Формули скороченого множення – це 6 базових тотожностей, які трапляються в завданнях НМТ. Без них неможливо розв’язати рівняння, нерівності й задачі на спрощення.
Нижче: 6 формул у єдиній таблиці → методика застосування → 5 типових помилок → 7 розв’язаних прикладів.
На НМТ ці формули задіяні у багатьох завданнях: квадратні рівняння, спрощення виразів, розкладання на множники, ірраціональні рівняння. Без впевненого володіння цими 6 формулами втратите бали. Хороша новина: вони запам’ятовуються за 2-3 години інтенсивної практики, а тримаються роками.
🔑 Ключові формули
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a − b)(a + b)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Як розв'язувати — покроковий метод
-
1 💡 Лайфхак KEVIN №7-8 - швидкий квадрат і добуток близьких чисел
Замість «у стовпчик» – застосуйте ФСМ дослівно:
Квадрат числа, близького до 100 (лайфхак №7):
98² = (100 − 2)² = 100² − 2·100·2 + 2² = 10000 − 400 + 4 = 9604. Витратили 5 секунд проти 30 у стовпчик.Добуток двох близьких чисел (лайфхак №8):
51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 50² − 1² = 2500 − 1 = 2499. Та сама ФСМ – різниця квадратів – у «зворотний бік».Принцип KEVIN: «Перевірте – чи можна перетворити обчислення на форму, яку легше зробити усно». ФСМ – це не «теорія для заучування», це інструмент швидкого рахунку.
-
2 Визначте тип задачі - згортання чи розкладання
Якщо в умові є дужка з показником (a±b)² або (a±b)³ – це розкриття дужок: розкривайте за відповідною формулою. Якщо квадрати чи куби стоять окремо й треба знайти множники (a² − b² або x³ + 27) – це розкладання: застосовуйте різницю квадратів або суму/різницю кубів.
-
3 Виділіть a і b у виразі
Для (3x − 2y)² → a = 3x, b = 2y. Підставляйте у формулу (a−b)² = a² − 2ab + b² → 9x² − 12xy + 4y². Найчастіша помилка: забути піднести до квадрата коефіцієнт. (3x)² = 9x², не 3x².
-
4 Перевірте розкладання помноженням
Розклали x² − 25 на (x−5)(x+5)? Перемножте назад: (x−5)(x+5) = x² + 5x − 5x − 25 = x² − 25. Сходиться → правильно. Якщо ні → помилка у розкладанні (часто плутають знаки).
-
5 У складних виразах застосуйте кілька формул послідовно
Приклад: x⁴ − 16. Це різниця квадратів: x⁴ − 16 = (x²)² − 4² = (x² − 4)(x² + 4). Але x² − 4 – це теж різниця квадратів: (x − 2)(x + 2). Підсумок: x⁴ − 16 = (x − 2)(x + 2)(x² + 4).
-
6 Пам'ятайте про мінус перед всією дужкою
Якщо у задачі −(a − b)², то спочатку розкривайте дужку, а тоді ставите мінус: −(a² − 2ab + b²) = −a² + 2ab − b². Це часта помилка на НМТ – мінус «з’їдає» знак кожного доданку.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Спростіть вираз: (2x − 3)² − (2x + 3)(2x − 3).
Крок 1. Розкриваємо (2x − 3)² за формулою квадрата різниці: (2x)² − 2·2x·3 + 3² = 4x² − 12x + 9.
Крок 2. Розкриваємо (2x + 3)(2x − 3) за формулою різниці квадратів: (2x)² − 3² = 4x² − 9.
Крок 3. Віднімаємо: (4x² − 12x + 9) − (4x² − 9) = 4x² − 12x + 9 − 4x² + 9 = −12x + 18.
✅ Відповідь: −12x + 18 (або 18 − 12x, або 6(3 − 2x) - будь-який з цих варіантів правильний).
Розкладіть на множники: x⁴ − 81.
Крок 1. Помічаємо, що x⁴ = (x²)² і 81 = 9². Це різниця квадратів: x⁴ − 81 = (x²)² − 9² = (x² − 9)(x² + 9).
Крок 2. Бачимо, що x² − 9 - теж різниця квадратів: (x − 3)(x + 3).
Крок 3. Сума x² + 9 не розкладається.
✅ Відповідь: (x − 3)(x + 3)(x² + 9)
Обчисліть значення виразу 73² − 27².
Крок 1. Це різниця квадратів: 73² − 27² = (73 − 27)(73 + 27).
Крок 2. Обчислюємо в дужках: 73 − 27 = 46; 73 + 27 = 100.
Крок 3. Множимо: 46 · 100 = 4600.
✅ Відповідь: 4600. (Якщо рахувати «у лоб»: 73² = 5329, 27² = 729 → 5329 − 729 = 4600 - звісно правильно, але через формулу - швидше.)
Спростіть вираз (x² − 9) / (x² + 6x + 9) і знайдіть його значення при x = 4.
