Дійсні числа – це раціональні та ірраціональні числа разом. Кожне дійсне число можна зобразити точкою на числовій осі, і навпаки: кожній точці числової осі відповідає дійсне число. Множину дійсних чисел позначають літерою \(R\). Цю тему розбирають на курсі математики KEVIN.
🔑 Головні правила теми
\(N\): числа, які використовують під час лічби, \(1, 2, 3, \ldots\)
\(Z\): натуральні числа, протилежні до них та число нуль, наприклад \(-2\), \(4\), \(0\).
\(Q\): числа виду \(\dfrac{m}{n}\), де \(m \in Z\), а \(n \in N\). Наприклад \(4,5\); \(-3\); \(-7,3\).
нескінченні десяткові неперіодичні дроби, наприклад \(\sqrt{5}\) і \(\pi\).
\(R\): раціональні та ірраціональні разом.
\(N \subset Z\), \(Z \subset Q\), \(Q \subset R\).
\(\sqrt{a}\) – це таке невідʼємне число, квадрат якого дорівнює \(a\). Вираз \(\sqrt{a}\) не має змісту, якщо \(a \lt 0\).
для будь-якого \(a \ge 0\) правильно, що \((\sqrt{a})^2 = a\).
\(\sqrt{a^2} = |a|\) для будь-якого \(a\).
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) за умови \(a \ge 0\), \(b \ge 0\).
\(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) за умови \(a \ge 0\), \(b \gt 0\).
\(x^2 = m\): якщо \(m \gt 0\), корені \(x = \pm\sqrt{m}\); якщо \(m = 0\), корінь один \(x = 0\); якщо \(m \lt 0\), коренів немає.
натуральне число, що має лише два дільники, одиницю і саме число. Найменше просте число \(2\).
натуральне число, що має більше ніж два дільники, наприклад \(6\) має чотири дільники: \(1, 2, 3, 6\).
числа без спільних дільників, крім одиниці, наприклад \(65\) і \(306\).
якщо \(a\) і \(b\) взаємно прості, то \(НСК(a; b) = a \cdot b\), наприклад \(НСК(9; 25) = 225\).
🗺 Оберіть підтему для детального розбору
Кожна підтема — окрема сторінка з реальними завданнями НМТ, покроковим методом та шпаргалкою.
📆 План підготовки — План підготовки: як пройти тему за 3 тижні
Вивчіть позначення \(N\), \(Z\), \(Q\), \(R\), навчіться визначати вид числа й порівнювати дійсні числа. Сюди ж подільність, прості та складені числа, НСД і НСК.
Означення арифметичного квадратного кореня, тотожності \(\sqrt{a^2} = |a|\), \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\), \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), винесення множника з-під знака кореня та внесення під корінь.
Модуль дійсного числа та його властивості, числові проміжки, правила округлення цілих чисел і десяткових дробів, обчислення з наперед заданою точністю.
Як розв'язувати завдання теми — загальний метод
-
1 Визначте вид числа
Подивіться, чи можна записати число у вигляді \(\dfrac{m}{n}\), де \(m\) ціле, а \(n\) натуральне. Можна – число раціональне; не можна, і це нескінченний неперіодичний дріб – ірраціональне.
-
2 Перевірте, чи корінь взагалі має зміст
Вираз \(\sqrt{a}\) не має змісту за \(a \lt 0\), а сама рівність \(\sqrt{a} = b\) правильна лише тоді, коли \(b \ge 0\) і \(b^2 = a\).
-
3 Спростіть підкореневий вираз до кінця
Спочатку обчисліть усе під коренем, і лише потім добувайте корінь. Наприклад, щоб знайти \(\sqrt{37^2 – 12^2}\), спершу рахують \(37^2 – 12^2\), а вже з отриманого числа добувають корінь: відповідь \(35\).
-
4 Використайте властивості коренів
Корінь із добутку розкладається на добуток коренів, корінь із дробу на частку коренів, а корінь із квадрата дає модуль. Ці три тотожності закривають більшість перетворень.
