Ймовірність випадкової події \(A\) дорівнює відношенню кількості випадків, що сприяють появі події \(A\), до кількості всіх можливих випадків: \(P(A) = \dfrac{m}{n}\). Тут \(n\) означає кількість усіх можливих випадків, а \(m\) означає кількість сприятливих.
Ця тема входить до розділу «Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики». Програма НМТ прямо вимагає знати класичне означення ймовірності події та вміти обчислювати ймовірності випадкових подій, користуючись означенням і комбінаторними схемами. У завданнях НМТ 2025 року ймовірність трапляється вже у другому номері тесту, тобто в блоці, де кожен учасник має брати бал.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Учням було запропоновано \(20\) запитань для підготовки до зрізу знань, серед яких \(4\) про властивості кислот. Яка ймовірність того, що навмання витягнутий білет буде містити запитання про властивості кислот?
А) \(0{,}1\) Б) \(0{,}2\) В) \(0{,}3\) Г) \(0{,}4\) Д) \(0{,}5\)
Б. Усіх можливих випадків \(n = 20\), сприятливих \(m = 4\), тому \(P(A) = \dfrac{4}{20} = 0{,}2\). Варіант А приваблює тих, хто ділить \(\dfrac{2}{20}\) або механічно бере «одну десяту», бо в умові є число \(10\) у складі числа \(20\).
Компʼютерна програма видаляє у шестицифровому числі одну цифру навмання. Яка ймовірність того, що в числі \(125079\) буде видалено цифру, більшу за \(5\)?
А) \(\dfrac{1}{3}\) Б) \(\dfrac{2}{3}\) В) \(\dfrac{1}{6}\) Г) \(\dfrac{1}{4}\) Д) \(\dfrac{1}{2}\)
А. Цифр у числі шість, тому \(n = 6\). Більші за \(5\) тут цифри \(7\) і \(9\), отже \(m = 2\) і \(P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\). Варіант В беруть ті, хто порахував лише одну цифру, а варіант Д ті, хто вирішив, що «більших за \(5\)» рівно половина.
На дитячій каруселі розташовано \(19\) транспортних засобів: човники, літачки й машинки (див. рисунок). Дмитрик навмання сідає в один із транспортних засобів, окрім літачків. Яка ймовірність того, що він сяде в машинку?
А) \(\dfrac{1}{5}\) Б) \(\dfrac{5}{19}\) В) \(\dfrac{1}{3}\) Г) \(\dfrac{2}{3}\) Д) \(\dfrac{1}{15}\)
В. Головне тут слово «окрім літачків»: воно змінює не чисельник, а знаменник. У множину всіх можливих випадків літачки не входять, тому \(n\) дорівнює вже не \(19\). На каруселі \(5\) машинок, \(10\) човників і \(4\) літачки. Літачки з підрахунку випадають, тому \(n = 19 – 4 = 15\), \(m = 5\), і \(P(A) = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\). Варіант Б підсовують саме тим, хто механічно поставив у знаменник \(19\) з умови.
На рисунку зображено автомобільний номер, що складається з \(4\) букви і \(4\) цифр. Одна з цифр номера замальована брудом і не розпізнається. Компʼютерна програма для зчитування номерів автоматично відбирає відсутню цифру з десяти можливих значень. Яка ймовірність того, що програма правильно визначить замасковану цифру?
А) \(\dfrac{1}{10}\) Б) \(\dfrac{1}{4}\) В) \(\dfrac{1}{2}\) Г) \(\dfrac{1}{8}\) Д) \(\dfrac{1}{9}\)
А. Усіх можливих значень цифри десять, правильне серед них одне, тому \(P(A) = \dfrac{1}{10}\). Варіант Б чіпляє тих, хто взяв із умови число \(4\), хоча кількість букв і цифр у номері на розвʼязок не впливає взагалі.
На рисунку зображено план кавʼярні, у якій \(25\) місць. У той час, коли Соломія зайшла в кавʼярню, у ній були вільні всі місця, окрім місць біля барної стійки. Соломія вибирає місце навмання. Яка ймовірність того, що вибране нею місце буде за круглим столиком?
