Степінь з цілим показником — це вираз \(a^n\), де основа \(a\) — дійсне число, а показник \(n\) — ціле число: додатне, від’ємне або нуль. При натуральному \(n\) це добуток \(n\) однакових множників, при \(a \ne 0\) маємо \(a^0 = 1\) і \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\). Тобто від’ємний показник не робить число від’ємним — він перевертає дріб. Ось саме на цьому місці друзі спотикаються найчастіше.
Нижче: усі формули й властивості степеня з цілим показником, пояснення, звідки береться від’ємний і нульовий показник, покроковий алгоритм спрощення степеневих виразів, стандартний вигляд числа \(a \cdot 10^{n}\), чотири розбори завдань НМТ, типові помилки учнів, основні терміни теми та відповіді на поширені запитання.
🔑 Ключові формули
\(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ разів}}\)
\(a^0 = 1\), де \(a \ne 0\)
\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\), де \(a \ne 0\)
\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
\(\left(a^m\right)^n = a^{mn}\)
\((ab)^n = a^n b^n\)
\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\), де \(b \ne 0\)
\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n} = \dfrac{b^n}{a^n}\)
\(1^n = 1\)
\(\dfrac{1}{a^{-n}} = a^{n}\)
\(\dfrac{x^{-2}}{y^{-3}} = \dfrac{y^3}{x^2}\)
Якщо \(a \lt 0\), то \(a^n \gt 0\) при парному \(n\)
Якщо \(a \lt 0\), то \(a^n \lt 0\) при непарному \(n\)
\(\left(-a\right)^{n} \ne -a^{n}\)
\(a \cdot 10^{n}\), де \(1 \le a \lt 10\), \(n\) — ціле
\(0{,}00047 = 4{,}7 \cdot 10^{-4}\)
\(320000 = 3{,}2 \cdot 10^{5}\)
\(\left(2 \cdot 10^{-3}\right) \cdot \left(4 \cdot 10^{5}\right) = 8 \cdot 10^{2}\)
Як розв'язувати — покроковий метод
-
1 Крок 1. Розкладіть числа на однакову основу
Побачили \(4\), \(8\), \(16\), \(32\) — одразу пишете \(2^2\), \(2^3\), \(2^4\), \(2^5\). Побачили \(9\), \(27\), \(81\) — це \(3^2\), \(3^3\), \(3^4\). Без цього кроку вираз просто не збереться.
-
2 Крок 2. Розкрийте степінь степеня
Працює \(\left(a^m\right)^n = a^{mn}\), показники перемножуються, не додаються.
-
3 Крок 3. Зберіть множники з однаковою основою
Верх додаємо, низ віднімаємо: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
-
4 Крок 4. Приберіть від'ємні показники
Те, що лишилось з мінусом угорі, переносите вниз, і навпаки. Тобто \(\dfrac{1}{a^{-n}} = a^{n}\).
-
5 Крок 5. Порахуйте числове значення
Якщо в умові дано значення змінних, підставляєте тільки тепер, у вже спрощений вираз, а не на початку. Дуже часто учень бачить умову «знайдіть значення виразу при \(x = 2\)» і одразу підставляє двійку в громіздкий дріб. Далі йде арифметичне пекло. А якщо спочатку спростити, то підставляти доведеться в один короткий вираз. Різниця в часі на тесті колосальна.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Обчисліть значення виразу \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} + 5^{0} – 2^{-3} \cdot 16\).
Крок 1. Розбираємось із першим доданком. Дріб у від'ємному степені перевертається: \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = 3^{2} = 9\).
Крок 2. Нульовий степінь. Основа \(5 \ne 0\), тому \(5^{0} = 1\).
Крок 3. Третій доданок. Записуємо \(16 = 2^4\), тоді \(2^{-3} \cdot 2^{4} = 2^{-3+4} = 2^{1} = 2\).
