Прогресія – це числова послідовність, побудована за одним правилом: в арифметичній до кожного члена додають одне й те саме число, у геометричній кожен член множать на одне й те саме число. На НМТ від вас вимагають знати означення обох прогресій, формули n-го члена і формули суми n перших членів.
🔑 Головні правила
\(d = a_{n+1} – a_n\), тобто різницю знаходять, коли від будь-якого члена, починаючи з другого, відняти попередній.
\(a_n = a_1 + (n-1)d\).
\(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\).
\(S_n = \dfrac{(2a_1 + (n-1)d) \cdot n}{2}\).
\(q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\), причому \(q \ne 0\) і всі члени прогресії відмінні від нуля.
\(b_n = b_1 q^{\,n-1}\).
\(S_n = \dfrac{b_1(q^{\,n} – 1)}{q – 1}\).
\(S_n = \dfrac{b_n q – b_1}{q – 1}\).
\(S_n = n b_1\), бо всі члени однакові.
\(b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\), квадрат будь-якого члена, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх.
це прогресія, у якої \(|q| \lt 1\).
🗺 Оберіть підтему для детального розбору
Тема «Прогресії» розпадається на дві підтеми, і кожна з них розібрана окремо, з власними прикладами й завданнями НМТ. Прогресії щільно тримаються за суміжні теми. Щоб рахувати \(q^{\,n-1}\), потрібні властивості степеня, а щоб довести задачу до відповіді, часто доводиться скласти й розвʼязати квадратне рівняння. Самі прогресії подаються формулою n-го члена, тобто це окремий випадок функції, заданої формулою.
Визначте перший член геометричної прогресії \((b_n)\), у якої \(b_4 = 3\), а знаменник \(q = \dfrac{1}{3}\).
А) \(27\) Б) \(243\) В) \(81\) Г) \(\dfrac{1}{9}\) Д) \(\dfrac{1}{27}\)
В. За формулою n-го члена \(b_4 = b_1 q^3\), тобто \(3 = b_1 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{b_1}{27}\), звідки \(b_1 = 81\). Варіант А може здатися правильним тим, хто підставив степінь \(q^2\) замість \(q^3\), тобто взяв \((n-1) = 2\) для четвертого члена. Варіант Г ловить тих, хто замість ділення на \(\dfrac{1}{27}\) помножив на нього: \(3 \cdot \dfrac{1}{27} = \dfrac{1}{9}\).
У геометричній прогресії \((b_n)\) відомо, що \(b_3 = 24\), \(b_4 = 12\). Визначте перший член \(b_1\) цієї прогресії.
А) \(36\) Б) \(48\) В) \(72\) Г) \(96\) Д) \(192\)
Г. Спершу знаменник: \(q = \dfrac{b_4}{b_3} = \dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2}\). Далі рухаємось назад від третього члена до першого, тобто ділимо на \(q\) двічі: \(b_2 = 24 : \dfrac{1}{2} = 48\), \(b_1 = 48 : \dfrac{1}{2} = 96\). Варіант Б - це \(b_2\), а не \(b_1\): пастка тут саме в тому, щоб зупинитися на один крок раніше. Варіант А отримують ті, хто сприйняв прогресію як арифметичну з \(d = -12\) і зробив лише один крок назад: \(24 + 12 = 36\).
В арифметичній прогресії \((a_n)\) перший член \(a_1 = 18{,}5\), різниця \(d = -2{,}5\). Скільки всього додатних членів має ця прогресія?
А) \(6\) Б) \(7\) В) \(8\) Г) \(9\) Д) \(10\)
В. Записуємо умову додатності: \(a_n = 18{,}5 - 2{,}5(n-1) \gt 0\). Звідси \(2{,}5(n-1) \lt 18{,}5\), тобто \(n - 1 \lt 7{,}4\) і \(n \lt 8{,}4\). Натуральних значень тут вісім. Варіант Б ловить тих, хто розвʼязав нерівність правильно, але забув додати одиницю, тобто порахував не номери членів, а кількість доданих різниць.
