Показникові, логарифмічні та тригонометричні вирази – це вирази, у яких змінна стоїть у показнику степеня, під знаком логарифма або під знаком синуса, косинуса й тангенса. На НМТ їх перетворюють і обчислюють числове значення за заданих значень змінних. Цю тему розбирають на курсі математики KEVIN.
🔑 Головні правила
Основна логарифмічна тотожність: якщо \(a \gt 0\), \(a \ne 1\), то \(a^{\log_a b} = b\).
\(\log_{a^p} x = \dfrac{1}{p}\log_a x\), де \(a \gt 0\), \(a \ne 1\), \(x \gt 0\).
Логарифм за основою \(10\) позначають \(\lg b\).
Логарифм за основою \(e\) позначають \(\ln b\), де \(e \approx 2{,}7182818284\ldots\)
\(\log_2 7 = \dfrac{\lg 7}{\lg 2}\), тобто логарифм за незручною основою зводять до відношення двох логарифмів за однією основою.
\(\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}\), де \(a \gt 0\), \(a \ne 1\), \(b \gt 0\), \(b \ne 1\).
Вираз \(\log_a x\) існує лише за умов \(x \gt 0\), \(a \gt 0\), \(a \ne 1\).
\(a^x \gt 0\) для будь-якого \(x \in \mathbb{R}\), тому \(a^x = b\) при \(b \le 0\) розвʼязків не має.
\(a^{f(x)+m} = a^{f(x)} \cdot a^{m}\).
\(2^x \cdot 3^x = 6^x\), а \(a = e^{\ln a}\), звідси \(a^x = e^{x\ln a}\).
Для показникового виразу беруть \(t = a^{f(x)}\), причому \(t \gt 0\); для логарифмічного \(t = \log_a f(x)\).
синус, косинус і тангенс числового аргументу; сюди ж належать основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу, формули зведення та формули додавання і наслідки з них.
Тангенс – непарна функція, і \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4} = 1\). Знак тангенса в чверті визначають знаки синуса й косинуса в ній.
📆 План підготовки — План підготовки, 4 тижні від нуля
Означення степеня з натуральним, цілим і раціональним показниками та їхні властивості. Тут же корінь \(n\)-го степеня, бо \(a^{\frac{3}{2}}\) без нього не порахуєте. Опора: Степінь з цілим показником.
Означення й властивості логарифма, основна логарифмічна тотожність, десятковий і натуральний логарифми, перехід до іншої основи. Обовʼязково відпрацюйте умову \(x \gt 0\), \(a \gt 0\), \(a \ne 1\).
Синус, косинус, тангенс числового аргументу, основні співвідношення між функціями одного аргументу, формули зведення, формули додавання і наслідки з них.
Завдання на відповідність, де в одному номері стоять і степінь, і логарифм, і тригонометрія одночасно. Саме так тема виглядає в реальному тесті, тому тренуватися варто саме в такому форматі.
Як розв'язувати завдання теми — загальний метод
-
1 Перевірте область визначення
Якщо є логарифм, його аргумент строго більший за нуль, а основа додатна й не дорівнює одиниці.
-
2 Зведіть до однієї основи
Показникові степені записуйте через одну основу, логарифми через одну основу за формулою переходу.
-
3 Застосуйте властивості
Винесіть спільний множник, поділіть на степінь, скористайтеся \(\log_{a^p} x = \dfrac{1}{p}\log_a x\).
-
4 Зробіть заміну, якщо запис громіздкий
\(t = a^{f(x)}\) з умовою \(t \gt 0\) або \(t = \log_a f(x)\).
-
5 Порахуйте і зіставте з варіантами
У завданнях на відповідність відповідь завжди коротка, тому громіздке проміжне значення означає помилку в кроці 2 або 3.
