Банківські відсотки – це нарахування на вкладену або позичену суму, яке рахують у сотих частках від неї. Якщо банк щомісяця виплачує \(p\%\) внесеної суми, працює формула простих відсотків, а якщо відсоток нараховують на вже збільшену суму, працює формула складних відсотків.
Ця тема входить до розділу «Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки», а програма НМТ прямо вимагає вміти знаходити відсоток від числа, число за значенням його відсотка та розвʼязувати основні задачі на відсотки. Саме тому банківські задачі стабільно зʼявляються серед завдань тесту з математики.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Ціна акції компанії зросла на \(10\%\) від початкової ціни. Якою була початкова ціна (у грн), якщо її ціна тепер становить \(990\) грн?
А) \(900\) · Б) \(1089\) · В) \(891\) · Г) \(1000\) · Д) \(980\)
А. За \(100\%\) тут беремо початкову ціну \(x\). Зростання на \(10\%\) означає множення на \(1{,}1\), тобто \(1{,}1x = 990\), звідси \(x = 990 : 1{,}1 = 900\). Якщо формула на тесті вилетіла з голови, те саме дає пропорція: нова ціна становить \(100\% + 10\% = 110\%\) початкової, тому \(990\) грн відповідає \(110\%\), а \(x\) грн відповідає \(100\%\), звідси \(x = \dfrac{990 \cdot 100}{110} = 900\). Варіант Б приваблює тих, хто взяв \(10\%\) від \(990\) і додав їх, тобто порахував відсоток не від тієї величини. Варіант В дає той, хто відняв \(10\%\) від \(990\).
Ціна акції компанії зросла на \(600\) грн, що становить \(5\%\) від її початкової ціни. Якою була початкова ціна акції?
А) \(120\ 000\) грн · Б) \(12\ 000\) грн · В) \(30\ 000\) грн · Г) \(1200\) грн · Д) \(3000\) грн
Б. Це задача на знаходження числа за його відсотком: \(5\% = 0{,}05\), тому початкова ціна дорівнює \(600 : 0{,}05 = 12\ 000\) грн. Пропорція дає те саме: \(\dfrac{600}{x} = \dfrac{5}{100}\). Варіант А отримують ті, хто помилився на порядок при діленні, а варіант Г - ті, хто замість ділення помножив \(600\) на \(2\).
Першого разу з банківської картки зняли \(40\%\) усіх грошей, а другого – \(500\) грн. Після цього на ній залишилася половина від початкової суми. Скільки гривень залишилося на картці?
А) \(2500\) · Б) \(2000\) · В) \(5000\) · Г) \(4000\) · Д) \(1500\)
А. Нехай початкова сума дорівнює \(x\). Після першого зняття лишилося \(0{,}6x\), після другого \(0{,}6x - 500\), і за умовою це половина початкової суми: \(0{,}6x - 500 = 0{,}5x\). Звідси \(0{,}1x = 500\) і \(x = 5000\). Але питають не про початкову суму, а про залишок, тобто про половину: \(5000 : 2 = 2500\). Варіант В якраз і ловить тих, хто зупинився на \(x\) і не дочитав питання.
При купівлі трьох однакових футболок діє акційна пропозиція. За першу футболку покупець сплачує її повну вартість, за другу – на \(20\%\) менше, ніж за першу, а за третю – на \(40\%\) менше, ніж за першу. Усього за три футболки Микола заплатив \(1056\) грн. Скільки гривень коштує одна футболка без знижки?
440. Позначимо повну вартість футболки \(x\). Друга коштує \(0{,}8x\), третя \(0{,}6x\), бо знижку в обох випадках рахують від повної вартості. Сума: \(x + 0{,}8x + 0{,}6x = 2{,}4x = 1056\), звідси \(x = 440\). Пастка тут у тому, щоб узяти \(40\%\) знижки від уже здешевленої другої футболки: за умовою обидві знижки відлічують від першої ціни.
⚠️ Типові помилки учнів
Неправильно. Другий відсоток беруть уже від нової ціни, тож підсумковий множник дорівнює \(1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99\), і ціна стала меншою за початкову.
Неправильно. Це формула простих відсотків, а для депозиту працює формула складних: сума множиться на \(\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)\) стільки разів, скільки років.