Знайдіть суму перших десяти членів арифметичної прогресії \(2;\ 1{,}4;\ 0{,}8;\ \dots\)
А) \(-3{,}6\) Б) \(-7\) В) \(-11\) Г) \(-10\) Д) \(47\)
Б. Різниця \(d = 1{,}4 - 2 = -0{,}6\). Далі \(S_{10} = \dfrac{(2 \cdot 2 + 9 \cdot (-0{,}6)) \cdot 10}{2} = \dfrac{(4 - 5{,}4) \cdot 10}{2} = -7\). Тому в цьому типі завдань завжди перевіряйте, що саме питають: член чи суму.
Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії \((b_n)\), у якої \(b_2 = 6\), а знаменник \(q = -2\).
А) \(15\) Б) \(-7{,}5\) В) \(-9\) Г) \(-45\) Д) \(-15\)
А. Спершу перший член: \(b_2 = b_1 q\), тобто \(6 = b_1 \cdot (-2)\) і \(b_1 = -3\). Тоді \(S_4 = \dfrac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \dfrac{-3 \cdot (16 - 1)}{-3} = 15\). Варіант Д ловить тих, хто взяв \(b_1 = 3\) без мінуса: \(\dfrac{3 \cdot 15}{-3} = -15\), варіант Г - тих, хто забув поділити на \(q - 1 = -3\): \(-3 \cdot 15 = -45\), а варіант В - це сума лише трьох членів \(-3 + 6 - 12 = -9\).
Число \(6\) є членом геометричної прогресії зі знаменником \(2\). Яке з наведених чисел може бути членом цієї прогресії?
А) \(0{,}5\) Б) \(36\) В) \(2\) Г) \(8\) Д) \(48\)
Д. Від будь-якого члена прогресії інші члени отримують множенням або діленням на \(2\), тому ряд виглядає так: \(\dots;\ 1{,}5;\ 3;\ 6;\ 12;\ 24;\ 48;\ \dots\). Число \(48\) отримуємо з шістки трьома множеннями на \(2\). Варіант Б привертає увагу тим, що \(36 = 6 \cdot 6\), але множити треба на знаменник, а не на сам член. Варіанти В і Г узагалі не потрапляють у цей ряд, бо не є шісткою, помноженою на степінь двійки.
⚠️ Типові помилки по темі
Неправильно. Правильно \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\), бо від першого члена до четвертого множення на \(q\) відбувається лише три рази: \(b_2 = b_1 q\), \(b_3 = b_1 q^2\), \(b_4 = b_1 q^3\). Так само в арифметичній прогресії різниць додається \((n-1)\), а не \(n\).
Неправильно. Усі члени геометричної прогресії відмінні від нуля, тому й \(q \ne 0\). Це прямо зазначено в означенні: прогресія складається з відмінних від нуля чисел.
Неправильно, якщо в умові питали суму або кількість членів. У завданнях НМТ дуже часто просять саме \(S_n\) або кількість членів із певною властивістю, а серед варіантів відповіді стоїть і значення окремого члена. Перечитуйте останнє речення умови перед тим, як обводити варіант.
Неправильно. Вона виведена за умови \(q \ne 1\), інакше в знаменнику нуль. Якщо \(q = 1\), усі члени однакові й сума дорівнює \(S_n = n b_1\).
Неправильно для геометричної прогресії: там рух назад означає ділення на \(q\), а не віднімання. Віднімання різниці працює лише в арифметичній прогресії. Це найчастіша плутанина між двома прогресіями, і вона одразу дає варіант відповіді, який укладачі спеціально ставлять у список.
Арифметична прогресія \((a_n)\) задається першим членом \(a_1\) і різницею \(d\), геометрична прогресія \((b_n)\) задається першим членом \(b_1\) і знаменником \(q\). Ось повний набір формул, який потрібен на НМТ.
Програма НМТ виносить числові послідовності в розділ «Функції» і формулює вимогу коротко: розвʼязувати задачі на арифметичну та геометричну прогресію. Тобто теорії тут небагато, а от формул треба знати рівно стільку, скільки їх у програмі, і не плутати між собою «додаємо» і «множимо». Цю тему розбирають на курсі математики KEVIN.