А) \(\dfrac{12}{25}\) Б) \(\dfrac{3}{5}\) В) \(\dfrac{1}{12}\) Г) \(\dfrac{4}{25}\) Д) \(\dfrac{1}{5}\)
Б. Зайняті місця біля барної стійки з підрахунку випадають, тому в знаменнику стоїть не \(25\), а кількість вільних місць. Біля барної стійки \(5\) місць, тож вільних \(25 – 5 = 20\). За круглими столиками \(12\) місць, тому \(P(A) = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}\). Варіанти А і Г залишають у знаменнику \(25\) з умови, і саме на це розраховані.
⚠️ Типові помилки учнів
Неправильно. Ймовірність вірогідної події дорівнює рівно \(1\), і більшого значення не буває: завжди \(0 \le P(A) \le 1\). Число понад одиницю означає, що сприятливі й можливі випадки переплутані місцями.
Неправильно. У знаменнику стоїть кількість усіх можливих випадків саме цього досліду. Якщо в умові написано «окрім літачків» або «вільні всі місця, окрім місць біля барної стійки», частину варіантів з підрахунку вилучають, і \(n\) стає меншим за число з умови.
Неправильно. Ймовірність \(0\) має неможлива подія, тобто така, яка в цьому досліді статися не може взагалі. Витягнути червону кульку з ящика, де лежать лише біла й чорна, неможливо.
Неправильно. Рівноймовірні означає лише те, що їхні ймовірності однакові в даному випробуванні, а саме число може бути будь-яким.
Неправильно. Достатньо порахувати одну, бо \(P(\bar{A}) = 1 – P(A)\): сума ймовірностей протилежних подій дорівнює \(1\). Це помітно економить час у тесті.
У завданнях з ймовірністю на НМТ найдорожче коштує не формула, а одне слово в умові: «окрім», «вільні», «навмання». Раджу спершу виписати два числа окремо, \(n\) і \(m\), і лише потім складати дріб. Коли числа стоять окремо на чернетці, підміна знаменника одразу впадає в око.
Розберемо на прикладі з підручника. У ящику лежать дві кульки: біла і чорна, з нього навмання виймають одну. Оскільки білих і чорних кульок порівну, шанси бути витягнутою в чорної кульки такі самі, що й у білої. Кількість білих кульок дорівнює \(1\), кількість усіх кульок дорівнює \(1 + 1 = 2\), тому ймовірність вийняти білу кульку дорівнює \(0{,}5\).
У тому самому ящику розглянемо ще дві події. Подія «вийнято червону кульку» неможлива, бо червоних кульок у ящику немає, тому її ймовірність дорівнює \(0\). Подія «вийнято кульку» вірогідна, бо якусь кульку ми витягнемо обовʼязково, тому її ймовірність дорівнює \(1\). Події «вийнято білу кульку» і «вийнято чорну кульку» називають рівноймовірними, бо їхні ймовірності однакові в цьому випробуванні.
Рівноймовірні події – це події, ймовірність яких однакова в даному випробуванні.
Порядок дій завжди один і той самий, незалежно від того, про що задача: про кульки, картки чи місця в кавʼярні.
- Знайдіть \(n\). Це кількість усіх можливих випадків у досліді. У задачі про \(30\) учнів класу \(n = 30\).
- Знайдіть \(m\). Це кількість випадків, які сприяють потрібній події. Якщо з \(30\) учнів \(12\) мають з алгебри оцінки високого рівня, то \(m = 12\).
- Підставте у формулу. \(P(A) = \dfrac{m}{n} = \dfrac{12}{30} = 0{,}4\). Відповідь тут дорівнює \(0{,}4\).
- Скоротіть дріб і подивіться на варіанти відповіді. У тесті відповідь може стояти або звичайним дробом, або десятковим числом, або у відсотках, тому переводьте свій результат у той вигляд, який бачите серед варіантів.
- Перевірте себе межами. Якщо вийшло число більше за \(1\) або відʼємне, розвʼязок точно хибний: завжди \(0 \le P(A) \le 1\).
