Лінійне рівняння з однією змінною – це рівняння виду \(ax=b\), де \(x\) – змінна, а \(a\) і \(b\) – деякі числа. Якщо \(a \ne 0\), таке рівняння має єдиний корінь \(x=\dfrac{b}{a}\).
На НМТ тема майже ніколи не стоїть окремо: лінійне рівняння ховається всередині задач про похідну, лінійну функцію й текстових задач. Відпрацювати його з викладачкою можна на заняттях з математики перед НМТ.
🔑 Ключові формули
Лінійне рівняння з однією змінною: \(ax=b\).
Якщо \(a \ne 0\), корінь єдиний: \(x=\dfrac{b}{a}\).
\(a \ne 0\) – один корінь.
\(a=0,\ b=0\) – безліч коренів: рівняння \(0 \cdot x = 0\) справджується за будь-якого \(x\).
\(a=0,\ b \ne 0\) – коренів немає: ліва частина завжди нуль, права – ні.
\(y=kx+l\), де \(k\) і \(l\) – коефіцієнти, а графіком є пряма.
Коефіцієнт \(k\) – це тангенс кута нахилу до додатного напряму осі \(x\), і він же дорівнює похідній лінійної функції.
Наприклад \(7x-2y=-7\). Розвʼязком є впорядкована пара чисел \((x;y)\), і таких пар зазвичай багато.
Як розв'язувати — покроковий метод
-
1 Крок 1. Позбудьтеся знаменників
Помножте обидві частини рівняння на найменший спільний знаменник дробів. Якщо у рівнянні є дроби зі знаменниками \(2\) і \(3\), множите на \(6\).
-
2 Крок 2. Розкрийте дужки
Множник перед дужкою множимо на КОЖЕН доданок усередині рівно один раз. Саме тут учні примудряються помножити один і той самий доданок двічі.
-
3 Крок 3. Перенесіть доданки
Зі змінною – у ліву частину, без змінної – у праву, змінивши знаки цих доданків на протилежні. Переносимо ДОДАНКИ, а не множники.
-
4 Крок 4. Зведіть подібні доданки
Отримаєте запис виду \(ax=b\). Це та точка, після якої помилитися вже майже нема де.
-
5 Крок 5. Поділіть обидві частини на \(a\)
Отримаєте \(x=\dfrac{b}{a}\). Якщо ж зліва вийшло \(0 \cdot x\), дивіться на праву частину і робіть висновок про кількість коренів.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Визначте лінійну функцію, графік якої утворює з додатним напрямом осі \(x\) кут \(45^\circ\).
А) \(y=1-x\) · Б) \(y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x-1\) · В) \(y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+1\) · Г) \(y=1-\sqrt{3}x\) · Д) \(y=x-1\)
Д) \(y=x-1\).
Кут із додатним напрямом осі \(x\) визначає коефіцієнт \(k\) у записі \(y=kx+l\) (це тангенс кута нахилу): для кута \(45^\circ\) маємо \(k=1\), і цю умову задовольняє лише варіант Д. Варіанти А і Г привертають увагу тим, що там теж «є одиниця», але вона стоїть вільним членом \(l\), а коефіцієнт біля \(x\) відʼємний, тобто кут буде тупим.
Похідна лінійної функції \(y=f(x)\) дорівнює \(-5\). Нуль функції \(y=f(x)\) дорівнює \(1,5\). Визначте \(f(-2)\).
17,5.
Похідна лінійної функції дорівнює її кутовому коефіцієнту, тому \(k=-5\) і функція має вигляд \(y=-5x+l\). Нуль функції \(x=1,5\) означає, що \(f(1,5)=0\), звідси складаємо лінійне рівняння \(-5 \cdot 1,5 + l = 0\), тобто \(l=7,5\). Далі підставляємо: \(f(-2)=-5 \cdot (-2)+7,5=17,5\). Пастка тут у тому, що «нуль функції» плутають зі значенням функції в нулі: це різні речі, у першому випадку нулю дорівнює \(y\), а не \(x\).
Похідна лінійної функції \(y=f(x)\) дорівнює \(8\), графік функції \(y=f(x)\) перетинає вісь \(y\) у точці з ординатою \(-4\). Обчисліть значення \(f(-1,2)\).
-13,6.
Знову \(k=8\), а точка перетину з віссю \(y\) дає вільний член: \(l=-4\), тобто \(y=8x-4\). Підставляємо: \(f(-1,2)=8 \cdot (-1,2)-4=-13,6\). Хибний хід тут один: забути про мінус у множенні і записати \(9,6-4\).
⚠️ Типові помилки учнів
Неправильно. Треба дивитися на праву частину: за \(b=0\) рівняння \(0 \cdot x = 0\) має безліч коренів, і лише за \(b \ne 0\) коренів немає.
Неправильно. Множити треба доданки, кожен рівно один раз. Інакше перший доданок фактично множиться вдвічі більше, ніж потрібно, і відповідь ламається.
Неправильно. Перенесення доданка з однієї частини в іншу відбувається саме зі зміною знака на протилежний, і лише тоді нове рівняння рівносильне попередньому.
Неправильно. Зміна знака на протилежний – це правило для нерівностей: там за множення чи ділення на відʼємне число знак нерівності змінюють. У рівнянні знак рівності лишається знаком рівності.
Неправильно. Розвʼязком є впорядкована пара чисел \((x;y)\), і таких пар зазвичай багато.
