Многочлен – це сума одночленів. Додавання і віднімання многочленів виконують за правилами розкриття дужок і зведення подібних доданків, а множення – почленно: кожен член одного виразу множимо на кожен член іншого.
Програма НМТ вимагає знати означення одночлена та многочлена, правила додавання, віднімання й множення одночленів і многочленів, формули скороченого множення та розклад многочлена на множники, а також уміти виконувати тотожні перетворення виразів і знаходити їх числове значення за заданих значень змінних.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Розкладіть на множники вираз \(x^2 – 36\).
- А) \((x – 18)(x + 18)\)
- Б) \((x – 6)^2\)
- В) \((x – 6)(x + 6)\)
- Г) \((x + 6)^2\)
- Д) \((x – 18)^2\)
В. Тут працює різниця квадратів \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Оскільки \(36 = 6^2\), маємо \(x^2 - 36 = (x-6)(x+6)\). Варіанти А і Д можуть здаватися правильними тим, що \(36\) сприймають як половину або як 18 і 18: але у формулі стоїть саме квадрат числа, а \(18^2\) це не \(36\). Варіанти Б і Г - це квадрат різниці й квадрат суми, у них після розкриття дужок зʼявився б подвійний добуток \(12x\), якого в умові немає.
Розкладіть на множники \(x^2 – 6x + 5\).
- А) \((x+1)(x-5)\)
- Б) \((x-2)(x-3)\)
- В) \((x+1)(x+5)\)
- Г) \((x-1)(x-5)\)
- Д) \((x+2)(x+3)\)
Г. Це квадратний тричлен, і його розкладають за формулою \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\), де \(x_1\) і \(x_2\) - корені тричлена. Розвʼязуємо \(x^2 - 6x + 5 = 0\): \(D = 36 - 20 = 16\), \(x_1 = \dfrac{6 - 4}{2} = 1\), \(x_2 = \dfrac{6 + 4}{2} = 5\). Отже, \(x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5)\). Перевірити розклад можна множенням: \((x-1)(x-5) = x^2 - 5x - x + 5 = x^2 - 6x + 5\), збіглося. Варіант А дає \(x^2 - 4x - 5\): вільний член вийшов з мінусом, бо знаки в дужках різні. Варіант Б дає \(x^2 - 5x + 6\), і хоч вільний член теж додатний, середній доданок не той.
Спростіть вираз \(x(x – 2y) – (x – y)^2\).
- А) \(-2xy\)
- Б) \(-4xy\)
- В) \(-y^2\)
- Г) \(-4xy – y^2\)
- Д) \(y^2\)
В. Перший добуток множимо почленно: \(x(x - 2y) = x^2 - 2xy\). Другий вираз - квадрат різниці: \((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\). Перед ним мінус, тому знаки змінюються в кожного члена: \(x^2 - 2xy - x^2 + 2xy - y^2 = -y^2\). Варіант Г отримують ті, хто змінив знак лише в першого й останнього члена дужки: тоді \(-2xy\) і \(-2xy\) не знищуються, а дають \(-4xy\).
⚠️ Типові помилки учнів
Неправильно. Віднімання многочленів виконують за правилами розкриття дужок, тобто після мінуса перед дужкою знаки змінюються в кожного члена цієї дужки, а не лише в першого.
Неправильно. Формула квадрата суми має вигляд \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), і подвійний добуток \(2ab\) втрачати не можна. Так само \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).
Неправильно. Спочатку беруть корені з крайніх доданків і перевіряють подвійний добуток. Не збігся – за цією формулою розклад скласти не можна, потрібен інший спосіб.
Неправильно. Підносячи до квадрата вирази вигляду \(-a-b\) і \(-a+b\), доцільно попередньо замінити їх на протилежні їм вирази, бо \(x^2 = (-x)^2\), а вже потім працювати формулою.
Неправильно. Розклад тотожно рівний початковому многочлену, тому достатньо перемножити отримані множники: якщо повернувся початковий вираз, розклад правильний.
Ідемо далі: дії з многочленами виглядають технічними, але саме тут будується вся алгебра НМТ. Формули скороченого множення потрібні і в раціональних дробах, і в рівняннях, і в нерівностях. Тому раджу не просто вивчити правило, а один раз розписати кожну формулу почленно, аж до останнього знака. І ось ви один раз це зрозумієте, і далі багато завдань тесту розвʼязуватимуться усно.
Розподільна властивість множення – основа всіх дій з многочленами: \(a(b+c)=ab+ac\). Саме з неї випливає правило множення одночлена на многочлен.
Коментар викладачки. Дивіться, перше слово в умові вирішує все. Якщо там «сума» або «різниця», ви одразу зводите подібні доданки, майже без записів. Якщо «добуток», доведеться множити фонтанчиком, кожен член на кожен. А якщо «частка», то без розкладання на множники ви не обійдетесь. Одне слово, а обсяг роботи різний.
Многочлен стандартного вигляду – це многочлен, що є сумою одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних доданків. Одночлен стандартного вигляду – це добуток, у якому один числовий множник записано на першому місці, а інші множники є степенями різних змінних.
