Дискримінант – це число, яке показує скільки коренів має квадратне рівняння ax² + bx + c = 0. Формула: D = b² − 4ac. На НМТ трапляється у завданнях.
Якщо D > 0 – два корені, D = 0 – один корінь, D < 0 – дійсних коренів немає. Нижче: повна формула → методика → 4 розв’язаних приклади з НМТ.
Без дискримінанта неможливо розв’язати жодне квадратне рівняння на НМТ. А квадратні рівняння – це багатьох завданнях тесту, плюс вони ховаються в текстових задачах, нерівностях, тригонометрії. Тому дискримінант – друге після формул скороченого множення базове знання алгебри. Порахувати, як бал з математики складеться в підсумковий результат для вступу, можна в калькуляторі конкурсного балу.
🔑 Ключові формули
D = b² − 4ac
x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a (за умови D ≥ 0)
x₁ + x₂ = −b/a
x₁ · x₂ = c/a
Як розв'язувати — покроковий метод
-
1 Запишіть рівняння у стандартному вигляді
ax² + bx + c = 0, де a, b, c – числа. Якщо рівняння записане не у такому вигляді (наприклад, 3x² + 5 = 2x), спочатку перенесіть усе в ліву частину: 3x² − 2x + 5 = 0. Тепер a = 3, b = −2, c = 5.
-
2 Визначте коефіцієнти a, b, c
Уважно зчитайте знаки. Часто помилка: рівняння x² − 3x − 4 = 0 → c = −4 (з мінусом), не +4. Пишіть на чернетці: «a = 1, b = −3, c = −4». Перевіряйте знак ще раз перед формулою.
-
3 Обчисліть дискримінант D = b² − 4ac
Для x² − 3x − 4 = 0: D = (−3)² − 4·1·(−4) = 9 + 16 = 25. Зверніть увагу: 4ac з мінусом перед всім виразом, але якщо c – від’ємне, виходить + (мінус на мінус дає плюс).
-
4 Перевірте знак D і визначте кількість коренів
D = 25 > 0 – два корені. Якщо D = 0 – один корінь (рідкий випадок на НМТ). Якщо D < 0 – коренів немає (часто пастка серед варіантів відповідей).
-
5 Знайдіть корені за формулою
√D = √25 = 5. x₁ = (3 + 5)/2 = 4, x₂ = (3 − 5)/2 = −1. Перевірка: x₁ · x₂ = 4 · (−1) = −4 = c/a ✓; x₁ + x₂ = 4 + (−1) = 3 = −b/a ✓.
-
6 Підставте корені у початкове рівняння (контроль)
Для x = 4: 4² − 3·4 − 4 = 16 − 12 − 4 = 0 ✓. Для x = −1: (−1)² − 3·(−1) − 4 = 1 + 3 − 4 = 0 ✓. Якщо хоч одна перевірка не сходиться – є арифметична помилка.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Скільки коренів має рівняння 2x² − 4x + 5 = 0?
Крок 1. a = 2, b = −4, c = 5.
Крок 2. D = (−4)² − 4·2·5 = 16 − 40 = −24.
Крок 3. D < 0 → дійсних коренів НЕМАЄ.
✅ Відповідь: 0 коренів (варіант серед відповідей з «коренів немає» або «∅»).
Знайдіть корені рівняння x² − 7x + 12 = 0.
Спосіб 1 - дискримінант. D = 49 − 48 = 1. x = (7 ± 1) / 2 → x₁ = 4, x₂ = 3.
Спосіб 2 - теорема Вієта. x₁ + x₂ = 7, x₁ · x₂ = 12 → пара (3, 4). Те ж саме швидше.
✅ Відповідь: x₁ = 3, x₂ = 4.
Знайдіть значення k, при якому рівняння x² − 4x + k = 0 має один корінь.
Крок 1. «Один корінь» означає D = 0.
Крок 2. D = (−4)² − 4·1·k = 16 − 4k.
Крок 3. 16 − 4k = 0 → 4k = 16 → k = 4.
✅ Відповідь: k = 4. Перевірка: x² − 4x + 4 = (x − 2)² → x = 2 (двократний корінь).
⚠️ Типові помилки учнів
Для x² + 5x + 6 = 0: D = 5² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1 (правильно). А пишуть D = (−5)² − 24 = 1 (теж правильно, але через зайвий мінус). У формулі дискримінанта b беруть зі знаком, але потім піднесений до квадрата - знак втрачається.
