Арифметична прогресія – це послідовність, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додали одне й те саме число \(d\). Це число називають різницею прогресії: \(d = a_{n+1} – a_n\).
Тема входить до розділу «Числові послідовності»: програма НМТ прямо вимагає знати означення арифметичної прогресії, формулу \(n\)-го члена і формулу суми \(n\) перших членів, а також розвʼязувати задачі на прогресії. Ця тема входить до програми НМТ, і завдання на неї бувають у тесті.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
В арифметичній прогресії \((a_n)\) перший член \(a_1 = 18{,}5\), різниця \(d = -2{,}5\). Скільки всього додатних членів має ця прогресія?
А) \(6\) Б) \(7\) В) \(8\) Г) \(9\) Д) \(10\)
В. Записуємо \(a_n = 18{,}5 - 2{,}5(n-1) \gt 0\). Розкриваємо дужки: \(18{,}5 - 2{,}5n + 2{,}5 \gt 0\), тобто \(21 \gt 2{,}5n\) і \(n \lt 8{,}4\). Найбільше натуральне \(n\) тут \(8\), отже додатних членів вісім. Варіант Б може здатися правильним тим, хто після розкриття дужок загубив доданок \(2{,}5\): тоді \(18{,}5 \gt 2{,}5n\), \(n \lt 7{,}4\) і виходить \(7\).
Знайдіть суму перших десяти членів арифметичної прогресії \(2;\ 1{,}4;\ 0{,}8;\ \ldots\)
А) \(-3{,}6\) Б) \(-7\) В) \(-11\) Г) \(-10\) Д) \(47\)
Б. Спочатку різниця: \(d = 1{,}4 - 2 = -0{,}6\). Далі десятий член: \(a_{10} = 2 + 9\cdot(-0{,}6) = 2 - 5{,}4 = -3{,}4\). Тепер сума: \(S_{10} = \dfrac{2 + (-3{,}4)}{2}\cdot 10 = \dfrac{-1{,}4}{2}\cdot 10 = -7\). Варіант Д може здатися правильним тим, хто взяв різницю з неправильним знаком, \(d = 0{,}6\): тоді \(a_{10} = 2 + 9\cdot 0{,}6 = 7{,}4\) і \(S_{10} = \dfrac{2 + 7{,}4}{2}\cdot 10 = 47\).
В арифметичній прогресії \((a_n)\) справджується рівність \(a_5 – a_3 = 4{,}8\). Тоді \(a_6 – a_3 =\)
А) \(7{,}2\) Б) \(5{,}4\) В) \(6{,}4\) Г) \(9{,}6\) Д) \(8{,}4\)
А. Різниця двох членів дорівнює різниці їхніх номерів, помноженій на \(d\): \(a_5 - a_3 = 2d = 4{,}8\), звідки \(d = 2{,}4\). Тоді \(a_6 - a_3 = 3d = 3\cdot 2{,}4 = 7{,}2\). Варіант Г може здатися правильним тим, хто механічно подвоїв \(4{,}8\), не помітивши, що між шостим і третім членами три кроки, а не чотири.
У арифметичній прогресії \((a_n)\) відомо, що \(a_6 – a_1 = -30\). Знайдіть значення виразу \(a_1 – a_3\).
А) \(-12\) Б) \(6\) В) \(-6\) Г) \(30\) Д) \(12\)
Д. Тут пʼять кроків: \(a_6 - a_1 = 5d = -30\), тому \(d = -6\). Потрібний вираз записаний у зворотному порядку: \(a_1 - a_3 = -(a_3 - a_1) = -2d = -2\cdot(-6) = 12\). Варіант А може здатися правильним тим, хто не змінив знак і порахував \(a_3 - a_1 = 2d = -12\).
В арифметичній прогресії \((a_n)\): \(a_1 + a_2 = 11{,}2\), \(a_1 + a_4 = 8{,}8\). Визначте різницю \(d\) цієї прогресії.
А) \(d = -1{,}2\) Б) \(d = 2{,}2\) В) \(d = 1{,}2\) Г) \(d = -1{,}7\) Д) \(d = -0{,}6\)
А. Віднімемо перше рівняння від другого: \((a_1 + a_4) - (a_1 + a_2) = a_4 - a_2 = 8{,}8 - 11{,}2 = -2{,}4\). Але \(a_4 - a_2 = 2d\), тому \(2d = -2{,}4\) і \(d = -1{,}2\). Варіант В може здатися правильним тим, хто загубив мінус: різниця тут відʼємна, бо сума зменшилася.
⚠️ Типові помилки учнів
Неправильно. Формула має вигляд \(a_n = a_1 + (n-1)d\): множник саме \(n-1\), бо до першого члена різницю ще не додавали.
Неправильно. Зростання замало: крок має бути однаковий. Тут кроки \(1\), \(4\) і \(5\), тому прогресії немає.
Неправильно. Послідовність \(4;\ 4;\ 4;\ 4\) є арифметичною прогресією з різницею \(d = 0\).
Неправильно. Якщо \(a_n\) невідомий, його спочатку рахують за формулою \(n\)-го члена, а потім підставляють у \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\).
Неправильно. Між першим і шостим членами пʼять кроків, тому \(a_6 – a_1 = 5d\). Кількість кроків завжди дорівнює різниці номерів.