Крок 4. Збираємо. \(9 + 1 - 2 = 8\).
Відповідь: 8. Дивіться, тут підступ у тому, що всі три доданки виглядають по-різному, а насправді кожен закривається одним рухом. Якщо ви полізли рахувати \(2^{-3} = 0{,}125\) і множити на \(16\) стовпчиком, ви теж дійдете до двійки, але витратите вчетверо більше часу.
Спростіть вираз \(\dfrac{a^{-3} \cdot b^{5}}{a^{-5} \cdot b^{2}}\) і знайдіть його значення при \(a = 2\), \(b = 3\).
Крок 1. Окремо працюємо з основою \(a\). \(\dfrac{a^{-3}}{a^{-5}} = a^{-3-(-5)} = a^{-3+5} = a^{2}\).
Крок 2. Окремо з основою \(b\). \(\dfrac{b^{5}}{b^{2}} = b^{5-2} = b^{3}\).
Крок 3. Записуємо спрощений вираз. Отримали \(a^{2} b^{3}\), від'ємних показників не лишилось.
Крок 4. Підставляємо значення. \(2^{2} \cdot 3^{3} = 4 \cdot 27 = 108\).
Відповідь: 108. Найважче місце тут крок 1, віднімання від'ємного показника. Мінус на мінус дає плюс, тобто \(-3 - (-5) = +2\). Я на цьому місці завжди прошу дописувати дужки, бо саме без дужок народжується найпопулярніша помилка всієї теми.
Обчисліть \(\dfrac{27^{2} \cdot 3^{-5}}{9^{-1}}\).
Крок 1. Зводимо все до основи 3. Пишемо \(27 = 3^{3}\), тому \(27^{2} = \left(3^{3}\right)^{2} = 3^{6}\). Далі \(9 = 3^{2}\), тому \(9^{-1} = \left(3^{2}\right)^{-1} = 3^{-2}\).
Крок 2. Переписуємо вираз в одній основі. Маємо \(\dfrac{3^{6} \cdot 3^{-5}}{3^{-2}}\).
Крок 3. Чисельник згортаємо. \(3^{6} \cdot 3^{-5} = 3^{6-5} = 3^{1}\).
Крок 4. Ділимо. \(\dfrac{3^{1}}{3^{-2}} = 3^{1-(-2)} = 3^{3} = 27\).
Відповідь: 27. Тут головне не злякатися трьох різних чисел в умові. Як тільки ви побачили, що \(27\), \(9\) і \(3\) це одна родина, завдання перетворюється на арифметику з показниками. Ідемо далі.
Установіть відповідність між виразом і його значенням. Треба порахувати чотири вирази: \(\left(-2\right)^{-2}\), \(-2^{-2}\), \(\left(-2\right)^{-3}\) і \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1}\).
Крок 1. \(\left(-2\right)^{-2} = \dfrac{1}{\left(-2\right)^{2}} = \dfrac{1}{4}\). Показник парний, результат додатний.
Крок 2. \(-2^{-2} = -\dfrac{1}{2^{2}} = -\dfrac{1}{4}\). Тут мінус стоїть перед степенем, а не в основі, дужок немає, тому знак мінус просто виноситься наперед.
Крок 3. \(\left(-2\right)^{-3} = \dfrac{1}{\left(-2\right)^{3}} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}\). Показник непарний, результат від'ємний.
Крок 4. \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\).
Порівняйте перший і другий пункти. Один символ, дужка, змінює знак відповіді. На тесті це різниця між правильною і неправильною літерою.
⚠️ Типові помилки учнів
Учень бачить (2^{-3}) і пише (-8). Це найпопулярніший варіант, і він дає нуль балів навіть тоді, коли решта завдання зроблена правильно. Правильно: (2^{-3} = dfrac{1}{2^{3}} = dfrac{1}{8}), число додатне. Знак результату залежить тільки від знака основи і парності показника, а не від знака самого показника. Спосіб перевірити себе за секунду: якщо основа додатна, результат завжди додатний, хоч який там показник.
