Тотожне перетворення виразу – це заміна виразу іншим, тотожно рівним йому. Два вирази називають тотожними, якщо їхні відповідні значення рівні між собою для будь-яких значень змінних, а рівність, правильна за будь-яких значень змінних, – це тотожність. Цю тему розбирають на курсі математики KEVIN.
🔑 Головні правила
Квадрат суми і квадрат різниці: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).
Різниця квадратів: \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\), і в зворотному напрямку \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).
Сума кубів: \((a + b)(a^2 – ab + b^2) = a^3 + b^3\), тобто \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)\).
Різниця кубів: \((a – b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 – b^3\), тобто \(a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)\).
Розкладання на множники повного квадрата: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\), \(a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2\).
Степінь з натуральним показником: \(a^n\) при \(n \gt 1\) – це добуток \(n\) множників, кожний з яких дорівнює \(a\), а \(a^1 = a\).
Степінь з раціональним показником: якщо \(a \gt 0\), \(m\) ціле, \(n\) натуральне і \(n \gt 1\), то \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
Властивості степеня з раціональним показником при \(a \gt 0\), \(b \gt 0\) і раціональних \(p\), \(q\): \(a^p \cdot a^q = a^{p+q}\), \(a^p : a^q = a^{p-q}\), \((a^p)^q = a^{pq}\), \(a^{-p} = \dfrac{1}{a^p}\).
Винесення множника з-під знака кореня і внесення множника під знак кореня – взаємно обернені перетворення; під знак кореня парного степеня вносять лише модуль множника, а знак множника лишається перед коренем.
Основна властивість дробу: чисельник і знаменник можна помножити на той самий вираз, і дріб не зміниться. Саме так зводять дроби до спільного знаменника і звільняються від іраціональності в знаменнику.
🗺 Оберіть підтему для детального розбору
Кожна підтема — окрема сторінка з реальними завданнями НМТ, покроковим методом та шпаргалкою.
Як розв'язувати завдання теми — загальний метод
-
1 Визначте тип виразу
Ділення на вираз зі змінною є – вираз дробовий раціональний, і треба тримати в голові допустимі значення. Немає – вираз цілий, працюєте вільніше.
-
2 Спростіть кожну частину окремо
У прикладі підручника з дужками спочатку виконують дію в кожній з дужок, а вже потім дію ділення між ними. Не тягніть усе одним ланцюжком, поки не впевнені.
-
3 Розкладіть на множники
Тут заходять формули скороченого множення: чисельник \(64 – a^2\) – це різниця квадратів, а різниця квадратів завжди розкладається як \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).
-
4 Скоротіть дріб
Після розкладання однакові множники в чисельнику й знаменнику зникають. Для дробів з коренями підручник радить те саме: подати чисельник у вигляді різниці квадратів або винести спільний множник за дужки.
-
5 Зведіть подібні доданки
Для коренів працює те саме правило: подібні радикали додають так само, як подібні доданки, винісши спільний множник за дужки.
-
6 Перевірте результат числом
Підставте в початковий і в кінцевий вираз одне й те саме зручне значення змінної. Значення різні – десь помилка перетворення.
Узгодьте вираз \((1-3)\) з тотожно рівним йому виразом \((\)А\(-\)Д\()\), якщо \(a \neq 0,\ a \neq 1\).
- 1. \(\sqrt{a^2}\)
- 2. \(a^3 : a^4\)
- 3. \(\dfrac{a^2 – a}{1 – a}\)
- А) \(a\); Б) \(2a\); В) \(\dfrac{1}{a}\); Г) \(-a\); Д) \(|a|\)
1-Д, 2-В, 3-Г. Розбираємо по кроках. У першому вираз \(\sqrt{a^2}\) дорівнює \(|a|\), а не \(a\): це і є головна пастка завдання, бо варіант А виглядає найочевиднішим. У другому за властивістю ділення степенів \(a^3 : a^4 = a^{3-4} = a^{-1} = \dfrac{1}{a}\), тобто В. У третьому виносимо \(a\) в чисельнику: \(a^2 - a = a(a - 1)\). Тоді дріб дорівнює \(\dfrac{a(a - 1)}{1 - a}\), а \(1 - a = -(a - 1)\), тому після скорочення лишається \(-a\), тобто Г. Мінус тут губиться найчастіше: якщо його не побачити, вийде варіант А.