Коли подій кілька і в умові стоїть слово «або», варіанти додають. Наприклад, у досліді з гральним кубиком число, більше за \(4\), це або \(5\), або \(6\). Сприятливих випадків два, усіх можливих шість, тому ймовірність дорівнює \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Коли гральних кубиків два, кількість усіх можливих випадків дорівнює \(36\). Це видно з таблиці сум очок: перший кубик дає \(6\) варіантів, другий теж \(6\), і кожна пара окрема. Далі рахуємо лише сприятливі пари.
Наприклад, потрібна ймовірність того, що сума очок дорівнює \(6\). Таких випадків у таблиці рівно \(5\), тому \(m = 5\), \(n = 36\) і \(P(A) = \dfrac{5}{36}\).
Коментар викладачки. Тут учні найчастіше пишуть у знаменнику \(12\), бо міркують так: шість граней плюс шість граней. Дивіться уважно: нас цікавлять не грані окремо, а пари «що випало на першому і що на другому», а їх \(36\).
Цю тему розбирають на онлайн-курсі підготовки до НМТ з математики.
- Класичне означення ймовірності: якщо всі \(n\) можливих випадків досліду рівноможливі, то ймовірність події \(A\) дорівнює відношенню кількості випадків, що сприяють появі \(A\), до кількості всіх можливих випадків: \(P(A) = \dfrac{m}{n}\), де \(m\) означає кількість випадків, що сприяють появі події \(A\).
- Межі ймовірності: \(0 \le P(A) \le 1\). Ймовірність неможливої події дорівнює \(0\), ймовірність вірогідної події дорівнює \(1\), ймовірність випадкової події може бути будь-яким числом від \(0\) до \(1\).
- Протилежна подія: \(P(\bar{A}) = 1 – P(A)\), тобто сума ймовірностей протилежних подій дорівнює \(1\).
- Ймовірність у відсотках: якщо \(P(A) = 0{,}5\), то це те саме, що \(P(A) = 50\%\).
- Відносна частота події: \(\dfrac{n(A)}{n}\), де \(n(A)\) означає частоту події \(A\), тобто кількість дослідів, у яких подія відбулася.
- Ймовірність добутку двох незалежних подій: \(P(AB) = P(A) \cdot P(B)\).
❓ Часті запитання
Чим класична ймовірність відрізняється від статистичної
Класичну ймовірність рахують за формулою \(P(A) = \dfrac{m}{n}\), не проводячи жодного досліду. Статистичну ймовірність отримують з дослідів: якщо під час великої кількості випадкових дослідів відносна частота події \(A\) близька до певного числа, це число і називають статистичною ймовірністю. Що більше проведено дослідів, то ближчою є відносна частота до ймовірності події.
Яка ймовірність вірогідної та неможливої події
Ймовірність вірогідної події дорівнює \(1\), ймовірність неможливої дорівнює \(0\), а ймовірність випадкової події може бути будь-яким числом від \(0\) до \(1\).
Як перевести ймовірність у відсотки
Ймовірність \(0{,}5\) це те саме, що \(50\%\): десяткове число множать на сто. У завданнях НМТ відповідь трапляється і десятковим числом, і звичайним дробом, тому свій результат варто одразу звірити з формою запису варіантів.
Що робити, якщо в умові невідома кількість предметів
Позначте невідому кількість буквою \(x\), запишіть формулу ймовірності з цією буквою і розвʼяжіть рівняння. Такі задачі теж входять до вимог програми: обчислювати ймовірності випадкових подій, користуючись означенням.
Що таке рівноймовірні події
Рівноймовірні події – це події, ймовірність яких однакова в даному випробуванні. Наприклад, витягнути білу або чорну кульку з ящика, де лежать одна біла і одна чорна кулька: обидві ймовірності дорівнюють \(0{,}5\).
Як рахувати ймовірність двох незалежних подій одночасно
Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їхніх ймовірностей: \(P(AB) = P(A) \cdot P(B)\). Подію \(A\) називають незалежною від події \(B\), якщо ймовірність події \(A\) не залежить від того, відбулася чи ні подія \(B\).