У виразі (dfrac{a^{-3}}{a^{-5}}) пишуть (a^{-3-5} = a^{-8}) замість (a^{-3-(-5)} = a^{2}). Це не незнання правила, це втрата дужки. Тому раджу механічний прийом: коли ви віднімаєте показник, спочатку перепишіть його в дужках, і тільки потім розкривайте. Дві зайві дужки коштують вам одну секунду, а виправлення відповіді коштує балів.
Вирази (left(-3right)^{2} = 9) і (-3^{2} = -9) різні, бо в другому випадку піднімається до квадрата лише трійка, а мінус лишається зовні. На діагностиках це плутають частіше за все, коли завдання йде в загальному потоці і людина поспішає. Правило-опора: степінь стосується тільки того, що стоїть безпосередньо під показником. Немає дужок, значить мінус не входить в основу.
Пишуть (left(3^{2}right)^{4} = 3^{6}) замість (3^{8}). Плутанина між (a^{m} cdot a^{n} = a^{m+n}) і (left(a^{m}right)^{n} = a^{mn}). Найшвидше це перевірити на маленьких числах: (left(2^{2}right)^{3}) — це (4^{3} = 64), а (2^{6} = 64), збігається, отже показники множаться. Якби додавалися, вийшло б (2^{5} = 32), і перевірка одразу показала б неправду. Такий самоконтроль на дрібних числах займає п'ять секунд і рятує в стресі.
Дивіться, я на діагностиках бачу одну й ту саму картину: учень нормально множить \(2^3 \cdot 2^4\), а на \(2^{-3} \cdot 2^{4}\) вже завмирає. Хоча правило те саме, просто показник з мінусом. Розберемо це так, щоб ви один раз зрозуміли і більше не поверталися.
Метод спрощення я даю всім своїм учням в одному й тому самому вигляді: спочатку однакові основи, потім дії з показниками, і лише в кінці позбуваємось мінусів. Останній крок підкреслюю окремо — підставляти числа треба у вже спрощений вираз, а не на початку.
За 6 років роботи я помітила одну річ: помилки в цій темі майже ніколи не від нерозуміння. Вони від швидкості. Тому на курсі ми відпрацьовуємо не саму формулу, а звичку робити один додатковий контрольний рух: перевірити знак, перевірити дужку. Одна тема це добре, а на НМТ таких дрібних пасток десятки, і в блоці Дійсні числа вони йдуть підряд.
Хочете перевірити свій рівень з математики? Запишіться на безкоштовну 60-хвилинну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN.
Дивіться також: Дійсні числа: види чисел, порівняння і дії з ними · Корінь n-го степеня і його властивості · Формули скороченого множення · Показникові рівняння і нерівності
Означення. Степінь з цілим показником — це вираз \(a^n\), де основа \(a\) — дійсне число, а показник \(n\) — ціле число: додатне, від’ємне або нуль. При натуральному \(n\) записується \(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ разів}}\), при \(a \ne 0\) маємо \(a^0 = 1\) і \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\).
Чому це важливо на НМТ. Програма зовнішнього оцінювання з математики прямо вимагає знати означення степеня з натуральним, цілим та раціональним показниками і їх властивості, і вміти перетворювати степеневі вирази та знаходити їх числове значення за заданих значень змінних. Тобто це не окрема екзотична тема, а базовий інструмент. Степінь з цілим показником живе всередині завдань на дії з дійсними числами, на спрощення виразів, на показникові рівняння і нерівності, на стандартний вигляд числа. Якщо тут дірка, вона потім витікає у половину алгебри.
Що таке від’ємний показник і чому це не мінус. Степінь з від’ємним показником — це обернене число до відповідного додатного степеня: \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\). Знак мінус у показнику стосується не значення виразу, а того, що ми йдемо в знаменник. Наприклад, \(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\), і це додатне число, а не \(-8\).