Доберіть до числового виразу (1-3) його значення (А – Д). 1) \(\log_3 27\); 2) \(\operatorname{tg}\dfrac{2\pi}{3}\); 3) \(\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} : (\sqrt{5}+\sqrt{2})\). Варіанти: А) \(-3\); Б) \(\sqrt{3}\); В) \(\dfrac{1}{3}\); Г) \(-\sqrt{3}\); Д) \(3\).
1-Д, 2-Г, 3-В. Зверніть увагу, як в одному номері зібрані одразу логарифм, тригонометрія й ірраціональний вираз. У першому рядку \(27 = 3^3\), тому логарифм дає \(3\). У другому кут лежить у чверті, де тангенс відʼємний, тому значення саме \(-\sqrt{3}\), а не \(\sqrt{3}\): варіант Б поставили якраз для тих, хто губить знак. У третьому рядку зверніть увагу на двокрапку, це ділення, а не множення.
Доберіть до виразу (1-3) його значення (А – Д), якщо \(a = \sqrt{2}\). 1) \(a^6\); 2) \((a-3)(a+3)\); 3) \(81^{\log_3 a}\). Варіанти: А) \(-7\); Б) \(-1\); В) \(4\); Г) \(8\); Д) \(64\).
1-Г, 2-А, 3-В. Третій рядок і є ядром теми: \(81 = 3^4\), тому вираз перетворюється в \(3^{4\log_3 a} = a^4\), а \((\sqrt{2})^4 = 4\). Тут головне - не підносити 81 до степеня навпростець, а згорнути показник через основну логарифмічну тотожність.
Узгодьте вираз (1-3) із його значенням (А – Д), якщо \(a = 4\). 1) \(\dfrac{2a^2 – 12a}{a^2 – 36}\); 2) \(0{,}04^{\log_5 a}\); 3) \(a^0 – a^{\frac{3}{2}}\). Варіанти: А) \(\dfrac{1}{16}\); Б) \(-8\); В) \(-7\); Г) \(0{,}8\); Д) \(-\dfrac{1}{16}\).
1-Г, 2-А, 3-В. Другий рядок вимагає побачити, що \(0{,}04 = 5^{-2}\), і лише тоді працювати з логарифмом. Третій рядок ловить на двох дрібницях одразу: \(a^0 = 1\) для будь-якого \(a \ne 0\), а \(4^{\frac{3}{2}}\) означає корінь, а не множення на \(1{,}5\). Варіант Б стоїть для тих, хто загубив одиницю.
Узгодьте вираз (1-3) із його значенням (А – Д), якщо \(a = \dfrac{2}{3}\). 1) \(6a\); 2) \(\sqrt{(2^a)^3}\); 3) \(\log_3 (1 – a)\). Варіанти: А) \(4\); Б) \(-1\); В) \(1\); Г) \(\dfrac{20}{3}\); Д) \(2\).
1-А, 2-Д, 3-Б. Другий рядок показує, як степінь і корінь працюють разом: \(\left(2^{\frac{2}{3}}\right)^3 = 2^2 = 4\), а корінь із чотирьох дає \(2\). Третій рядок починається з підстановки в аргумент: \(1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\), а \(\log_3 \dfrac{1}{3} = -1\). Ось чому спершу дивимося на аргумент логарифма, а вже потім на сам логарифм.
⚠️ Типові помилки по темі
Неправильно. Тригонометрія - це лише синус, косинус і тангенс числового аргументу; логарифми в програмі стоять окремим пунктом як логарифмічні вирази.
Неправильно. Логарифм означений лише за умов \(a \gt 0\) і \(a \ne 1\), і саме тому запис \(\log_1 12\) сенсу не має.
Неправильно. Оскільки \(a^x \gt 0\) для всіх \(x \in \mathbb{R}\), рівняння \(a^x = b\) при \(b \le 0\) коренів не має. Тому й після заміни \(t = a^{f(x)}\) відʼємний корінь \(t\) відкидають одразу.
Неправильно. Для логарифмічного виразу область допустимих значень записують ПЕРШИМ кроком, бо частина знайдених чисел може до неї не належати, і тоді вони не є розвʼязками.
