Відсоток – це одна сота частина числа, тобто \(1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\). Базових задач на відсотки рівно три: знайти відсоток від числа, знайти число за його відсотками і знайти відсоткове відношення двох чисел.
Програма НМТ прямо вимагає вміти «знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, відсоток від числа, число за значенням його відсотка» і розвʼязувати основні задачі на відсотки. У реальних варіантах це найчастіше текстова задача з відкритою відповіддю: ціни, знижки, акції, частки в таблиці.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Ціна акції компанії зросла на \(600\) грн, що становить \(5\%\) від її початкової ціни. Якою була початкова ціна акції?
- А) \(120\,000\) грн
- Б) \(12\,000\) грн
- В) \(30\,000\) грн
- Г) \(1200\) грн
- Д) \(3000\) грн
Б. Це чиста задача на пошук числа за його відсотками: відомо частину \(600\) і відомо, що це \(5\%\). Записуємо \(5\% = 0{,}05\) і ділимо: \(600 : 0{,}05 = 12\,000\) (грн). Числа 2 немає в умові. Речення не має сенсу \(600 \cdot 2 = 1200\); варіант А отримують, коли ділять на \(0{,}005\), тобто плутають \(5\%\) із \(0{,}5\%\).
Михайло планував купити мобільний телефон, чохол до нього та карту памʼяті. Вартість телефона становить \(8000\) грн, чохла – \(600\) грн, а карти памʼяті – \(800\) грн. У магазині проходить акція: за умови одночасної купівлі телефона та чохла покупець отримує знижку розміром \(15\%\) від вартості телефона, знижку на чохол у розмірі пʼятої частини від його повної вартості, а карту памʼяті – у подарунок. Яку суму грошей (у грн) заплатить Михайло за вибрані ним телефон, чохол та карту памʼяті, якщо скористається цією акцією?
7280. Рахуємо по частинах. Телефон зі знижкою \(15\%\) коштує \(85\%\) від \(8000\), тобто \(8000 \cdot 0{,}85 = 6800\) (грн). Пʼята частина вартості чохла - це \(600 : 5 = 120\) (грн) знижки, тому чохол коштує \(600 - 120 = 480\) (грн). Карта памʼяті йде в подарунок, тобто \(0\) грн. Разом: \(6800 + 480 = 7280\) (грн). Головна пастка - помножити \(8000\) на \(0{,}15\) і записати \(1200\) як відповідь за телефон: так знайдено знижку, а не ціну.
Автомобіль двічі заправляли пальним і щоразу по \(40\) л. Порівняно з першим заправленням ціна пального, використаного для другого заправлення, була більшою на \(2{,}5\%\). Усього за ці два заправлення автомобіля пальним було витрачено \(4860\) грн. Скільки гривень коштував \(1\) л пального, використаного під час першого заправлення?
60. Нехай \(x\) - ціна одного літра під час першого заправлення. Тоді друга ціна більша на \(2{,}5\%\), тобто дорівнює \(1{,}025x\). Загальна вартість: \(40x + 40 \cdot 1{,}025x = 4860\), звідки \(40x + 41x = 4860\), тобто \(81x = 4860\) і \(x = 60\). Пастка тут у множнику: якщо взяти \(0{,}025x\) замість \(1{,}025x\), рівняння розсиплеться, бо \(0{,}025x\) - це лише надбавка, а не нова ціна.
Перед подорожжю турист проаналізував інфографіку й дізнався вартість (у грн) поїздки від аеропорту до центру міста (або у зворотному напрямку) у деяких світових столицях. На час туристичного сезону вартість проїзду в таксі в Осло збільшується на \(20\%\), а в Рейкʼявіку – на \(30\%\) від фіксованої вартості проїзду. Визначте сумарну кількість коштів (у грн), яку витратить турист на таксі від аеропорту до центру міста й назад у цих містах, якщо відвідає Осло та Рейкʼявік у туристичний сезон.
13900. Порядок дій такий: за інфографікою беремо фіксовану вартість поїздки в Осло і в Рейкʼявіку, збільшуємо першу в \(1{,}2\) раза, другу в \(1{,}3\) раза, а потім кожну подвоюємо, бо турист їде туди й назад. Сума двох результатів дає \(13\,900\) грн. Дві найпоширеніші втрати балів тут: забути про зворотний шлях, тобто не помножити на \(2\), і взяти множники \(0{,}2\) та \(0{,}3\) замість \(1{,}2\) та \(1{,}3\).