Звідки береться таке означення. Візьмемо властивість частки \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) і подивимось, що буде, коли показник знизу більший. Порахуємо \(\dfrac{2^2}{2^5}\) двома способами. Прямо: \(\dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\). За властивістю: \(2^{2-5} = 2^{-3}\). Щоб обидва результати збігалися, ми зобов’язані вважати, що \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\). Тобто від’ємний показник не хтось вигадав із примхи, він єдиний можливий варіант, за якого старі правила не ламаються.
Так само і з нулем. \(\dfrac{2^3}{2^3} = 1\), а за властивістю це \(2^{3-3} = 2^0\). Отже \(2^0 = 1\). Я завжди на уроці показую саме цей ланцюжок, бо після нього питання «а чому в нульовому степені одиниця» просто зникає. Ви це виводите самі за півхвилини.
Корисна опора. Щоб позбутися від’ємного показника, достатньо перекинути множник через дробову риску і знак показника зміниться на протилежний. Тобто \(\dfrac{1}{a^{-n}} = a^{n}\), а \(\dfrac{x^{-2}}{y^{-3}} = \dfrac{y^3}{x^2}\). Це один рух, а не три дії.
Універсальність властивостей. Усі властивості множення і ділення степенів працюють однаково і для додатних, і для від’ємних, і для нульового показника. Це і є головна цінність розширення поняття степеня. Правила не змінюються, змінюється тільки те, які числа ви маєте право підставити замість \(m\) і \(n\). Скрізь вважаємо, що основи не дорівнюють нулю там, де показник від’ємний або нульовий.
Стандартний вигляд числа. Це запис \(a \cdot 10^{n}\), де \(1 \le a \lt 10\), а \(n\) — ціле число. Саме тут від’ємний показник працює щодня: маленькі числа записують через від’ємний степінь десятки, великі через додатний. Наприклад, \(0{,}00047 = 4{,}7 \cdot 10^{-4}\), бо кому треба перенести на чотири позиції вправо. І навпаки, \(320000 = 3{,}2 \cdot 10^{5}\), бо кома переїхала на п’ять позицій вліво. Просте правило-опора: число менше одиниці, показник від’ємний; число більше десяти, показник додатний. Якщо ви після запису подивилися на показник і він суперечить цьому правилу, ви десь помилилися зі знаком. Дії зі стандартним виглядом теж зводяться до властивостей степеня: щоб перемножити \(\left(2 \cdot 10^{-3}\right) \cdot \left(4 \cdot 10^{5}\right)\), окремо множимо числа \(2 \cdot 4 = 8\), окремо додаємо показники \(-3 + 5 = 2\), отримуємо \(8 \cdot 10^{2}\).
Основні терміни теми. Основа степеня — це число або вираз, який множимо сам на себе; у записі \(a^{n}\) основою є \(a\). Показник степеня — це число, яке вказує, скільки разів основа береться множником; у записі \(a^{n}\) показником є \(n\), і для степеня з цілим показником \(n\) може бути натуральним, нулем або цілим від’ємним. Обернене число — це число, добуток якого з даним дорівнює одиниці; для \(a \ne 0\) оберненим є \(\dfrac{1}{a}\), тобто \(a^{-1}\), і саме через оберненість задається від’ємний показник. Стандартний вигляд числа — це запис \(a \cdot 10^{n}\), де \(1 \le a \lt 10\), а \(n\) ціле; використовується для дуже великих і дуже малих чисел.
- Означення натурального степеня: \(a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a\), множників рівно \(n\).
- Нульовий степінь: \(a^0 = 1\), де \(a \ne 0\); вираз \(0^0\) не визначений.
- Від’ємний показник: \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\), де \(a \ne 0\).
- Дріб у від’ємному степені: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \dfrac{b^n}{a^n}\).