D = b² − 4ac. Не +4ac, а саме − (мінус). Класична помилка: пишуть D = b² + 4ac, отримують інше число. Перевіряйте формулу перед обчисленнями.
x = (−b ± √D) / 2a. Зверніть увагу: −b, а не +b. Якщо у вашому рівнянні b = 3, то у формулу йде −3. Якщо b = −3, то у формулу йде −(−3) = +3.
x = (−b ± √D) / 2a - ціле дріб ділиться на 2a, не лише на 2. Якщо a = 3, ділимо на 6, не на 2. Часто учні забувають множник a у знаменнику для рівнянь з a ≠ 1.
Знайшли x = 4? Підставте: a·4² + b·4 + c має дорівнювати 0. Це займає 30 секунд, але рятує від арифметичних помилок. На НМТ перевірка - обов'язковий крок для квадратних рівнянь.
Дискримінант – це індикатор, а не самоціль. Завжди питайте себе: «А чи можна без нього?». Для рівнянь з a = 1 і малими b, c – швидше Вієтою. Для всіх інших – дискримінант надійніший.
Викладачка Анастасія – КЕВІН, НПУ ім. Драгоманова, 6 років досвіду.
Дивіться також: Формули скороченого множення, Теорема Вієта, Нерівності.
Хочете перевірити свій рівень з алгебри? Запишіться на безкоштовну консультацію з викладачем KEVIN: визначимо ваш рівень з НМТ-математики та складемо персональний план підготовки. Залишити заявку →
Квадратне рівняння – рівняння виду ax² + bx + c = 0, де a ≠ 0. Числа a, b, c називаються коефіцієнтами (a – старший коефіцієнт, b – середній, c – вільний член).
Дискримінант – допоміжне число, яке обчислюється за формулою D = b² − 4ac. Він показує, скільки коренів має рівняння:
- D > 0 – два різні дійсні корені: x₁ = (−b + √D) / 2a, x₂ = (−b − √D) / 2a
- D = 0 – один корінь (двократний): x = −b / 2a
- D < 0 – дійсних коренів немає (тільки комплексні, які НЕ входять в НМТ)
- D = b² − 4ac
- D > 0 → 2 корені
- D = 0 → 1 корінь
- D < 0 → коренів немає
- x = (−b ± √D) / 2a
Усі ці формули є в довідкових матеріалах НМТ.
❓ Часті запитання
Як знайти дискримінант квадратного рівняння?
Формула: D = b² − 4ac, де a, b, c – коефіцієнти рівняння ax² + bx + c = 0. Підставте числа з рівняння у формулу, обчисліть. Наприклад, для x² + 3x − 4 = 0: D = 3² − 4·1·(−4) = 9 + 16 = 25.
Що означає D > 0, D = 0, D < 0?
D > 0 – рівняння має два різні корені (x₁ ≠ x₂). D = 0 – рівняння має один корінь (x₁ = x₂, так званий «двократний» корінь). D < 0 – рівняння НЕ має дійсних коренів (тобто розв’язків у звичайних числах). У НМТ варіант «коренів немає» трапляється у завданнях.
Як знайти корені, якщо знаю дискримінант?
Формула: x₁ = (−b + √D) / 2a, x₂ = (−b − √D) / 2a. Знак ± розшифровуєте на два рівняння: один з +, другий з −. Якщо D = 0, обидва корені однакові: x = −b/2a.
Що швидше - дискримінант чи теорема Вієта?
Теорема Вієта швидше, коли коефіцієнти прості (a = 1, b і c – невеликі цілі числа). Тоді корені часто видно усно: для x² − 5x + 6 = 0 одразу видно x₁ = 2, x₂ = 3 (сума = 5, добуток = 6). Дискримінант надійніший, бо працює завжди. На НМТ використовуйте Вієта якщо бачите «легке» рівняння, інакше – дискримінант.
Чи дають довідник з дискримінантом на НМТ?
Так – УЦОЯО надає довідник з основними формулами на самому НМТ. Формули D = b² − 4ac і x = (−b ± √D) / 2a там є. Але учні, які звертаються до довідника під час тесту, втрачають час: втрату часу – не розв’язаних завдань. Завчіть формули назубок до тесту.
Скільки балів дають завдання на дискримінант на НМТ?
Безпосередньо «знайти дискримінант» – окремі завдання. Але дискримінант використовується у багатьох інших темах, нерівності, текстові задачі, задачі на функції. Тобто без дискримінанта ви втрачаєте значну частину балів. Це найприбутковіша інвестиція часу в підготовку до алгебри. Разом із формулами скороченого множення і теоремою Вієта дискримінант входить у базу, з якої складається курс підготовки до НМТ з математики.