Узгодьте вираз (1-3) з тотожно рівним йому виразом (А – Д), якщо \(a \neq 0\).
- 1. \(\sqrt[3]{\dfrac{27}{a^3}}\)
- 2. \(a^{-2} \cdot a^3 \cdot \log_{27} 3\)
- 3. \(\dfrac{(a – 3)^2 – a^2 – 9}{2}\)
- А) \(-3a\); Б) \(\dfrac{3}{a}\); В) \(0\); Г) \(\dfrac{a}{3}\); Д) \(3a\)
1-Б, 2-Г, 3-А. У першому корінь третього степеня з дробу дає \(\dfrac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{a^3}} = \dfrac{3}{a}\), тобто Б. У другому спершу степені: \(a^{-2} \cdot a^3 = a^{-2+3} = a\), а логарифм дає \(\dfrac{1}{3}\), разом \(\dfrac{a}{3}\), тобто Г. У третьому розкриваємо квадрат різниці за формулою \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): \((a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9\). Далі \(a^2 - 6a + 9 - a^2 - 9 = -6a\), а після ділення на 2 виходить \(-3a\), тобто А. Пастка в тому, що варіант Д з тим самим числом, але без мінуса, стоїть поруч.
Узгодьте вираз (1-3) з тотожно рівним йому виразом (А – Д).
- 1. \(\dfrac{1}{n} : \dfrac{1}{2}\)
- 2. \(10n^2 – 2n(5n – 1)\)
- 3. \(\log_{25} 5^n\)
- А) \(-2n\); Б) \(\dfrac{2}{n}\); В) \(\dfrac{n}{2}\); Г) \(2n\); Д) \(2n^2\)
1-Б, 2-Г, 3-В. У першому ділення на дріб - це множення на обернений: \(\dfrac{1}{n} \cdot 2 = \dfrac{2}{n}\), тобто Б. У другому множимо одночлен на многочлен: \(2n(5n - 1) = 10n^2 - 2n\), тоді \(10n^2 - (10n^2 - 2n) = 2n\), тобто Г. Тут пастка на знаку перед дужкою: якщо не поміняти знаки обох членів, вийде \(-2n\), тобто варіант А. У третьому логарифм дає \(\dfrac{n}{2}\), тобто В.
До кожного виразу (1-3) доберіть тотожно рівний йому вираз (А – Д), якщо \(a \neq 8\).
- 1. \(\dfrac{64 – a^2}{8 – a}\)
- 2. \(2^{3a}\)
- 3. \(\log_{\sqrt[8]{2}} 2^a\)
- А) \(8^a\); Б) \(8+a\); В) \(8a\); Г) \(8-a\); Д) \(\dfrac{a}{8}\)
1-Б, 2-А, 3-В. Перший вираз - це рівно наш метод у чистому вигляді: чисельник \(64 - a^2\) розкладаємо як різницю квадратів \((8 - a)(8 + a)\), скорочуємо на \(8 - a\) і отримуємо \(8 + a\), тобто Б. Варіант Г виглядає спокусливо, бо \(8 - a\) стоїть перед очима у знаменнику. У другому \(2^{3a} = (2^3)^a = 8^a\) за властивістю \((a^p)^q = a^{pq}\), тобто А. У третьому логарифм дає \(8a\), тобто В.