Чим арифметична прогресія відрізняється від геометричної
Різниця в одній дії: в арифметичній прогресії кожен наступний член отримують додаванням одного й того самого числа, у геометричній – множенням на одне й те саме число. Тому в арифметичній прогресії ключове число називають різницею \(d\), а в геометричній – знаменником \(q\).
Арифметична прогресія – це послідовність, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додано те саме число. Наприклад, послідовності \(2;\ 5;\ 8;\ 11;\ \dots\) і \(-5;\ -4;\ -3;\ -2;\ \dots\) є арифметичними прогресіями, а \(0;\ 1;\ 5;\ 10;\ \dots\) уже ні, бо крок не однаковий.
Геометрична прогресія – це послідовність відмінних від нуля чисел, кожне з яких, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число. Наприклад, \(3;\ 6;\ 12;\ 24;\ \dots\) має знаменник \(q = 2\), а \(1;\ -3;\ 9;\ -27;\ \dots\) має знаменник \(q = -3\). Знаменник позначають літерою \(q\) від французького слова quotient, тобто «частка».
Є один цікавий випадок, який любить зʼявлятися в завданнях. Якщо \(q = 1\), геометрична прогресія складається з однакових чисел: наприклад, при \(b_1 = -5\) і \(q = 1\) виходить \(-5;\ -5;\ -5;\ -5;\ \dots\). Ту саму послідовність можна вважати й арифметичною прогресією, у якої \(a_1 = -5\), а \(d = 0\).
Коментар викладачки. Дивіться, тут є проста опора, яка знімає плутанину. Якщо в умові фігурує ділення одного члена на інший, ви майже завжди у геометричній прогресії. Якщо в умові зʼявляється віднімання членів, це арифметична. В арифметичній прогресії немає множення й ділення членів між собою: ви або додаєте різницю, або віднімаєте її.
Як знайти n-й член прогресії, не рахуючи всі попередні
Для цього і придумані формули n-го члена: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) для арифметичної та \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\) для геометричної прогресії. Тобто вам достатньо знати перший член і крок, і будь-який член знаходиться однією підстановкою.
Звідки береться \((n-1)\)? Подивіться на механізм. В арифметичній прогресії \(a_2 = a_1 + d\), \(a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d\), \(a_4 = a_1 + 3d\), і кількість доданих різниць завжди на одиницю менша за номер. Так само в геометричній: \(b_2 = b_1 q\), \(b_3 = b_2 q = b_1 q^2\), \(b_4 = b_1 q^3\), \(b_5 = b_1 q^4\), тому в \(b_n\) степінь дорівнює \(n-1\).
Із цього ж механізму випливає дуже зручний прийом: будь-який член можна виразити через інший, не повертаючись до першого. Якщо до \(a_3\) додати дві різниці, отримаєте \(a_5\), тобто \(a_5 = a_3 + 2d\). Скільки різниць додали, настільки вперед пішов номер. Той самий прийом працює й у геометричній прогресії, лише замість додавання різниці там множення на \(q\): наприклад, \(b_6 = b_5 q\).
Порядок дій у типовому завданні на n-й член виглядає так.
- Виписуємо коротко все, що дано: \(a_1\), \(d\), номер, або \(b_1\), \(q\), номер. Це не формальність: якщо дані не виписані, дуже легко переплутати, де номер, а де значення члена.
- Визначаємо, яка це прогресія, за дією між сусідніми членами: додавання чи множення.
- Підставляємо у формулу n-го члена і, якщо невідомий не \(a_n\), а \(a_1\) або \(d\), розвʼязуємо рівняння відносно нього.
- Перевіряємо відповідь: підставляємо знайдене число назад і дивимось, чи справді виходить задане значення.
Як порахувати суму членів прогресії
Сума n перших членів арифметичної прогресії дорівнює \(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\), а геометричної при \(q \ne 1\) дорівнює \(S_n = \dfrac{b_1(q^{\,n} – 1)}{q – 1}\). Якщо в арифметичній прогресії \(a_n\) не дано, спершу знаходять його за формулою n-го члена або відразу беруть формулу \(S_n = \dfrac{(2a_1 + (n-1)d) \cdot n}{2}\).