⚠️ Типові помилки учнів
Неправильно. Множення на \(0{,}15\) дає лише саму надбавку. Нова величина – це \(115\%\) від старої, тому множник дорівнює \(1{,}15\).
Неправильно. Тут дія обернена: відому частину ділять на десятковий дріб. Якщо \(1400\) грн – це \(35\%\), то ціле дорівнює \(1400 : 0{,}35 = 4000\), а не \(1400 \cdot 0{,}35\).
Неправильно. За \(100\%\) береться те число, від якого рахують. У задачі про розчин це маса всього розчину, а не маса цукру; у задачі про знижку це початкова ціна, а не кінцева.
Неправильно. Другий відсоток рахують уже від нового числа, а не від початкового, тому відсотки не додаються. Перетворення виконують по черзі.
Неправильно. Відсотків може бути скільки завгодно: \(187\% = 1{,}87\), \(300\% = 3\), \(480\% = 4{,}8\). Правило переведення в дріб те саме: ділимо на \(100\).
На НМТ числа в задачах на відсотки підбирають так, щоб усе рахувалося без калькулятора: значення виходять цілими, дроби скорочуються. Тому якщо у вас посеред розвʼязання зʼявився нескінченний дріб, найімовірніше, десь узято не ту базу за \(100\%\) або переплутано множник \(0{,}15\) із \(1{,}15\). Найкраща звичка – перед обчисленнями окремим рядком написати, що саме тут дорівнює \(100\%\).
Щоб знайти відсотки від числа, потрібно число поділити на \(100\) і помножити на потрібну кількість відсотків. Коротший шлях: перевести відсотки в десятковий дріб і помножити на нього.
Приклад із підручника: молоко містить \(4\%\) жиру, треба знайти масу жиру в \(800\) кг молока. Крок перший: \(800 : 100 = 8\) (кг), це \(1\%\). Крок другий: \(8 \cdot 4 = 32\) (кг), це \(4\%\). Той самий результат дає запис \(800 \cdot 0{,}04 = 32\).
Другий приклад: зарплата водія \(3400\) грн, авансом виплатили \(40\%\). Записуємо \(40\% = 0{,}4\) і множимо: \(3400 \cdot 0{,}4 = 1360\) (грн). Ту саму задачу можна розвʼязати пропорцією: \(3400\) відповідає \(100\%\), а шукана сума відповідає \(40\%\). Обидва способи дають \(1360\) грн.
Іноді швидше рахувати «швидкими» відсотками: \(50\%\) – це половина, \(25\%\) – чверть, \(75\%\) – три чверті. У задачі про \(280\) грн, з яких \(50\%\) витратили на квиток, достатньо поділити \(280 : 2 = 140\) (грн).
Щоб знайти число за відомою його частиною і кількістю відсотків, записуємо відсотки десятковим дробом і ділимо на нього. Це обернена дія до попередньої: там множили, тут ділимо.
Приклад: робітникові виплатили авансом \(1400\) грн, що становить \(35\%\) зарплати. Тоді \(35\% = 0{,}35\), а зарплата дорівнює \(1400 : 0{,}35 = 4000\) (грн). Пропорцією це записується так: \(1400\) грн відповідає \(35\%\), а \(x\) грн відповідає \(100\%\).
Такі самі задачі є і в підручнику 6 класу: банк нарахував \(18\%\) річних, вкладник отримав прибуток, треба знайти розмір вкладу; руда містить \(60\%\) заліза, треба знайти масу руди, щоб отримати \(9\) т заліза. Схема одна: відома частина ділиться на дріб, який відповідає її відсоткам.
Щоб знайти, скільки відсотків становить число \(a\) від числа \(b\), обчислюють дріб \(\dfrac{a}{b}\) і множать його на \(100\%\).
Приклад: сторожеві із зарплати \(1800\) грн виплатили авансом \(720\) грн. Знаходимо \(\dfrac{720}{1800} = 0{,}4\), далі \(0{,}4 \cdot 100\% = 40\%\). Отже, він отримав \(40\%\) зарплати.
Ще один тип із підручника: знайти відсоток умісту цукру в розчині, якщо \(10\) кг розчину містить \(0{,}6\) кг цукру. Тут за \(100\%\) береться маса всього розчину, а не маса цукру.
