Розкладання многочлена на множники – це подання многочлена у вигляді добутку. Наприклад, \(5x – 5y = 5(x – y)\), а \(a^3 + 3a^2 = a^2(a + 3)\). Основних способів три: винесення спільного множника за дужки, групування і формули скороченого множення.
Програма НМТ прямо вимагає від абітурієнта знати розклад многочлена на множники і вміти виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, а сам розклад названо серед загальних прийомів розвʼязування рівнянь і нерівностей. Тобто тема працює не лише сама на себе: без неї не скоротити дріб і не розвʼязати рівняння через нуль добутку.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Розкладіть на множники вираз \(x^2 – 36\). Варіанти: А) \((x – 18)(x + 18)\); Б) \((x – 6)^2\); В) \((x – 6)(x + 6)\); Г) \((x + 6)^2\); Д) \((x – 18)^2\).
В. Тут два доданки, отже, працює різниця квадратів: \(36 = 6^2\), тому \(x^2 – 36 = (x – 6)(x + 6)\). Варіант А приваблює тих, хто ділить 36 навпіл замість того, щоб добути корінь. Варіанти Б і Д - це квадрат двочлена, а квадрат двочлена дає тричлен, а не двочлен, тому вони одразу відпадають.
Розкладіть на множники \(x^2 – 6x + 5\). Варіанти: А) \((x+1)(x-5)\); Б) \((x-2)(x-3)\); В) \((x+1)(x+5)\); Г) \((x-1)(x-5)\); Д) \((x+2)(x+3)\).
Г. Коренями рівняння \(x^2 – 6x + 5 = 0\) є числа 1 і 5, тому \(x^2 – 6x + 5 = (x – 1)(x – 5)\). Варіант А підсовує знак «плюс» у першій дужці: якщо розкрити, вільний член стане \(-5\), а не \(+5\). Варіант В дає правильний вільний член, але обидва корені взяті з протилежним знаком, тому середній доданок виходить \(+6x\) замість \(-6x\). Варіанти Б і Д побудовані на числах 2 і 3: їхня сума 5, а добуток 6 - тобто рівно навпаки до потрібних (сума 6, добуток 5).
Розкласти на множники многочлен \(a^2 – 4a + 4 – b^2\). Тут перші три доданки є квадратом двочлена, тому застосовуємо штучне групування: \(a^2 – 4a + 4 – b^2 = (a – 2)^2 – b^2 = (a – 2 – b)(a – 2 + b)\).
\((a – 2 – b)(a – 2 + b)\). Пастка в тому, що більшість починає групувати попарно сусідні доданки, а треба відділити повний квадрат і звести все до різниці квадратів.
⚠️ Типові помилки учнів
Неправильно. Якщо квадратний тричлен не має коренів, то на лінійні множники його розкласти не можна. Спочатку перевіряйте дискримінант \(D = b^2 – 4ac\), а вже потім пишіть добуток.
Неправильно. Спосіб працює, лише коли права частина дорівнює нулю: спершу перенесіть 12 ліворуч, а потім розкладайте.
Неправильно. Множник обирають так, щоб члени, які залишились у дужках, не мали спільного буквеного множника, а модулі їхніх коефіцієнтів не мали спільних дільників: буква виноситься в найменшому степені, число – як найбільший спільний дільник коефіцієнтів.
Неправильно. Лише розбиття \(-6x = -2x + (-4x)\) дає появу спільного множника після групування, з іншими доданками розклад не вийде.
Неправильно. Для перевірки правильності розкладання множники перемножують, і добуток має дорівнювати початковому многочлену. Це займає кілька секунд і рятує від помилки в знаку.
Спосіб групування нескладний, але використовується рідше за інші, і саме через це його найчастіше плутають. Мій порядок дій на уроці завжди однаковий: перший крок – перевірити спільний множник, другий крок – пошукати формулу скороченого множення в довідкових матеріалах, і лише третій крок – групування. Коли доданків чотири, майже завжди це буде саме групування. Проженіть цей алгоритм на десятку завдань, і на НМТ рука сама вибиратиме потрібний спосіб.
Універсального правила для розкладання многочленів на множники немає, але є правило-орієнтир: розкладання доцільно починати з винесення спільного множника за дужки, якщо такий множник існує.
- Шукаємо спільний множник. Числовий множник беремо як найбільший спільний дільник коефіцієнтів, буквений – у найменшому степені. У виразі \(10a^2b + 15a^2b^2\) спільним числовим множником є число 5, спільним буквеним – одночлен \(a^2b\).
- Перевіряємо формули скороченого множення. Два доданки – дивимося на різницю квадратів або на суму чи різницю кубів, три доданки – на повний квадрат. Наприклад, \(4x^2 + 12x + 9\) є квадратом суми \(2x + 3\), тому \(4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2\).
- Якщо не спрацювало, групуємо. Розбиваємо доданки на групи так, щоб у кожній групі був спільний множник, виносимо його з кожної групи, а потім виносимо спільну дужку.
- Комбінуємо способи. Часто одного способу мало: \(5m^4 – 20m^2n^2 = 5m^2(m^2 – 4n^2) = 5m^2(m – 2n)(m + 2n)\). Спочатку винесли \(5m^2\), потім у дужках спрацювала різниця квадратів.
- Перевіряємо результат. Для перевірки правильності розкладання слід перемножити отримані множники: добуток має дорівнювати даному многочлену.