-
5 Порівнюйте числа за десятковим записом
Ірраціональні числа, записані нескінченними неперіодичними дробами, порівнюють за тими самими правилами, що й скінченні десяткові дроби, тобто порозрядно.
-
6 У практичних задачах переходьте до наближень
Для арифметичних дій дійсні числа замінюють їхніми наближеними значеннями, округленими до потрібного розряду: \(\pi \approx 3{,}1415926\).
⚠️ Типові помилки по темі
Неправильно. \(R\) позначає множину дійсних чисел, а \(Q\) множину раціональних. Раціональні є лише частиною дійсних, бо \(Q \subset R\), і поза \(Q\) лишаються всі ірраціональні числа.
Неправильно. Натуральні - це числа для лічби, тобто \(1, 2, 3, \ldots\), а нуль входить лише до множини цілих чисел.
Неправильно. Правильна тотожність \(\sqrt{a^2} = |a|\), і вона працює для будь-якого \(a\). Якщо \(a\) відʼємне, результат буде \(-a\), тобто додатне число: наприклад, для \(p \lt 0\) вираз \(p^3\) відʼємний, і корінь із його квадрата дорівнює \(-p^3\).
Неправильно. Тотожності є лише для добутку і для дробу: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) за \(a \ge 0\), \(b \ge 0\), і \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) за \(a \ge 0\), \(b \gt 0\). Для суми й різниці такої властивості немає.
Неправильно. За \(a \lt 0\) вираз \(\sqrt{a}\) змісту не має, бо арифметичний квадратний корінь за означенням невідʼємний. Саме на цьому будують завдання «для яких значень \(x\) має зміст вираз».
Неправильно. Число \(1\) має лише один дільник, тому воно не просте і не складене. Простим є натуральне число рівно з двома дільниками, і найменше таке число \(2\).
Чому нуль не натуральне число, а ціле
Нуль не належить до натуральних чисел, бо натуральними називають числа, які використовують під час лічби: \(1, 2, 3, \ldots\) А до цілих чисел нуль належить за означенням: цілі – це натуральні числа, протилежні до них і число нуль.
Звідси випливає і вкладеність множин: будь-яке натуральне число є цілим, будь-яке ціле є раціональним, а будь-яке раціональне є дійсним. Тобто \(N \subset Z \subset Q \subset R\). Обернене неправильне: серед дійсних є числа, яких немає серед раціональних.
Чим раціональне число відрізняється від ірраціонального
Раціональне число можна подати у вигляді \(\dfrac{m}{n}\), де \(m\) ціле, а \(n\) натуральне, а ірраціональне – не можна. Префікс «ір» тут означає заперечення: ірраціональні – це саме не раціональні числа.
Є і другий, зручніший для тестів критерій: кожне раціональне число записується скінченним або нескінченним періодичним десятковим дробом, а ірраціональне – нескінченним неперіодичним. Наприклад, \(\pi \approx 3{,}1415926\): період тут не зʼявляється ніколи, тому число ірраціональне.
Скінченний дріб теж можна записати нескінченним періодичним: досить дописати праворуч нескінченну кількість нулів. Тому «скінченний» і «періодичний» у цій класифікації опиняються по один бік.
Як зрозуміти, що корінь дає раціональне число
Корінь дає раціональне число тоді, коли підкореневе число є точним квадратом. У всіх інших випадках, як-от \(\sqrt{5}\) чи \(\sqrt{7}\), результат ірраціональний і його записують знаком кореня, а не наближеним дробом.
Саме тому в підручнику окремо ставлять завдання «раціональним чи ірраціональним є дане число, і раціональне запишіть без знака кореня». Це стандартна конструкція тестового завдання: серед чотирьох варіантів три будуть точними квадратами, а один ні.