Крок 1. Чисельник. Два члени, між ними мінус, обидва квадрати: x² і 9 = 3². Це різниця квадратів: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Крок 2. Знаменник. Три члени. Крайні - квадрати: x² і 3². Перевіряємо середній: 2 · x · 3 = 6x, сходиться. Отже це повний квадрат суми: x² + 6x + 9 = (x + 3)².
Крок 3. Скорочуємо. (x − 3)(x + 3) / (x + 3)² = (x − 3) / (x + 3), де x ≠ −3.
Крок 4. Підставляємо x = 4: (4 − 3) / (4 + 3) = 1/7.
Відповідь: (x − 3) / (x + 3), значення 1/7.
Зверніть увагу на дрібницю, яка коштує балів: обмеження x ≠ −3. Якщо в завданні просять записати область допустимих значень, а ви її пропустили, відповідь неповна.
Розв’яжіть рівняння x³ − 4x = 0.
Крок 1. Виносимо спільний множник: x(x² − 4) = 0.
Крок 2. У дужці різниця квадратів: x(x − 2)(x + 2) = 0.
Крок 3. Добуток дорівнює нулю, коли хоч один множник нуль: x = 0, або x − 2 = 0, або x + 2 = 0.
Відповідь: x = −2, x = 0, x = 2 - три корені.
Типова пастка: учень ділить обидві частини на x, отримує x² = 4 і два корені замість трьох. Корінь x = 0 втрачено, завдання не зараховане.
Відомо, що a + b = 7 і ab = 10. Знайдіть a² + b².
Крок 1. Записуємо квадрат суми: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Крок 2. Виражаємо потрібне: a² + b² = (a + b)² − 2ab.
Крок 3. Підставляємо: a² + b² = 7² − 2 · 10 = 49 − 20 = 29.
Відповідь: 29.
Такі завдання виглядають хитро, а насправді це одна формула, прочитана справа наліво. Позначте собі: що дано, що треба знайти, і яка формула їх зв'язує.
Спростіть (√5 − √3)(√5 + √3).
Крок 1. Це різниця квадратів, де a = √5, b = √3: (√5 − √3)(√5 + √3) = (√5)² − (√3)².
Крок 2. Квадрат арифметичного кореня дає підкореневий вираз: 5 − 3 = 2.
Відповідь: 2.
Саме на цьому прийомі тримається звільнення від ірраціональності у знаменнику. Коли бачите в знаменнику √5 − √3, множите чисельник і знаменник на √5 + √3 - і корені в знаменнику зникають.
⚠️ Типові помилки учнів
Найчастіша помилка з квадратом суми/різниці. Пишуть (3 + 2)² = 9 + 4 = 13, замість 9 + 12 + 4 = 25. Правило: (a + b)² ≠ a² + b². Завжди - три члени.
a² + b² - це сума двох квадратів. Її не можна розкласти на множники (на дійсних числах). (a + b)² - це квадрат суми, він дорівнює a² + 2ab + b². Різниця кардинальна, але часто плутають.
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Зверніть увагу: у першій дужці знак «−», а в другій (неповному квадраті) - всі знаки «+». Учні часто пишуть (a − b)(a² − ab + b²) - помилка через «магічне» дзеркало знаків.
(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9, а не 2x² + 12x + 9. Коефіцієнт 2 теж піднесений до квадрата → 4. Перевіряйте кожний доданок окремо: a = 2x → a² = 4x²; b = 3 → b² = 9; 2ab = 2·2x·3 = 12x.
x² + 4 не дорівнює (x + 2)². Перевірка: (x + 2)² = x² + 4x + 4 - є середній член 4x. Сума квадратів a² + b² не розкладається на дійсних числах. На НМТ це часто ставлять як «пастка» - серед варіантів є помилкове розкладання.
У рівнянні x³ − 4x = 0 ділять обидві частини на x, отримують x² = 4 і два корені замість трьох. Корінь x = 0 втрачено, завдання не зараховане. Ділити на змінну не можна ніколи, бо вона може дорівнювати нулю: виносимо x за дужки.
Що раджу учням: завчіть 6 формул ДО того, як беретеся за рівняння й нерівності. Без них алгебра – це 3 кроки на кожну задачу замість 1. Спочатку це здається занадто – «6 формул, навіщо стільки?». Але після 30 розв’язаних прикладів ви побачите формули скрізь: у спрощенні виразів, у текстових задачах, у тригонометрії (cos²x − sin²x = cos 2x – це різниця квадратів, тож cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x)), у показникових рівняннях. Це – справді базис.
Викладачка Анастасія – КЕВІН, НПУ ім. Драгоманова, 6 років досвіду,
Дивіться також: Дискримінант, Теорема Вієта.
Хочете перевірити свій рівень з алгебри? Запишіться на безкоштовну консультацію з викладачем KEVIN: визначимо ваш рівень з НМТ-математики та складемо персональний план підготовки. Залишити заявку →
Формула скороченого множення – це тотожність, яка дозволяє швидко розкласти многочлен на множники. У школі їх вивчають у 7 класі, на НМТ – це базовий інструмент усієї алгебри.