Той самий ланцюжок працює і в довших прикладах: \(2x^4 + 12x^3 + 18x^2 = 2x^2(x^2 + 6x + 9) = 2x^2(x + 3)^2\), а \(a^3b^2 – 3a^3b + 5a^2b^2 – 15a^2b = a^2b(ab – 3a + 5b – 15) = a^2b(b – 3)(a + 5)\). У другому випадку після винесення \(a^2b\) у дужках залишився многочлен, який розклали групуванням.
Тричлен вигляду \(x^2 + px + q\) розкладають або групуванням, або через корені. Групування виглядає так: у тричлені \(x^2 – 6x + 8\) записуємо \(-6x = -2x + (-4x)\), отримуємо чотири доданки, групуємо їх і виносимо спільну дужку. Секрет саме в тому, що доданки \(-2x\) і \(-4x\) дають появу спільного множника після розбиття на групи: з іншим розбиттям групування не спрацює.
Другий шлях швидший. Знаходимо корені квадратного тричлена з рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\) і підставляємо у формулу \(a(x – x_1)(x – x_2)\). Наприклад, коренями тричлена \(-2x^2 + 3x + 5\) є числа \(-1\) і \(2{,}5\), тому його розкладають у добуток за цією формулою, а множник \(-2\) можна внести в одну з дужок. Якщо ж відповідне квадратне рівняння коренів не має, тричлен на лінійні множники не розкладається.
Розкладання на множники потрібне і для скорочення дробів: у чисельнику й знаменнику розкладають квадратні тричлени, а потім скорочують однакові множники.
Коментар викладачки. Тут є момент, на якому плутаються постійно: скорочувати можна лише множники, а не доданки. Доданки не скорочуються, вони можуть хіба що взаємознищуватися, коли вони протилежні. Проговоріть це собі вголос один раз, і в дробах помилок стане менше.
Розкладання многочленів на множники часто спрощує розвʼязування рівняння. Схема така: переносимо все в один бік, розкладаємо ліву частину на множники і користуємося тим, що добуток дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Наприклад, \(5x^2 – 7x = 0\) перетворюється на \(x(5x – 7) = 0\), звідки \(x = 0\) або \(x = 1{,}4\).
Важливе застереження: такий спосіб застосовують, лише коли права частина рівняння дорівнює 0. Рівняння \(5x^2 – 7x = 12\) чи \(5x^2 – 7x = 40\) так розвʼязувати не можна.
Різниця квадратів працює так само: \(x^2 – 25 = 0\) розкладається у \((x – 5)(x + 5) = 0\), і корені \(-5\) та \(5\) видно одразу. А для рівняння \(x^2 + 8x – 20 = 0\) підручник показує штучний прийом: додаємо і віднімаємо 16, отримуємо \((x + 4)^2 – 6^2 = 0\), далі за формулою різниці квадратів \((x – 2)(x + 10) = 0\) і корені \(-10\) та \(2\).
Цю тему розбирають на курсі математики KEVIN.
- Винесення спільного множника: \(ab + ac = a(b + c)\). Це записана у зворотному порядку розподільна властивість множення.
- Групування: \(ab – 5a + 3b – 15 = a(b – 5) + 3(b – 5) = (b – 5)(a + 3)\): спочатку виносимо множник у кожній групі, потім спільну дужку.
- Різниця квадратів: \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).
- Квадрат суми і квадрат різниці: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\) і \(a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2\). Тричлен такого вигляду називають повним квадратом.
- Квадратний тричлен через корені: якщо \(x_1\) і \(x_2\) – корені тричлена \(ax^2 + bx + c\), то \(ax^2 + bx + c = a(x – x_1)(x – x_2)\). Корені шукаємо з рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\), знак дискримінанта \(D = b^2 – 4ac\) показує, скільки їх.
- Якщо коренів немає, квадратний тричлен на лінійні множники розкласти не можна.
❓ Часті запитання
Скільки способів розкладання на множники треба знати для НМТ?
Три базові: винесення спільного множника за дужки, групування і формули скороченого множення. Окремо додається розклад квадратного тричлена через його корені за формулою \(a(x – x_1)(x – x_2)\).
З чого починати розкладання, якщо не видно способу?
З винесення спільного множника: розкладання доцільно починати саме з нього, якщо такий множник існує. Далі в дужках уже видно, чи спрацює формула скороченого множення, чи потрібне групування.
Коли застосовувати спосіб групування?
Коли у всіх членів многочлена немає спільного множника. Тоді доданки розбивають на групи так, щоб у кожній групі був спільний множник, виносять його, а потім виносять спільну дужку.
Як розкласти квадратний тричлен, якщо формула скороченого множення не підходить?
Знайдіть корені \(x_1\) і \(x_2\) з рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\) і запишіть \(ax^2 + bx + c = a(x – x_1)(x – x_2)\). Якщо коренів немає, розкласти на лінійні множники неможливо.
Як перевірити, чи правильно виконано розкладання?
Перемножте отримані множники: результат має дорівнювати даному многочлену. Якщо збігається, розклад правильний.
Що робити, коли після винесення множника вираз у дужках теж розкладається?
Продовжуйте розкладати далі. Іноді для розкладання на множники доводиться застосовувати кілька способів послідовно: наприклад, \(5m^4 – 20m^2n^2 = 5m^2(m – 2n)(m + 2n)\).