Подібні доданки многочлена називають подібними членами многочлена, а зведення подібних доданків у многочлені – зведенням подібних членів многочлена. Тобто «подати вираз у вигляді многочлена» означає розкрити всі дужки і звести подібні.
Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, які він містить. Якщо одночлен не містить змінних, тобто є числом, то його степінь дорівнює нулю.
Щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кожний член одного многочлена помножити на кожний член іншого й одержані добутки додати. Результатом множення многочлена на многочлен завжди є многочлен.
Порядок дій такий:
- Подивіться, чи не підходить формула скороченого множення. Якщо у виразі стоїть \((a+b)^2\), \((a-b)^2\) або \((a-b)(a+b)\), працюйте формулою: це швидше, ніж почленне множення.
- Формула не підходить – множте почленно, кожен член на кожен, і уважно стежте за знаком кожного множника.
- Перевірте кількість членів: якщо перший співмножник має \(m\) членів, а другий \(n\), то до зведення подібних у добутку буде \(mn\) членів.
- Зведіть подібні доданки, і кількість членів може зменшитися.
- Запишіть відповідь у стандартному вигляді.
Якщо треба перемножити більше ніж два многочлени, спочатку перемножують перший і другий, а вже отриманий результат множать на третій.
Коментар викладачки. Окрема пастка – не саме множення, а друга дужка, перед якою стоїть мінус. Тоді всі знаки всередині змінюються на протилежний, кожен, а не лише перший. Спочатку розпишіть це повністю на чернетці, а вже коли рука звикне, робіть усно.
Розкласти многочлен на множники означає подати його у вигляді добутку одночлена на многочлен або добутку кількох многочленів так, щоб цей добуток був тотожно рівним даному многочлену.
Тотожно рівні вирази – це два вирази, відповідні значення яких рівні між собою для будь-яких значень змінних. Саме тому розклад на множники можна перевірити зворотним множенням: якщо ви знову розкриєте дужки і отримаєте початковий вираз, розклад правильний.
Для квадратного тричлена вигляду \(a^2 \pm 2ab + b^2\) працює така перевірка: візьміть корені з двох крайніх доданків, а потім перевірте, чи справді середній доданок дорівнює подвійному добутку цих коренів. Якщо подвійний добуток не збігається, за формулою квадрата суми або різниці розклад скласти не можна, і потрібен інший спосіб.
Одна тема це добре, а на НМТ їх десятки, і перетворення виразів тягнуться далі у формули скороченого множення і розкладання на множники. Далі ті самі навички працюють у спрощенні раціональних дробів і в квадратних рівняннях.
Многочлени, формули скороченого множення й решту алгебри розбирають на курсі математики KEVIN.
Хочете план підготовки з математики під ваш рівень? Залиште імʼя і телефон, і ми передзвонимо.
- \(a(b+c)=ab+ac\) – одночлен множимо на кожен член многочлена і знайдені добутки додаємо.
- \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\) – кожен член одного многочлена множимо на кожен член іншого й одержані добутки додаємо.
- \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) – квадрат суми.
- \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) – квадрат різниці.
- \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\) – різниця квадратів.
- \((a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3\) – сума кубів.
- \((a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 – b^3\) – різниця кубів.
- Ті самі формули у зворотний бік дають розклад на множники: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\), \(a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2\), \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\), \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\), \(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\).
❓ Часті запитання
Чим одночлен відрізняється від многочлена?
Одночлени – це цілі вирази: числа, змінні, їхні степені й добутки. Многочленом називають суму одночленів. Тобто одночлен це один доданок, а многочлен це сума таких доданків.
Що означає «подати вираз у вигляді многочлена»?
Це означає розкрити всі дужки і звести подібні доданки, щоб отримати многочлен стандартного вигляду – суму одночленів стандартного вигляду без подібних доданків.
Чи потрібно вчити формули скороченого множення напамʼять?
У довідкових матеріалах, які видають на тесті, є лише три формули скороченого множення: квадрат суми, квадрат різниці і різниця квадратів. Формул із кубами там немає, тому вивчити їх варто: три основні ви в довіднику знайдете, а от помітити в завданні різницю квадратів чи квадрат суми довідник за вас не зможе. Це вміння приходить лише з практики.
Як довести тотожність?
Довести тотожність можна трьома способами: тотожними перетвореннями звести ліву частину до вигляду правої, або праву до вигляду лівої, або перетворити обидві частини до однакових виразів. Тотожність – це рівність, правильна для будь-яких значень змінних.
Чи є на НМТ ділення многочленів?
Кажуть, що многочлен \(P(x)\) ділиться на ненульовий многочлен \(B(x)\), якщо існує такий многочлен \(Q(x)\), що для будь-якого дійсного \(x\) виконується \(P(x) = B(x) \cdot Q(x)\). Частку зручно шукати діленням «куточком», подібно до ділення чисел у стовпчик. У програмі НМТ прямо названі додавання, віднімання й множення многочленів та розклад на множники, тому основну увагу віддавайте саме їм.
Скільки членів має бути в добутку двох многочленів?
Якщо перший співмножник містить \(m\) членів, а другий \(n\), то в добутку буде \(mn\) членів, а після зведення подібних доданків ця кількість може зменшитися. Це швидка перевірка, чи не загубили ви жодного множення.