Рівняння – це запис зі змінною, для якого шукають корінь. Корінь (розвʼязок) рівняння з однією змінною – це значення змінної, що перетворює рівняння у правильну рівність. Розвʼязати рівняння означає знайти всі його корені або довести, що їх немає. Цю тему розбирають на курсі математики KEVIN.
🔑 Головні правила теми
Число \(x_0\) є коренем рівняння, якщо після підстановки \(x = x_0\) обидві частини дають правильну рівність.
\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0\) тоді, коли \(f(x) = 0\) і водночас \(g(x) \ne 0\). Тобто чисельник обертається в нуль, а знаменник – ні.
Корені \(ax^2 + bx + c = 0\) шукають через дискримінант або за теоремою Вієта. Наприклад, у рівнянні \(y^2 + 3y – 4 = 0\) корені \(y_1 = 1\), \(y_2 = -4\).
Якщо перетворення привели до \(x^2 = -1\), коренів немає: квадрат жодного дійсного числа не буває відʼємним.
З лінійного рівняння виражають одну змінну через іншу, підставляють вираз у друге рівняння, розвʼязують рівняння з однією змінною і знаходять другу змінну.
Ліві й праві частини рівнянь додають почленно, щоб отримати рівняння з однією змінною. За потреби одне з рівнянь спершу множать на число, наприклад на \(-2\).
Одне рівняння системи ділять на друге, коли результат простіший за кожне з початкових рівнянь.
Складне рівняння зводять до простого, позначивши повторюваний вираз новою літерою. Наприклад, у показниковому рівнянні після заміни виходить \(y^2 + 3y – 4 = 0\), а вже потім повертаються до \(x\).
Після піднесення до квадрата чи інших нерівносильних перетворень корені перевіряють підстановкою і сторонні вилучають.
Корінь, що не входить в область допустимих значень, відкидають. Так у системі показникових рівнянь корінь \(y_2 = -4\) не задовольняв ОДЗ, і залишився лише \(y = 1\).
🗺 Оберіть підтему для детального розбору
Кожна підтема — окрема сторінка з реальними завданнями НМТ, покроковим методом та шпаргалкою.
📆 План підготовки — План підготовки до теми «Рівняння»
Перенесення доданків зі зміною знака, дискримінант, теорема Вієта. Це фундамент: усі решта видів ви будете зводити саме до цих двох.
Правило нульового дробу, ОДЗ, перевірка коренів після піднесення до квадрата. Тут відпрацьовується звичка не забувати про знаменник.
Заміна змінної, властивості логарифма, ОДЗ для виразу під логарифмом. Тижня достатньо, бо техніка та сама, що на другому тижні, змінюється лише «упаковка».
Серії коренів, потім чотири методи для систем: підстановка, додавання, почленне ділення, заміна змінної.
Як розв'язувати завдання теми — загальний метод
-
1
У системі ви шукаєте не окреме число, а пару чисел, яка задовольняє всі рівняння одночасно. Основних методів чотири, і вибір залежить від того, як виглядають рівняння.
Спосіб підстановки застосовують, коли одне з рівнянь системи лінійне. Послідовність дій така: з лінійного рівняння виразити одну змінну через іншу, підставити цей вираз у друге рівняння, розвʼязати отримане рівняння з однією змінною, знайти відповідне значення другої змінної. У прикладі підручника з першого рівняння вийшло \(x = 10 – 4y\), після підстановки утворилося квадратне рівняння \(6y^2 – 35y + 51 = 0\), а один із коренів дав \(y = 3\), тоді \(x = 10 – 4 \cdot 3 = -2\).
Спосіб додавання працює, коли після почленного додавання лівих і правих частин залишається рівняння з однією змінною. Іноді перед додаванням одне рівняння множать на число: у прикладі підручника друге рівняння помножили на \(-2\), після додавання вийшло \(x^2 – 4x + 4 = 0\) з коренем \(x = 2\), а потім із першого рівняння \(y^2 = 1\), тобто \(y_1 = 1\), \(y_2 = -1\). Розвʼязками системи є пари \((2; 1)\) і \((2; -1)\).
Метод почленного ділення беруть тоді, коли частка рівнянь простіша за самі рівняння. У підручнику після ділення вийшло найпростіше показникове рівняння, з якого \(x^2 – y = 2\), а разом із другим рівнянням система звелася до пари простих рівнянь.
Заміна змінної у системах працює так само, як в окремому рівнянні. У прикладі підручника після заміни \(t\) рівняння набуло вигляду \(t + \dfrac{1}{t} = 2\) з коренем \(t = 1\), звідки \(x = y\), і вся система стала значно простішою. Відповідь у тому прикладі – пара \((5; 5)\).
Часто в одній задачі методи комбінують: підручник прямо зазначає, що під час розвʼязування систем нерідко доводиться поєднувати кілька методів.
⚠️ Типові помилки по темі
Неправильно. Потрібні дві умови одночасно: чисельник дорівнює нулю і знаменник нулю не дорівнює. Корінь чисельника, що обертає знаменник у нуль, у відповідь не входить.