Неправильно. Тут задача на число за його відсотком, тому кінцеву величину ділять на відповідний десятковий дріб, а не віднімають від неї відсоток.
Неправильно. Відсотки переводять у десятковий дріб діленням на \(100\), тому \(12\%\) дає множник \(0{,}12\), а зростання на \(12\%\) дає множник \(1{,}12\).
Неправильно. За \(100\%\) беруть саме ту величину, від якої за умовою рахують відсоток: у задачі про знижку це повна ціна, у задачі про депозит – сума на початок року.
Найкорисніше в цій темі – не вивчити формулу, а щоразу перед розрахунком прямо називати вголос, що саме ви берете за \(100\%\). Коли ця величина названа, задача про депозит, знижку чи залишок на картці розвʼязується однаково: перевели відсотки в множник і або помножили, або поділили. Другий спосіб перевірки теж корисний: порахували формулою – перевірте пропорцією на одному кроці, і ви одразу побачите, чи там узагалі стояли \(100\%\).
Щоб знайти відсотки від числа, потрібно число поділити на 100 і помножити на потрібну кількість відсотків.
Другий, швидший спосіб: перевести відсотки в десятковий дріб і помножити. Щоб знайти \(40\%\) від \(3400\), записуємо \(40\% = 0{,}4\) і множимо: \(3400 \cdot 0{,}4 = 1360\). Той самий результат дає пропорція: \(3400\) відповідає \(100\%\), а шукана сума \(x\) відповідає \(40\%\), звідси \(x = \dfrac{3400 \cdot 40}{100} = 1360\).
Зверніть увагу на те, від чого саме ви берете відсоток. За \(100\%\) завжди беруть ту величину, від якої треба порахувати: у задачі про подорожчання це початкова ціна, у задачі про залишок на картці – початкова сума, у задачі про депозит – сума на початок конкретного року.
Щоб знайти число за відомою його частиною \(m\) і числом відповідних відсотків \(p\), треба записати \(p\%\) десятковим дробом і поділити \(m\) на цей дріб.
Приклад із підручника: робітникові виплатили авансом \(1400\) грн, що становить \(35\%\) його зарплати. Записуємо \(35\% = 0{,}35\) і ділимо: \(1400 : 0{,}35 = 4000\) грн. Через пропорцію те саме: \(\dfrac{1400}{x} = \dfrac{35}{100}\), звідси \(x = 4000\).
Той самий механізм працює з банківським прибутком. Якщо банк нараховує \(18\%\) річних і вкладник через рік отримав відомий прибуток, то розмір вкладу знаходять діленням прибутку на \(0{,}18\). А якщо, навпаки, відомі вклад \(12\ 000\) грн і прибуток \(2040\) грн за рік, то ставку знаходять як відсоткове відношення: \(\dfrac{2040}{12\ 000} \cdot 100\%\).
Різниця в тому, на що саме нараховують відсоток. У простих відсотках базою щоразу лишається початкова сума \(A_0\), тому надбавки однакові. У складних відсотках наступне нарахування йде вже на збільшену суму, тому надбавка щороку більша.
Через це у формулі складних відсотків множник \(\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)\) стоїть у степені \(n\): скільки років лежать гроші, стільки разів сума множиться на цей множник. Наприклад, вкладник поклав до банку \(24\ 000\) грн під \(5\%\) річних на \(3\) роки, і тоді сума на рахунку дорівнює \(24\ 000 \cdot 1{,}05^{3}\).
Коментар викладачки. Пропорціями складні відсотки теж рахуються, але скільки років у задачі, стільки пропорцій доведеться скласти: спершу сума через рік, потім від неї ще раз, і так далі. Формула зі степенем робить те саме за один крок, тому на тесті беріть саме її.
Якщо в задачі потрібна не кінцева сума, а початковий внесок, з тієї самої формули знаходять невідомий множник: \(A_0 = \dfrac{A_n}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n}}\). Щоб знайти невідомий множник, добуток ділять на відомий множник.
Тому що відсоток другого разу беруть уже від нової ціни, а не від початкової. Класична задача підручника: вартість товару спочатку зросла на \(10\%\), а потім знизилася на \(10\%\), і треба знайти, на скільки відсотків змінилася початкова ціна.
