліть.
- 5 Перевірте через відношення площ або інших величин
Якщо знайшли k = 2, то площі відносяться як 4 (тобто k²). Якщо отримали неузгоджені результати з різних пар сторін, помилка у відповідності. Перевірте крест-навхрест.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
У трикутнику ABC проведено DE паралельно BC, D на AB, E на AC. AD = 4, DB = 6, AE = 5. Знайдіть EC.
Площа меншого з двох подібних трикутників. 12 см². Коефіцієнт подібності k = 3. Знайдіть площу більшого.
У трикутнику ABC бісектриса з кута A перетинає BC у точці D. AB = 6, AC = 8, BC = 14. Знайдіть BD і DC.
⚠️ Типові помилки учнів
Подібність, тема, яку учні часто недооцінюють, але саме вона дає швидкі розв’язки складних задач. Тренуйтеся розпізнавати подібні трикутники на рисунку: якщо бачите паралельні прямі або однакові кути, перевірте подібність першим ділом. Це техніка, яка дає бал в обмін на хвилину міркувань. На НМТ. одна з найприбутковіших.
Дивись також: Трикутники, Коло, Планіметрія.
Хочеш перевірити свій рівень з планіметрії? Запишись на безкоштовну 60-хвилинну онлайн-діагностику з експертом KEVIN: визначимо твій рівень з НМТ-математики та складемо персональний план підготовки. Залишити заявку →
Подібні трикутники — два трикутники, у яких відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні. Коефіцієнт подібності (k). відношення відповідних сторін. Площі подібних трикутників відносяться як k².
3 ознаки подібності:
1) За двома кутами (AA): якщо два кути одного трикутника рівні двом кутам іншого, трикутники подібні. Найпростіший спосіб довести подібність.
2) За двома сторонами і кутом між ними (SAS): якщо відношення двох сторін і кут між ними однакові у двох трикутниках, вони подібні.
3) За трьома сторонами (SSS): якщо відношення трьох сторін однакові, трикутники подібні.
Теорема Фалеса: якщо паралельні прямі перетинають дві прямі, вони відсікають на них пропорційні відрізки. Часткове застосування, середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині.
3 ознаки подібності: AA, SAS, SSS
Коефіцієнт: k = a/a’
Відношення площ: S/S’ = k²
Теорема Фалеса: паралельні прямі → пропорційні відрізки
Середня лінія Δ: = ½ основи, паралельна їй
Бісектриса: ділить сторону як прилеглі сторони
❓ Часті запитання
Скільки задач на подібність у НМТ?
регулярні завдання, плюс ще 1-2 де подібність використовується як проміжна техніка (для пошуку невідомої сторони у задачі з іншим основним питанням). Володіти технікою, означає мати 2-4 додаткових бали.
Як визначити, що два трикутники подібні?
Найшвидше, за двома рівними кутами (ознака AA). Якщо у двох трикутниках є два спільних або рівних кути (наприклад, через паралельні прямі), вони подібні. Цього достатньо, не потрібно перевіряти сторони.
Що означає «коефіцієнт подібності»?
Це число, на яке множаться сторони меншого трикутника, щоб отримати сторони більшого. Наприклад, k = 2 означає, що другий трикутник у 2 рази більший за лінійними розмірами (сторони). Площі при цьому, у 4 рази (k² = 4).
Чи можна застосувати теорему Фалеса до трапеції?
Так. Основи трапеції паралельні, тому будь-яка пряма, що перетинає бічні сторони, відсікає пропорційні відрізки. Це використовується для знаходження середньої лінії трапеції та для розв’язання задач з «лінією, паралельною основам».
Як знайти площу подібного трикутника?
Якщо знаєте площу одного трикутника S₁ і коефіцієнт подібності k, площа другого. S₂ = k² · S₁. Якщо обидва трикутники подібні, але треба знайти k через сторони: k = a₂/a₁ (відношення відповідних сторін).
Що таке середня лінія трикутника і як її знайти?
Середня лінія, відрізок, що з’єднує середини двох сторін трикутника. Вона паралельна третій стороні і дорівнює її половині. Це окремий випадок теореми Фалеса. У задачах часто використовується для побудов і обчислень.
Бісектриса і медіана, одне й те саме?
Ні. Медіана, з’єднує вершину з СЕРЕДИНОЮ протилежної сторони (ділить її навпіл). Бісектриса, ділить КУТ навпіл, а протилежну сторону, у відношенні прилеглих сторін. У рівнобедреному трикутнику медіана і бісектриса до основи збігаються; у різносторонньому, різні відрізки.