Неправильно. ОДЗ входить у сам розвʼязок: у прикладі підручника рівняння звелося до системи з умовою \(-1 \lt x \lt 3{,}5\), і лише на її тлі перевіряли, чи підходять обидва корені \(x_1 = 3\) і \(x_2 = -0{,}5\).
Неправильно. Значення нової літери - це проміжний результат. У прикладі з підручника після \(y = 1\) робили ще один крок і отримували \(x = 3\), а відповіддю була пара \((3; 1)\).
Неправильно. Піднесення до квадрата дає рівняння-наслідок, тому серед знайдених чисел можуть бути сторонні корені, і їх вилучають перевіркою.
Неправильно. Квадрат будь-якого дійсного числа невідʼємний, тому таке рівняння не має розвʼязків у множині дійсних чисел, і на цьому робота з ним закінчується.
Які підтеми входять у розділ «Рівняння»
Розділ складається з восьми підтем. Логіка руху проста: спершу лінійні й квадратні, бо до них зводиться майже все інше, потім раціональні й ірраціональні, і вже наостанок показникові, логарифмічні та тригонометричні.
- Лінійні рівняння – база всього розділу, звідси беруться перенесення доданків і зміна знака.
- Квадратне рівняння. Дискримінант – універсальний спосіб знайти корені \(ax^2 + bx + c = 0\).
- Теорема Вієта – швидкий шлях, коли корені цілі й «гарні».
- Раціональні рівняння – тут працює правило про дріб, що дорівнює нулю, і обовʼязкове ОДЗ.
- Ірраціональні рівняння – головне місце появи сторонніх коренів.
- Показникові рівняння – найчастіше зводяться заміною змінної до квадратного.
- Логарифмічні рівняння – властивості логарифма плюс жорстка перевірка ОДЗ.
- Тригонометричні рівняння – нескінченні серії коренів із параметром \(n \in Z\).
Поряд стоять два сусідні розділи, без яких рівняння не закриваються повністю: метод інтервалів і системи лінійних рівнянь.
Чим рівняння відрізняється від нерівності
Різниця не в оформленні, а в тому, що ви робите з «поганими» точками. У рівнянні корені, які не входять в ОДЗ, ви просто відкидаєте. У нерівності ті самі значення ви наносите на координатну пряму як виколоті точки, бо саме вони впливають на знак виразу, хоча в розвʼязок не входять.
Друга різниця – у відповіді. Відповідь рівняння – це числа, відповідь нерівності – проміжок. Тому в нерівності додається окрема технічна робота: чи замальована точка і яка дужка стоїть у записі проміжку. Це вже тема лінійних нерівностей і методу інтервалів, але плутанина між рівнянням і нерівністю починається саме тут.
Ще одна тонкість: відсутність розвʼязків у допоміжного рівняння не означає, що розвʼязків немає в нерівності. Коли ви прирівнюєте вираз до нуля і бачите, що коренів немає, це говорить лише про сам вираз, а нерівність водночас може виконуватися на всій числовій прямій.
❓ Часті запитання про тему
Що таке корінь рівняння простими словами
Корінь рівняння – це значення змінної, яке перетворює рівняння у правильну рівність. Тобто ви підставляєте число замість \(x\), обчислюєте ліву й праву частини, і вони збігаються. Означення розвʼязку рівняння з однією змінною входить у програму НМТ.
Які види рівнянь треба знати на НМТ
Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні й тригонометричні, а також системи рівнянь, серед яких хоча б одне рівняння другого степеня. Від абітурієнта вимагають розвʼязувати найпростіші рівняння кожного виду і нескладні рівняння, які до них зводяться.
З чого починати розвʼязання рівняння
З області допустимих значень. Спершу ви дивитеся, де стоїть змінна, і виписуєте обмеження: знаменник не дорівнює нулю, вираз під квадратним коренем невідʼємний, вираз під логарифмом додатний. У прикладі підручника саме ОДЗ дала умову \(-1 \lt x \lt 3{,}5\), у межах якої й перевіряли корені.
Чому після розвʼязання треба перевіряти корені
Бо частина перетворень дає не рівносильне рівняння, а рівняння-наслідок. Класичний випадок – піднесення обох частин до квадрата. Після нього серед коренів можуть зʼявитися сторонні, і їх вилучають, підставивши кожен корінь у початкове рівняння.
Який метод обрати для системи рівнянь
Дивіться на вигляд рівнянь. Одне з рівнянь лінійне – беріть підстановку. Після почленного додавання зникає одна змінна – беріть додавання. Частка рівнянь простіша за самі рівняння – почленне ділення. Повторюється однаковий вираз – заміна змінної. Методи можна поєднувати в одній задачі.
Чи можна розвʼязувати рівняння графічно
Так, графічний метод входить у вимоги програми НМТ: абітурієнт має вміти користуватися графічним методом розвʼязування й дослідження рівнянь, нерівностей та систем. На практиці це зручно, коли треба не знайти точний корінь, а визначити кількість коренів.
Хочете план підготовки з математики під ваш рівень? Залиште імʼя і телефон, і ми передзвонимо.
🔗 Схожі теми: з Математики
Готуєтесь до НМТ з Математики? Запишіться на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN — визначимо ваш рівень і складемо план підготовки.
Отримати план підготовкиАбо зателефонуйте: +38 (073) 304 64 49