Розвʼязують її множниками: зростання на \(10\%\) – це множення на \(1{,}1\), а зниження на \(10\%\) – це множення на \(0{,}9\). Разом виходить множник \(1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99\), тобто ціна стала меншою за початкову. Наприклад, товар коштував \(100\) грн. Після подорожчання на \(10\%\) він коштує \(110\) грн. Але \(10\%\) від \(110\) грн – це вже \(11\) грн, а не \(10\), тому після здешевлення ціна дорівнює \(110 – 11 = 99\) грн, тобто на \(1\%\) менша за початкову. Порядок дій результату не змінює: у другому варіанті тієї самої вправи товар спочатку дешевшає, а потім дорожчає, і множник той самий.
Цю тему розбирають на курсі математики KEVIN.
- Один відсоток – це одна сота частина числа: \(1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\).
- Відсотки в десятковий дріб: поділити на 100. Дріб у відсотки: помножити на 100. Наприклад, \(40\% = 0{,}4\), а \(1{,}34 = 134\%\).
- Відсоток від числа: \(p\%\) від \(a\) дорівнює \(a \cdot \dfrac{p}{100}\). Наприклад, \(13\%\) від \(40\) дорівнює \(40 \cdot 0{,}13 = 5{,}2\).
- Число за його відсотком: якщо \(p\%\) числа дорівнюють \(m\), то саме число \(a = \dfrac{m}{p/100}\). Наприклад, якщо \(19\%\) числа становлять \(57\), то число дорівнює \(300\).
- Відсоткове відношення двох чисел: \(\dfrac{a}{b} \cdot 100\%\). Наприклад, \(9\) від \(24\) становить \(\dfrac{9}{24} \cdot 100\% = 37{,}5\%\).
- Прості відсотки: якщо банк виплачує клієнтові щомісяця \(p\%\) внесеної суми \(A_0\), то через \(n\) місяців на рахунку буде \(A_n = A_0\left(1 + \dfrac{pn}{100}\right)\).
- Складні відсотки: якщо клієнт поклав у банк суму \(A_0\) під \(p\%\) річних, то через \(n\) років накопичений капітал становитиме \(A_n = A_0\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^{n}\).
- Швидкі відсотки для усного рахунку: \(50\% = \dfrac{1}{2}\), \(25\% = \dfrac{1}{4}\), \(75\% = \dfrac{3}{4}\).
❓ Часті запитання
Яка формула складних відсотків потрібна на НМТ?
\(A_n = A_0\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^{n}\), де \(A_0\) – початкова сума, \(p\) – відсоток річних, \(n\) – кількість років. Цієї формули в довідкових матеріалах, які видають на тесті, немає, тож її треба знати напамʼять.
Чим формула простих відсотків відрізняється від складних?
У простих відсотках надбавка щоразу однакова, бо її рахують від початкової суми: \(A_n = A_0\left(1 + \dfrac{pn}{100}\right)\). У складних відсотках множник \(\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)\) підноситься до степеня \(n\), бо кожне нарахування йде на вже збільшену суму.
Як швидко перевести відсотки в множник?
Поділіть кількість відсотків на \(100\). Так \(30\%\) дає множник \(0{,}3\), а \(120\%\) дає \(1{,}2\). Якщо величина зростає на \(p\%\), множник дорівнює \(1 + \dfrac{p}{100}\), якщо зменшується, то \(1 – \dfrac{p}{100}\).
Чи можна розвʼязувати банківські задачі пропорцією?
Можна, і відповідь буде правильна. Але на кожен рік нарахування доведеться складати окрему пропорцію, тому для депозиту на кілька років швидше працює формула складних відсотків.
Як знайти відсоткову ставку, якщо відомі вклад і прибуток?
Це відсоткове відношення двох чисел: прибуток ділять на суму вкладу і множать на \(100\%\). Наприклад, для вкладу \(12\ 000\) грн і річного прибутку \(2040\) грн ставку знаходять як \(\dfrac{2040}{12\ 000} \cdot 100\%\).
Чи складні на НМТ числа в задачах на відсотки?
Ні, числа підбирають так, щоб розрахунки давали зручні значення без калькулятора. Якщо у вас виходить громіздке число з довгим хвостом після коми, найімовірніше, помилка не в арифметиці, а в тому, від якої величини взято \(100\%\).