Пропорції: пряма й обернена пропорційність

Означення пропорції. Пропорція — це рівність двох відношень: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), або \(a : b = c : d\), де \(a\) і \(d\) — крайні члени, \(b\) і \(c\) — середні члени. Основна властивість пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх, тобто \(a \cdot d = b \cdot c\).

Відношення. Відношення \(a : b = \dfrac{a}{b}\) — частка двох чисел; показує, у скільки разів перше число більше за друге або яку частину становить від нього. Оберненим відношенням до \(\dfrac{a}{b}\) є \(\dfrac{b}{a}\). Відношення двох чисел не зміниться, якщо кожне з них помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля: \(20 : 16 = 5 : 4\), бо обидва числа поділили на \(4\). Відношення величин рахують лише в однакових одиницях: щоб знайти відношення \(1\) год до \(25\) хв, годину переводять у хвилини, і тоді \(60 : 25 = 2,4\).

Як знайти невідомий член пропорції. Невідомий член пропорції знаходять через основну властивість: перемножують хрест-навхрест і розв’язують лінійне рівняння. Наприклад, із пропорції \(\dfrac{x}{6} = \dfrac{10}{8}\) отримуємо \(8x = 60\), звідси \(x = 7,5\).

Пряма пропорційність. Дві величини називають прямо пропорційними, якщо відношення їхніх відповідних значень стале: \(\dfrac{y}{x} = k\), тобто \(y = kx\), де \(k\) — коефіцієнт пропорційності. Простий приклад: \(1\) кг товару коштує \(8\) грн, тоді \(2\) кг коштують \(16\) грн, \(4\) кг — \(32\) грн, і щоразу \(\dfrac{8}{1} = \dfrac{16}{2} = \dfrac{32}{4} = 8\).

Властивість прямої пропорційності. Зі збільшенням (зменшенням) значень однієї з прямо пропорційних величин у кілька разів значення другої величини збільшується (зменшується) у стільки само разів. Прямо пропорційними є вартість товару і його кількість, шлях за сталої швидкості й час, периметр квадрата і довжина його сторони. Схема прямої залежності: \(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}\).

Обернена пропорційність. Дві величини називають обернено пропорційними, якщо добуток їхніх відповідних значень сталий: \(x \cdot y = k\), тобто \(y = \dfrac{k}{x}\), де \(k \ne 0\). Класичний приклад: площа прямокутника \(36\), і тоді \(36 \cdot 1 = 18 \cdot 2 = 12 \cdot 3 = 9 \cdot 4 = 6 \cdot 6 = 36\). Довжина росте, ширина падає, добуток не змінюється.

Властивість оберненої пропорційності. Зі збільшенням (зменшенням) значення однієї з обернено пропорційних величин у кілька разів значення другої величини зменшується (збільшується) у таку саму кількість разів. Обернено пропорційні: довжина і ширина прямокутника за сталої площі, швидкість тіла і час за сталого шляху, кількість робітників і час виконання роботи за сталого обсягу роботи.

Головна відмінність у записі. Якщо величини обернено пропорційні, то відношення значень однієї величини дорівнює оберненому відношенню відповідних значень іншої. Тобто \(\dfrac{18}{9} = \dfrac{4}{2}\), а не \(\dfrac{18}{9} = \dfrac{2}{4}\). Схема оберненої залежності: \(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}\).

Графік оберненої пропорційності. Графік функції \(y = \dfrac{k}{x}\) називають гіперболою, і він складається з двох гілок. Для \(k \gt 0\) одна гілка лежить у першій координатній чверті, друга — у третій; для \(k \lt 0\) гілки лежать у другій і четвертій чвертях. Областю визначення є всі числа, окрім нуля, тому гіпербола не перетинає осі координат, а лише необмежено до них наближається.

Масштаб. Масштаб — це відношення відстані на карті до відповідної відстані на місцевості. Запис \(1 : 100000\) означає, що \(1\) см на карті відповідає \(100000\) см, тобто \(1000\) м або \(1\) км на місцевості.

Не всі величини пропорційні. Маса дитини росте з віком, але подвоївся вік — маса вдвічі не подвоїлась. Перше питання, яке варто собі поставити: а тут узагалі є стале відношення чи сталий добуток? Немає — пропорцію писати не можна.