Корисно тримати в голові квадрати двоцифрових чисел: наприклад, \(64^2 = 4096\), тому \(\sqrt{4096} = 64\). Такі значення добувають за таблицею квадратів двоцифрових натуральних чисел або калькулятором, а з невеликих чисел корінь бажано добувати усно.
Окремо запамʼятайте, що добуток двох раціональних чисел – число раціональне, а сума квадратів двох цілих чисел – число ціле невідʼємне. Ці твердження підручник виносить у завдання на перевірку правильності, і вони регулярно трапляються у формулюваннях «яке з тверджень правильне».
Коли рівняння з квадратом не має коренів
Рівняння виду \(x^2 = m\) не має дійсних коренів, якщо \(m \lt 0\), бо квадрат числа не може дорівнювати відʼємному числу. Якщо \(m \ge 0\), корені є: за \(m \gt 0\) їх два, за \(m = 0\) один.
Той самий принцип працює у двочленних рівняннях \(x^n – a = 0\). За парного \(n\): якщо \(a \gt 0\), рівняння має два дійсні корені \(\sqrt[n]{a}\) і \(-\sqrt[n]{a}\); якщо \(a = 0\), один корінь \(x = 0\); якщо \(a \lt 0\), дійсних коренів немає. За непарного \(n\) корінь один за будь-якого дійсного \(a\).
Для квадратного рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\) кількість коренів визначає дискримінант \(D = b^2 – 4ac\): за \(D \gt 0\) корені два, за \(D = 0\) один, за \(D \lt 0\) дійсних коренів немає. Це та сама логіка, лише записана через дискримінант.
Детальніше цей звʼязок розібрано на сторінках Квадратне рівняння. Дискримінант та Ірраціональні рівняння.
❓ Часті запитання про тему
Чому дійсні числа позначають літерою \(R\)
Тому що множину дійсних чисел домовилися позначати літерою \(R\), і в цій системі позначень \(N\) відповідає натуральним числам, \(Z\) цілим, \(Q\) раціональним. Плутанина зазвичай виникає саме між \(Q\) і \(R\).
Чи є \(\pi\) дійсним числом
Так. Число \(\pi\) ірраціональне, а ірраціональні числа входять до множини дійсних. Його наближене значення \(\pi \approx 3{,}1415926\) використовують у практичних обчисленнях, округлюючи до потрібного розряду.
Як записати періодичний дріб звичайним дробом
Це окрема вимога програми НМТ: перетворювати нескінченний періодичний дріб у звичайний уміють на профільному рівні. Обернений перехід простіший: щоб отримати періодичний дріб зі звичайного, досить виконати відповідне ділення.
Чи дійсні числа мають ті самі властивості дій, що й раціональні
Так. Для додавання, віднімання, множення, ділення й піднесення до степеня дійсних чисел діють усі ті самі властивості та обмеження, що й для дій із раціональними числами.
Скільки коренів має рівняння \(x^2 = m\)
Залежить від знака \(m\): за \(m \gt 0\) корені два, за \(m = 0\) один корінь \(x = 0\), за \(m \lt 0\) дійсних коренів немає, бо квадрат не буває відʼємним.
Що таке взаємно прості числа й навіщо вони в задачах на НСК
Взаємно простими називають числа, які не мають спільних дільників, крім одиниці. Для них найбільший спільний дільник дорівнює \(1\), а найменше спільне кратне дорівнює добутку самих чисел: \(НСК(9; 25) = 225\).
Чи можна на НМТ користуватися наближеними значеннями
У задачах практичного змісту дійсні числа замінюють наближеними значеннями, округленими до певного розряду, і програма прямо вимагає вміння округлювати цілі числа та десяткові дроби. Але в перетвореннях виразів працюють з точними значеннями, а не з наближеннями.
🔗 Схожі теми: з Математики
Готуєтесь до НМТ з Математики? Запишіться на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN — визначимо ваш рівень і складемо план підготовки.
Отримати план підготовкиАбо зателефонуйте: +38 (073) 304 64 49