⚠️ Типові помилки по темі
Неправильно. Це \(|a|\), і саме на цьому побудований варіант Д у завданні НМТ 2026 від 15.06. Підручник окремо підкреслює: під знак кореня парного степеня вносять лише модуль множника, а вираз має зміст лише за невідʼємного підкореневого виразу.
Неправильно. Для \(3x + 2y\) і \(5xy\) при \(x = 1\) і \(y = 1\) значення рівні, але існують інші значення, за яких рівності немає, тому тотожно рівними ці вирази не є. Тотожність вимагає рівності за будь-яких значень змінних.
Неправильно. \(1 - a = -(a - 1)\), тому після скорочення обовʼязково лишається мінус. У завданні НМТ 2026 від 15.06 саме через цей мінус правильна відповідь \(-a\), а не \(a\).
Неправильно. Означення \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) дане для \(a \gt 0\), а для \(a \lt 0\) степінь із дробовим показником не визначений: вирази \((-1)^{\frac{1}{3}}\) чи \((-4)^{0,5}\) змісту не мають.
Неправильно. У завданні НМТ 2026 від 12.06 вираз \(10n^2 - 2n(5n - 1)\) дає \(2n\) саме тому, що знак змінюють обидва члени: \(-(10n^2 - 2n) = -10n^2 + 2n\). Забули про другий член - отримали \(-2n\) і хибний варіант.
Що таке тотожність і що таке тотожне перетворення
Тотожно рівними називають два вирази, відповідні значення яких рівні між собою для будь-яких значень змінних. Класичний приклад підручника: \(2(x – 1)\) і \(2x – 2\). Скільки різних значень \(x\) не підставляйте, обидва вирази дадуть однакове число, бо перехід між ними – це розподільна властивість множення. Так само тотожні \(2x + 3x\) і \(5x\).
А от вирази \(3x + 2y\) і \(5xy\) тотожними не є. Знайдуться такі значення \(x\) і \(y\), за яких їхні значення рівні, але знайдуться й такі, за яких значення різні. Достатньо однієї пари чисел, де рівності немає, і вирази вже не тотожно рівні.
Тотожністю є кожна рівність, якою записано відомі властивості дій над числами, а також правильні числові рівності. Самі тотожні перетворення виконують, застосовуючи властивості дій над числами: це розкриття дужок, зведення подібних доданків і взагалі спрощення виразу, тобто заміна виразу на тотожно рівний йому з коротшим записом. Якщо у виразі \(5x + 2x – 9\) звести подібні доданки, отримаємо \(7x – 9\): вираз замінили тотожним йому.
Коментар викладачки. Знову ж таки, зверніть увагу на різницю в назвах, її люблять питати. Заміна одного виразу іншим – це тотожне перетворення, а сам вираз, який тотожно дорівнює даному, – це тотожно рівний вираз. Різні слова про різні речі.
Які вирази бувають і чому це важливо для перетворень
Числові вирази утворюють із чисел за допомогою знаків арифметичних дій і дужок, а число, що є результатом усіх дій, – це значення виразу. Якщо у виразі є дія, яку виконати неможливо, вираз не має змісту: наприклад, \(5 : (8 : 2 – 4)\), бо в дужках виходить нуль.
Вираз зі змінною – це вираз із буквами, значення яких можна змінювати. Підставили конкретні числа замість змінних – отримали числове значення виразу для вибраних значень змінних. Саме таке формулювання і стоїть у програмі НМТ: знаходити числові значення виразів за заданих значень змінних.
Далі важливий поділ, від якого залежить весь спосіб роботи. Раціональний вираз, який не містить ділення на вираз зі змінною, називають цілим раціональним виразом. Якщо ділення на вираз зі змінною є, вираз називають дробовим раціональним. У цілих виразах ви вільно розкриваєте дужки і зводите подібні, а в дробових одразу зʼявляється питання допустимих значень: програма НМТ окремо називає означення області допустимих значень змінних виразу.