Збільшення на \(p\%\) означає множення на \(\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)\), а зменшення на \(p\%\) означає множення на \(\left(1 – \dfrac{p}{100}\right)\). Саме тому подорожчання на \(15\%\) дає множник \(1{,}15\), а не \(0{,}15\).
Логіка проста: початкова величина – це \(100\%\). Якщо вона зросла на \(15\%\), стало \(115\%\), а \(115\% = 1{,}15\). Якщо ж помножити лише на \(0{,}15\), ви знайдете саму надбавку, а не нову величину.
Коментар викладачки. Дивіться на структуру задачі: перетворення часто йдуть по черзі. Спочатку одну дію довели до кінця, отримали число, і лише потім рахуєте другу дію вже від нового числа. Якщо спробувати додати всі відсотки одразу, відповідь буде неправильна, бо база щоразу інша.
Ця сама ідея працює і в задачах на кілька років поспіль: початковий капітал \(A_0\) під \(p\%\) річних через \(n\) років стає \(A_n = A_0\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^{n}\). Детально ці задачі розібрані в темі Банківські відсотки.
Цю тему розбирають на курсах підготовки до НМТ з математики.
- Означення відсотка: \(1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\), тому \(100\%\) числа \(a\) дорівнюють \(a\), а \(50\%\) числа \(a\) дорівнюють \(\dfrac{a}{2}\).
- Відсотки у дріб: кількість відсотків ділимо на \(100\): \(40\% = 0{,}4\), \(2{,}3\% = 0{,}023\), \(263\% = 2{,}63\).
- Дріб у відсотки: дріб множимо на \(100\): \(0{,}8 = 80\%\), \(0{,}42 = 42\%\), \(0{,}372 = 37{,}2\%\).
- Відсоток від числа: \(p\%\) від числа \(a\) дорівнює \(a \cdot \dfrac{p}{100}\). Наприклад, \(13\%\) від \(40\): \(40 \cdot 0{,}13 = 5{,}2\).
- Число за його відсотками: якщо \(p\%\) числа дорівнюють \(m\), то число дорівнює \(m : \dfrac{p}{100}\). Наприклад, \(19\%\) числа дорівнюють \(57\), тоді число: \(57 : 0{,}19 = 300\).
- Відсоткове відношення: число \(a\) становить від числа \(b\) рівно \(\dfrac{a}{b} \cdot 100\%\). Наприклад, \(9\) від \(24\): \(\dfrac{9}{24} \cdot 100\% = 37{,}5\%\).
- Формула складних відсотків: \(A_n = A_0\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^{n}\), де \(A_0\) означає початковий капітал, \(p\) – річний відсоток, \(n\) – кількість років.
❓ Часті запитання
Скільки задач на відсотки буває на НМТ з математики?
Відсотки на НМТ зазвичай перевіряють однією текстовою задачею з відкритою відповіддю. У варіантах НМТ 2026 року вона стоїть під номером \(20\), а в НМТ 2024 року траплялася і в тестовій частині під номером \(5\).
Як швидко перевести відсотки в десятковий дріб?
Поділіть кількість відсотків на \(100\): \(12\% = 0{,}12\), \(45\% = 0{,}45\), \(120\% = 1{,}2\). Зворотна дія – множення дробу на \(100\): \(0{,}9 = 90\%\).
Чим відрізняються прості і складні відсотки?
За простими відсотками надбавку щоразу рахують від початкової суми, а за складними – від суми, яка вже накопичилася. Формула складних відсотків: \(A_n = A_0\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^{n}\).
Чи можна розвʼязувати задачі на відсотки пропорцією?
Так, пропорція дає правильну відповідь у всіх трьох базових задачах: складаєте відповідність «величина – \(100\%\)» і «шукане – \(p\%\)». Просто на кількох послідовних змінах пропорцію доводиться складати щоразу заново, тому множник на кшталт \(1{,}15\) економить час.
Що означає «швидкі» відсотки?
Це відсотки, які легко замінити дробом усно: \(50\%\) – це половина числа, \(25\%\) – чверть, \(75\%\) – три чверті. Наприклад, \(50\%\) від \(280\) грн знаходять діленням \(280 : 2 = 140\).
Як не заплутатися, коли в задачі кілька змін ціни поспіль?
Виконуйте зміни по черзі й після кожної записуйте нове число. Знизили на \(50\%\) – отримали нову ціну, і лише від неї рахуйте наступне підвищення. Загальний множник за кілька однакових змін дає формула \(A_n = A_0\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^{n}\).