Неправильно. Мінус у показнику перевертає дріб: \(e^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{e^{\frac{1}{2}}}\). Знак самого значення водночас не змінюється, воно лишається додатним.
Що таке логарифм і чому в його основі не може бути одиниці
Логарифм – це показник степеня, до якого треба піднести основу, щоб отримати задане число. Саме тому працює основна логарифмічна тотожність \(a^{\log_a b} = b\), а логарифм існує лише за умов \(a \gt 0\), \(a \ne 1\) і додатного аргументу.
Обмеження на основу не вивчають напамʼять, його легко пояснити. Уявіть логарифм із основою \(1\) від числа \(12\): до якого степеня піднести одиницю, щоб вийшло дванадцять? Ні до якого, бо одиниця в будь-якому степені дає одиницю. А якби основа була відʼємною, то степені по черзі давали б то додатне, то відʼємне значення, і функція стрибала б туди-сюди замість того, щоб рівно зростати або спадати. Ось і вся причина запису \(a \gt 0\), \(a \ne 1\).
Два логарифми мають власні позначення, бо трапляються найчастіше. Логарифм за основою \(10\) називають десятковим і пишуть \(\lg b\); логарифм за основою \(e\) називають натуральним і пишуть \(\ln b\), де \(e\) – ірраціональне число, \(e \approx 2{,}7182818284\ldots\) Функцію \(y = e^x\) ще називають експонентою.
Коментар викладачки. Дивіться, натуральний логарифм – це звичайний логарифм, у якого основа число Ейлера. Йому просто придумали окремий запис, а поводиться він абсолютно так само. І одразу корисний висновок: \(e \gt 1\), тому в нерівностях із \(\ln\) знак не перевертається. Один раз це зрозумієте і все, більше не будете гадати.
Як перетворювати показникові вирази
Показниковий вираз перетворюють зведенням до однакової основи: усі степені записують через одну основу, а далі працюють із показниками. Це головний прийом, бо \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) при \(a \gt 0\), \(a \ne 1\) рівносильне \(f(x) = g(x)\).
Далі підключаються три техніки. Перша: винесення спільного множника, якщо у виразі стоять степені вигляду \(a^{f(x)+m}\) з різними числами \(m\). За властивістю множення степенів \(a^{f(x)+m} = a^{f(x)} \cdot a^{m}\), і після винесення за дужки лишається найпростіший вигляд \(a^{f(x)} = b\). Друга: ділення на степінь, коли основи різні. Так вираз \(2^{x-1} = 5^{x-1}\) після ділення на \(5^{x-1} \ne 0\) дає \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{x-1} = 1\), звідки \(x – 1 = 0\). Третя: заміна \(t = a^{f(x)}\), причому обовʼязково \(t \gt 0\).
Умова \(t \gt 0\) не формальність, а робочий інструмент. У рівнянні \(3 \cdot 25^x – 2 \cdot 5^x = 1\) заміна \(5^x = t\) дає \(3t^2 – 2t – 1 = 0\) з коренями \(t_1 = 1\) і другим, відʼємним. Відʼємний корінь одразу відкидають, бо \(5^x\) не може бути відʼємним, і лишається \(5^x = 1\), тобто \(x = 0\).
Як перетворювати логарифмічні вирази
Логарифмічний вираз перетворюють властивостями логарифма і переходом до однієї основи. Наприклад, \(\log_{243} 81 = \log_{3^5} 3^4 = \dfrac{4}{5}\log_3 3 = \dfrac{4}{5} \cdot 1 = 0{,}8\).
Якщо основи різні, у пригоді стане формула переходу. Так \(\log_2 7 = \dfrac{\lg 7}{\lg 2}\), і саме через неї на калькуляторі обчислюють значення \(\log_2 7 \approx 2{,}8074\). Ще одна корисна дія: логарифм із перевернутою основою, \(\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}\), де \(a \gt 0\), \(a \ne 1\), \(b \gt 0\), \(b \ne 1\). Саме її застосовують, коли в одному виразі стоять \(\log_2 x\) і \(\log_x 2\).