Ще один поверх – одночлени й многочлени. Цілі вирази, тобто числа, змінні, їхні степені й добутки, називають одночленами, а сума одночленів – це многочлен. Розкласти многочлен на множники означає подати його у вигляді добутку одночлена на многочлен або добутку кількох многочленів так, щоб цей добуток був тотожно рівним даному многочлену. Саме тут працюють формули скороченого множення.
Скільки тижнів готувати тему і в якому порядку
Порядок задає сама структура теми: спершу інструменти перетворень, потім вирази, де ці інструменти працюють, і лише в кінці змішані завдання формату №16.
- Тиждень 1. Вирази зі змінними, числове значення виразу, цілі й дробові раціональні вирази, одночлени й многочлени. Мета – навчитися одразу бачити, з яким типом виразу ви маєте справу.
- Тиждень 2. Формули скороченого множення в обидві сторони: і на розкриття, і на розкладання на множники. Це найзатребуваніший інструмент у завданнях №16.
- Тиждень 3. Раціональні дроби: скорочення, спільний знаменник, дії з дробами, доведення тотожностей за трьома способами підручника.
- Тиждень 4. Корені й степені: винесення та внесення множника, подібні радикали, скорочення дробів з коренями, звільнення від іраціональності в знаменнику, степінь з раціональним показником і його властивості.
- Тиждень 5. Змішані завдання №16 з реальних варіантів, де в одному завданні одразу корені, степені, дроби й логарифми.
Одна тема – це добре, але на НМТ їх десятки, і завдання №16 навмисно збирає різні розділи в одне. На курсі ви проходите всі вирази за тією самою логікою: інструмент, потім місце застосування, потім реальні варіанти.
❓ Часті запитання про тему
Чим тотожність відрізняється від рівняння
Тотожність – це рівність, правильна для будь-яких значень змінних, а рівняння правильне лише для окремих значень, які й називають коренями. Саме тому тотожність не «розвʼязують», а доводять: перетворюють одну або обидві частини, поки вони не стануть однаковими.
Як довести тотожність
Трьома способами. Перетворити ліву частину і звести до вигляду правої; перетворити праву і звести до вигляду лівої; перетворити обидві частини і звести їх до одного вигляду. Останній варіант зручний, коли обидві частини громіздкі.
Чому \(\sqrt{a^2}\) дорівнює \(|a|\), а не \(a\)
Бо квадратний корінь не може бути відʼємним, а \(a\) може. Вираз під коренем парного степеня має бути невідʼємним, і при внесенні множника під такий корінь беруть лише модуль множника, лишаючи знак перед коренем. У завданні НМТ 2026 від 15.06 правильна відповідь до \(\sqrt{a^2}\) – саме \(|a|\).
Які формули скороченого множення потрібні на НМТ
Пʼять базових: квадрат суми \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), квадрат різниці \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\), різниця квадратів \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\), сума кубів \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)\) і різниця кубів \(a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)\). Кожну треба вміти читати в обидві сторони.
Що означає «вираз не має змісту»
Це коли у виразі є дія, яку виконати неможливо. Наприклад, \(5 : (8 : 2 – 4)\) змісту не має, бо в дужках виходить нуль, а ділити на нуль не можна. Так само не має змісту степінь із дробовим показником від відʼємного числа.
У якому завданні НМТ трапляються тотожні перетворення
Найчастіше це №16 на встановлення відповідності: до кожного з трьох виразів треба дібрати тотожно рівний йому з пʼяти варіантів А-Д. Такий формат є у варіантах НМТ 2023 і 2026 років. Крім того, перетворення виразів працюють усередині рівнянь, нерівностей і задач на знаходження значення виразу.
🔗 Схожі теми: з Математики
Готуєтесь до НМТ з Математики? Запишіться на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN — визначимо ваш рівень і складемо план підготовки.
Отримати план підготовкиАбо зателефонуйте: +38 (073) 304 64 49