- Добуток: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
- Частка: \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
- Степінь степеня: \(\left(a^m\right)^n = a^{mn}\).
- Степінь добутку: \((ab)^n = a^n b^n\).
- Степінь частки: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\), де \(b \ne 0\).
- Одиниця в будь-якому степені: \(1^n = 1\).
- Знак: при \(a \lt 0\) маємо \(a^n \gt 0\) для парного \(n\) і \(a^n \lt 0\) для непарного \(n\).
- Розкладіть числа на однакову основу.
- Розкрийте степінь степеня: показники перемножуються.
- Зберіть множники з однаковою основою: верх додаємо, низ віднімаємо.
- Приберіть від’ємні показники перекиданням через дробову риску.
- Тільки тепер підставте числові значення змінних.
- Двійка: \(4 = 2^{2}\), \(8 = 2^{3}\), \(16 = 2^{4}\), \(32 = 2^{5}\), \(64 = 2^{6}\), \(128 = 2^{7}\).
- Трійка: \(9 = 3^{2}\), \(27 = 3^{3}\), \(81 = 3^{4}\).
- П’ятірка: \(25 = 5^{2}\), \(125 = 5^{3}\).
❓ Часті запитання
Чому будь-яке число в нульовому степені дорівнює одиниці
Бо цього вимагає властивість ділення степенів. Візьміть \(\dfrac{a^{n}}{a^{n}}\). З одного боку це одиниця, бо ділимо однакові числа. З іншого боку за правилом це \(a^{n-n} = a^{0}\). Отже \(a^{0} = 1\) при \(a \ne 0\). Виняток лише один: вираз \(0^{0}\) не визначений, бо для нуля ділення на самого себе не працює.
Скільки буде 2 в мінус першому степені
\(2^{-1} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\). Показник \(-1\) означає просто обернене число. Так само \(5^{-1} = 0{,}2\), а \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1} = \dfrac{4}{3}\). Це найшвидший випадок з усієї теми: перевернули і готово.
Чи може основа степеня з від'ємним показником дорівнювати нулю
Ні. Запис \(0^{-n}\) не має змісту, бо за означенням це \(\dfrac{1}{0^{n}}\), тобто ділення на нуль. Тому в усіх завданнях на область допустимих значень степеневого виразу з від’ємним показником основа обов’язково не дорівнює нулю. Це часто і є ключ до завдань на ОДЗ.
Як звести числа 4, 8, 16, 32 до однієї основи
Усі вони степені двійки: \(4 = 2^{2}\), \(8 = 2^{3}\), \(16 = 2^{4}\), \(32 = 2^{5}\), а також \(64 = 2^{6}\), \(128 = 2^{7}\). Для трійки: \(9 = 3^{2}\), \(27 = 3^{3}\), \(81 = 3^{4}\). Для п’ятірки: \(25 = 5^{2}\), \(125 = 5^{3}\). Раджу вивчити цей набір напам’ять до автоматизму, він потім працює і в показникових рівняннях, і в логарифмах.
Чим степінь з цілим показником відрізняється від степеня з раціональним
Цілий показник це натуральне число, нуль або від’ємне ціле, і такий степінь виражається через множення і ділення. Раціональний показник це дріб, і він уже пов’язаний з коренем: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}\). Програма НМТ вимагає обидва означення, але цілий показник вивчають першим, бо всі властивості раціонального степеня успадковані саме звідси.
Чи можна множити степені з різними основами
Правило \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}\) працює тільки при однакових основах. Якщо основи різні, але показники однакові, використовуйте інше правило: \(a^{n} \cdot b^{n} = (ab)^{n}\). Наприклад, \(2^{5} \cdot 5^{5} = 10^{5} = 100000\). А от \(2^{3} \cdot 3^{2}\) згорнути в один степінь не вийде, тут просто рахуємо: \(8 \cdot 9 = 72\).