Складніший вираз зводять до алгебраїчного заміною \(t = \log_a f(x)\). У рівнянні \(\log_2 x + 3\log_x 2 = 4\) спершу переписують \(\log_x 2 = \dfrac{1}{\log_2 x}\), потім беруть \(t = \log_2 x\) і отримують звичайне дробове рівняння. Такий самий хід працює у виразі з \(\log_4^2(x-1) + \log_4(x-1) – 2 = 0\), де заміна \(\log_4(x-1) = t\) дає квадратне рівняння.
Логарифми потрібні не лише в тесті. Ними описують реальні процеси: за їхньою допомогою рахують кількість води, що прибуває в штучну водойму під час повені, двійковий логарифм застосовують у теорії інформації, а десятковий у логарифмічній шкалі, наприклад для вимірювання інтенсивності звуку в децибелах.
Що входить до тригонометричних виразів на НМТ
До тригонометричних виразів належать синус, косинус і тангенс числового аргументу разом з основними співвідношеннями між тригонометричними функціями одного аргументу, формулами зведення та формулами додавання і наслідками з них.
Практична підказка: знак значення читають по чверті. Тангенс – непарна функція, і \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4} = 1\), бо там і синус, і косинус додатні. Значення \(-1\) тангенс дає у чвертях, де синус і косинус мають різні знаки: або косинус відʼємний і синус додатний, або навпаки. Тому знайти кут за значенням тангенса можна прямо по колу, без вгадування.
❓ Часті запитання про тему
Чи входять логарифми до тригонометрії?
Ні. Тригонометричними називають вирази з синусом, косинусом і тангенсом числового аргументу, а логарифмічні вирази стоять у програмі окремо. У тесті вони можуть трапитися в одному завданні на відповідність, але це різні види виразів.
Що саме треба вміти з цієї теми на НМТ?
Дві дії: виконувати тотожні перетворення показникових, логарифмічних і тригонометричних виразів та знаходити їхнє числове значення за заданих значень змінних.
Яка область визначення логарифма?
Аргумент логарифма строго більший за нуль, основа додатна і не дорівнює одиниці. Тобто у виразі \(\log_a x\) обовʼязково \(x \gt 0\), \(a \gt 0\), \(a \ne 1\).
Чим \(\ln\) відрізняється від \(\lg\)?
Основою. \(\lg b\) – це логарифм за основою \(10\), його називають десятковим. \(\ln b\) – це логарифм за основою \(e\), його називають натуральним, де \(e \approx 2{,}7182818284\ldots\)
Як обчислити логарифм, якщо число не є степенем основи?
Скористайтеся формулою переходу до іншої основи. Наприклад, \(\log_2 7 = \dfrac{\lg 7}{\lg 2} \approx 2{,}8074\) з точністю до десятитисячних.
З якої підтеми починати підготовку?
Із властивостей степеня. Без степеня з раціональним показником ви не порахуєте ні \(a^{\frac{3}{2}}\), ні \(\log_{3^5} 3^4\), ні \(\sqrt{(2^a)^3}\), тобто застрягнете вже на першому рядку завдання на відповідність.
Одна підтема – це добре, а на НМТ ці вирази стоять поруч в одному номері, і перемикатися між степенем, логарифмом і тригонометрією треба швидко. На курсі KEVIN усю тему проходять саме такою послідовністю, від властивостей степеня до формул додавання.
Хочете план підготовки з математики під ваш рівень? Залиште імʼя і телефон, і ми передзвонимо.
🔗 Схожі теми: з Математики
Готуєтесь до НМТ з Математики? Запишіться на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN — визначимо ваш рівень і складемо план підготовки.
Отримати план підготовкиАбо зателефонуйте: +38 (073) 304 64 49