Принцип: усі 6 формул побудовані на принципі симетрії. (a+b)² і (a−b)² відрізняються лише знаком середнього члена. a³+b³ і a³−b³ – лише знаком у «неповному квадраті». Запам’ятайте одну формулу – отримуєте другу через зміну знаку.
Як використовувати: на тесті ви або розкладаєте (a² − b² → (a−b)(a+b)), або згортаєте (a² + 2ab + b² → (a+b)²). Перше – для рівнянь, друге – для спрощення.
Чому в сумі кубів немає двійки перед ab. Бо другий множник – це неповний квадрат різниці, а не повний. Перевірмо на (a + b)(a² − ab + b²): множимо a на кожен член – a³ − a²b + ab²; множимо b – a²b − ab² + b³. Складаємо: −a²b і +a²b взаємно знищуються, +ab² і −ab² теж. Лишається a³ + b³. Саме через ці скорочення двійка там і не потрібна. Один раз перемножте руками – і плутати більше не будете.
(a+b)² = a² + 2ab + b² | (a−b)² = a² − 2ab + b² | a² − b² = (a−b)(a+b) | (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ | (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³ | a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)
❓ Часті запитання
Скільки формул скороченого множення треба знати для НМТ?
Мінімум 6 формул: квадрат суми, квадрат різниці, різниця квадратів, куб суми, куб різниці, сума/різниця кубів. Усі вони базові і входять у програму УЦОЯО. Сума квадратів (a² + b²) НЕ розкладається на дійсних числах – це окрема властивість, не «формула».
Чи буде довідник з формулами скороченого множення на НМТ?
Частково. У довідкових матеріалах на тесті є лише три з них: різниця квадратів, квадрат суми і квадрат різниці. Куба суми, куба різниці, суми й різниці кубів там немає, тож їх треба знати напам’ять. І всі формули краще завчити назубок: на тесті ви не маєте часу шукати формулу – потрібна моментальна реакція. Роздрукуйте довідник заздалегідь: testportal.gov.ua/…/ZNO_Math_dovidkovy-materialy.pdf
Як швидко вивчити всі 6 формул?
За 2-3 години інтенсивної практики. Метод: запишіть кожну формулу від руки 5-7 разів (механічна пам’ять). Потім розв’яжіть 10 базових прикладів – 5 на згортання, 5 на розкладання. Перевіряйте кожне розкладання помноженням назад. Через тиждень – повторіть (інтервальне повторення). Так формули осядуть у довгу пам’ять і не зникнуть до квітня.
Чим відрізняється квадрат суми від суми квадратів?
Це різні вирази. Квадрат суми (a + b)² = a² + 2ab + b² – тут піднесена до квадрата вся сума. Сума квадратів a² + b² – це просто додавання двох уже піднесених до квадрата чисел. Перевірте: (3 + 2)² = 25, а 3² + 2² = 13. На НМТ це улюблена пастка – серед варіантів відповіді часто є помилкова версія «без 2ab».
Чи можна розкласти a² + b² на множники?
На дійсних числах – НІ. Сума квадратів не розкладається. На комплексних числах a² + b² = (a + bi)(a − bi), але комплексні числа НЕ входять у програму НМТ – це лише університетський рівень. У відповідях НМТ ніколи не буде розкладу для a² + b².
Як зрозуміти, де застосовувати формули скороченого множення в задачах?
Сигнали в задачі: «спростіть», «розкладіть на множники», «знайдіть значення виразу при a = …, b = …», «розв’яжіть рівняння». Якщо в умові є вираз з дужкою у квадраті/кубі – розкривайте дужки. Якщо є вираз без дужок, але з квадратами/кубами – розкладайте на множники або згортайте у квадрат суми чи різниці. Через 50 розв’язаних прикладів ви будете бачити це автоматично.
Скільки балів дають завдання на формули скороченого множення?
Окремого бала «за формули» немає. Формули використовуються не самостійно, а як інструмент у складніших задачах: квадратні рівняння (теорема Вієта), нерівності (метод інтервалів), функції, текстові задачі. Тому з них і починають підготовку до НМТ з математики – ще до рівнянь і нерівностей.
Як не переплутати суму кубів і різницю кубів
Дивіться на знаки: у першій дужці знак такий самий, як в умові, у другій – протилежний. Сума кубів: (a + b)(a² − ab + b²). Різниця кубів: (a − b)(a² + ab + b²). І в жодному з двох випадків двійки перед ab немає.
Як зрозуміти, що вираз є повним квадратом
Перевіряємо три речі: чи є три члени, чи крайні члени є квадратами, і чи середній член дорівнює подвійному добутку. Для 4x² + 12x + 9: крайні дають 2x і 3, подвійний добуток 2 · 2x · 3 = 12x, сходиться, отже це (2x + 3)². Якщо середній не збігається, повного квадрата немає.