Формула суми геометричної прогресії виводиться дуже красиво, і цей вивід варто побачити хоча б раз. Записуємо \(S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \dots + b_1 q^{\,n-1}\), множимо всю рівність на \(q\) і почленно віднімаємо початкову. Майже все взаємно знищується, лишається \(S_n q – S_n = b_1(q^{\,n} – 1)\), звідки й отримуємо \(S_n(q-1) = b_1(q^{\,n} – 1)\).
Якщо в задачі відомі перший член, n-й член і знаменник, зручніше брати другий варіант тієї самої формули: \(S_n = \dfrac{b_n q – b_1}{q – 1}\). Наприклад, для прогресії \(2;\ -6;\ 18;\ \dots\) знаменник \(q = -3\), сьомий член \(b_7 = 2 \cdot (-3)^6 = 1458\), і сума перших семи членів дорівнює 1094 обома способами.
З арифметичною прогресією той самий фокус придумав ще школярем Карл Гаусс. Коли вчитель попросив знайти суму ста перших натуральних чисел, Гаусс помітив, що суми \(1 + 100\), \(2 + 99\), \(3 + 98\) однакові і їх рівно 50, тому \(1 + 2 + \dots + 100 = 101 \cdot 50 = 5050\). Саме ця ідея й лежить у формулі \(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\).
Нижче реальні завдання з НМТ різних років. Подивіться, наскільки схожі формулювання: майже завжди це або n-й член, або сума, або кількість членів.
❓ Часті запитання про тему
Які формули з прогресій треба вивчити на НМТ?
Програма НМТ вимагає означення арифметичної та геометричної прогресій, формули n-го члена обох прогресій і формули суми n перших членів обох прогресій. Це той мінімум, з якого складають завдання.
Як швидко визначити, яка це прогресія?
Подивіться на дію між сусідніми членами. Якщо кожен наступний член отримують додаванням одного й того самого числа, це арифметична прогресія з різницею \(d\). Якщо множенням, це геометрична прогресія зі знаменником \(q\). Різницю знаходять відніманням сусідніх членів, знаменник – їх діленням.
Що робити, якщо забув формулу прямо на НМТ?
Виписуйте члени послідовності вручну: у завданнях на прогресію числа беруть невеликі, і номер потрібного члена зазвичай теж невеликий. Крім того, будь-який член можна виразити через сусідній, наприклад \(a_5 = a_3 + 2d\) або \(b_6 = b_5 q\), і дійти до відповіді покроково.
Чи буває послідовність одночасно арифметичною і геометричною?
Так, буває. Якщо в геометричній прогресії \(q = 1\), усі її члени однакові, наприклад \(-5;\ -5;\ -5;\ \dots\). Ту саму послідовність можна вважати арифметичною прогресією з \(a_1 = -5\) і \(d = 0\).
Яка прогресія називається нескінченно спадною?
Геометрична прогресія називається нескінченно спадною, якщо модуль її знаменника менший за одиницю, тобто \(|q| \lt 1\). У такій прогресії модулі членів необмежено зменшуються, наближаючись до нуля.
Як знайти кількість членів прогресії, які задовольняють умову?
Складіть нерівність із формули n-го члена і розвʼяжіть її відносно \(n\), а потім порахуйте, скільки натуральних значень підходить. Наприклад, щоб знайти, скільки натуральних чисел, кратних \(7\), не перевищують \(999\), розвʼязують нерівність \(7n \le 999\) і отримують \(n \le 142\), тобто таких членів 142.
Хочете план підготовки з математики під ваш рівень? Залиште імʼя і телефон, і ми передзвонимо.
Автор: Анастасія Носенко, викладачка математики KEVIN. НПУ ім. М.П. Драгоманова, 6 років досвіду, 1 676 учнів за цей рік.
🔗 Схожі теми: з Математики
Готуєтесь до НМТ з Математики? Запишіться на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN — визначимо ваш рівень і складемо план підготовки.
Отримати план підготовкиАбо зателефонуйте: +38 (073) 304 64 49