Дивіться, чому воно взагалі називається лінійним: змінна стоїть у першому степені, і більше ніде. Побачили \(x\) без квадрата, без кореня, без знаменника – це вже ваш випадок, і далі працює один і той самий ланцюжок дій.
Найважливіше в кроці з перенесенням: переносимо ДОДАНКИ, а не множники. Якщо перед дужкою стоїть число, спочатку акуратно розкрийте дужку, помноживши це число на кожен доданок усередині рівно один раз.
Коли бачите завдання «за якого значення параметра рівняння не має розвʼязків», не лякайтеся. Ви просто уявляєте, що буде, якщо вираз біля змінної дорівнює нулю, прирівнюєте цей вираз до нуля і розвʼязуєте вже його.
Лінійне рівняння здається найпростішою темою, і саме тому на ньому втрачають бали: воно ховається всередині завдань про похідну, лінійну функцію та текстових задач. Мій порядок дій на уроці завжди однаковий: спочатку доводимо запис до вигляду \(ax=b\), і лише потім рахуємо.
Означення. Лінійне рівняння з однією змінною – це рівняння виду \(ax=b\), де \(x\) – змінна, а \(a\) і \(b\) – деякі числа. Якщо \(a \ne 0\), таке рівняння має єдиний корінь \(x=\dfrac{b}{a}\).
Місце теми в програмі НМТ. Тема входить до розділу «Рівняння, нерівності та їх системи»: від абітурієнта вимагають розвʼязувати рівняння першого степеня, а також рівняння, що зводяться до них. Практично це означає, що лінійне рівняння ви розвʼязуєте не лише в «чистому» вигляді, а й усередині текстових задач, систем, задач на похідну і лінійну функцію.
Чому коренів буває нуль або безліч. Усе вирішує коефіцієнт \(a\). Якщо \(a=b=0\), рівняння набуває вигляду \(0 \cdot x = 0\): його коренем є будь-яке число, бо для будь-якого \(x\) обидві частини дорівнюють нулю. Якщо \(a=0\), а \(b \ne 0\), маємо \(0 \cdot x = b\): значення лівої частини завжди нуль, а правої – число, відмінне від нуля, тому жодне \(x\) не підходить.
Рівносильність. Рівняння, які мають одні й ті самі розвʼязки, називають рівносильними; рівняння, які не мають розвʼязків, також є рівносильними між собою. Саме тому перетворення в алгоритмі безпечні: вони дають нове рівняння з тими самими коренями.
Рівняння з параметром. Порядок дій той самий: зводимо рівняння до вигляду \(ax=b\), де роль \(a\) грає вираз із параметром. У рівнянні \(5(x+p)=3x-7p\) змінною є \(x\), а \(p\) – параметр, і саме за \(x\) ми групуємо доданки. Далі перевіряємо, коли коефіцієнт біля змінної перетворюється на нуль: тоді рівняння або не має коренів, або має їх безліч, залежно від правої частини. Той самий прийом працює й для нерівностей виду \(0x \gt b\), \(0x \ge b\), \(0x \lt b\), \(0x \le b\).
Звʼязок із лінійною функцією. Лінійна функція задається формулою \(y=kx+l\), її графіком є пряма, тому для побудови досить знайти дві точки. Областю визначення є всі числа. Через цей звʼязок завдання НМТ часто виглядають не як «розвʼяжіть рівняння», а як «знайдіть значення функції» чи «визначте функцію за кутом нахилу», але розвʼязується це все одно через лінійне рівняння.
- Переконайтеся, що це лінійне рівняння: змінна в першому степені, не під коренем і не у знаменнику.
- Позбудьтеся знаменників, розкрийте дужки, перенесіть доданки зі зміною знака, зведіть подібні.
- Доведіть запис до вигляду \(ax=b\) і лише потім рахуйте.
- Побачили \(0 \cdot x\) – дивіться на праву частину: \(b=0\) дає безліч коренів, \(b \ne 0\) – жодного.
- У завданні про похідну памʼятайте: похідна лінійної функції – це її \(k\).
- «Нуль функції» – це \(x\), за якого \(y=0\), а не значення функції в нулі.
❓ Часті запитання
Яка головна формула лінійного рівняння
\(ax=b\), а його корінь за умови \(a \ne 0\) обчислюють як \(x=\dfrac{b}{a}\). Усі інші дії в задачі потрібні лише для того, щоб довести рівняння до цього вигляду.
Скільки коренів може мати лінійне рівняння
Один, безліч або жодного. Один корінь маємо за \(a \ne 0\), безліч – за \(a=0\) і \(b=0\), жодного – за \(a=0\) і \(b \ne 0\).
Які рівняння називають рівносильними
Ті, що мають одні й ті самі розвʼязки. Рівняння, які не мають розвʼязків, теж вважають рівносильними між собою.
Що робити з дробами в рівнянні
Помножити обидві частини рівняння на найменший спільний знаменник дробів і далі працювати з рівнянням уже без знаменників.
Чим лінійне рівняння відрізняється від лінійної нерівності
Набором дозволених перетворень. У нерівності виду \(ax \gt b\), \(ax \ge b\), \(ax \lt b\), \(ax \le b\) за ділення обох частин на відʼємне число знак нерівності змінюють на протилежний, а за ділення на додатне лишають без змін.
Як зрозуміти, що переді мною саме лінійне рівняння
Змінна стоїть у першому степені і не міститься ні під коренем, ні у знаменнику. Такі рівняння виду \(ax=b\) називають рівняннями першого степеня з однією змінною.