На цій темі легко втратити бали не через формули, а через номери. Порахуйте окремо, скільки кроків між заданими членами: між третім і шостим їх три, між першим і шостим пʼять. Запишіть це число на чернетці ще до підстановки, і пастки з номерами вже не спрацюють. Друга звичка, яку варто виробити: після обчислення перечитайте, що саме питали в умові. Часто відповідь уже знайдена, але питали не про член прогресії, а про її суму. Якщо хочете розібрати ці пастки з викладачем, подивіться курс підготовки до НМТ з математики.
Коментар викладачки. Обидві головні формули є в довідкових матеріалах, які видають на тесті, тому вивчати їх напамʼять не обовʼязково. А от розуміти, що означає кожна літера, доведеться: у довіднику написано \(a_n = a_1 + (n-1)d\), і ви маєте самі побачити, що \(n\) – це номер потрібного члена, а \(d\) – крок, на який змінюється кожен наступний елемент.
Різницю знаходять відніманням: від будь-якого члена, починаючи з другого, віднімають попередній. Наприклад, у прогресії \(2;\ 5;\ 8;\ 11\) маємо \(d = 5 – 2 = 3\), і послідовність зростає. У прогресії \(-5;\ -4;\ -3;\ -2\) різниця теж додатна, \(d = 1\). А в послідовності \(4;\ 4;\ 4;\ 4\) різниця дорівнює нулю, і це теж арифметична прогресія.
Послідовності \(0;\ 1;\ 5;\ 10\) чи \(0;\ 1;\ 0;\ 2\) прогресіями не є: там крок щоразу різний. Це і є головна перевірка: якщо між сусідніми членами скрізь однакова відстань, перед вами арифметична прогресія, якщо ні – ні.
Якщо відомі не сусідні члени, а віддалені, різницю дістають із формули \(n\)-го члена. Наприклад, у прогресії з \(a_1 = 8\) і \(a_{11} = 33\) маємо \(33 = 8 + 10d\), звідки \(10d = 25\) і \(d = 2{,}5\).
Будь-який член знаходять за формулою \(a_n = a_1 + (n-1)d\): до першого члена додають різницю стільки разів, скільки кроків треба зробити. Кроків завжди на один менше, ніж номер, бо до першого члена ще нічого не додавали.
Порядок дій простий:
- Випишіть коротку умову: що дано (\(a_1\), \(d\), номер) і що знайти.
- Підставте відомі величини у формулу \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
- Порахуйте \(n-1\) окремо, щоб не помилитися в номері.
- Розвʼяжіть отримане лінійне рівняння відносно невідомої величини.
Приклад: знайти \(a_7\), якщо \(a_1 = 3\), \(d = -8\). Підставляємо: \(a_7 = 3 + (7-1)\cdot(-8) = 3 – 48 = -45\).
Коментар викладачки. Формула працює в обидва боки. Якщо в умові дано \(d\) і якийсь далекий член, а знайти треба перший, ви записуєте ту саму формулу і розвʼязуєте рівняння відносно \(a_1\). Наприклад, з \(a_2 = 8\) і \(d = -5\) виходить \(8 = a_1 – 5\), тобто \(a_1 = 13\). Нічого нового вчити не треба. Це те саме завданнячко, лише невідоме стоїть в іншому місці.
Суму рахують за формулою \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\): додають перший і останній члени, ділять навпіл і множать на кількість членів.
Ідея цієї формули відома з історії про Карла Гаусса. Учитель попросив школярів знайти суму ста перших натуральних чисел, і Гаусс помітив, що суми \(1+100\), \(2+99\), \(3+98\) однакові й дорівнюють \(101\), а таких пар рівно \(50\). Тому \(1+2+3+\ldots+100 = 101\cdot 50 = 5050\).
Якщо останній член невідомий, спочатку знаходять його за формулою \(n\)-го члена, а потім підставляють у формулу суми. Наприклад, щоб знайти \(S_{18}\) прогресії з \(c_1 = 17\) і \(d = -2\), спершу рахуємо \(c_{18} = 17 + 17\cdot(-2) = -17\), а далі \(S_{18} = \dfrac{17 + (-17)}{2}\cdot 18 = 0\).
Кількість членів шукають через нерівність із формулою \(n\)-го члена. Типове формулювання НМТ: скільки в прогресії додатних членів або з якого номера члени стають відʼємними.
Записуєте \(a_n = a_1 + (n-1)d\), ставите потрібну умову (наприклад \(a_n \gt 0\)) і розвʼязуєте нерівність відносно \(n\). Оскільки \(n\) – натуральне число, відповіддю буде найбільше ціле, яке в цю нерівність вкладається.
Хочете план підготовки з математики під ваш рівень? Залиште імʼя і телефон, і ми передзвонимо.
- Різниця прогресії: \(d = a_{n+1} – a_n\), тобто від наступного члена віднімаємо попередній.
- Формула \(n\)-го члена: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
- Сума \(n\) перших членів: \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\).
- Характеристична властивість: \(a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\), тобто кожен член є середнім арифметичним двох своїх сусідів.
- Різниця через два будь-які члени: з формули \(n\)-го члена випливає \(a_k – a_m = (k-m)d\), звідки \(d = \dfrac{a_k – a_m}{k-m}\).
❓ Часті запитання
Чи можна користуватися формулами прогресії на НМТ?
Так, формулу \(n\)-го члена і формулу суми беруть із довідкових матеріалів, які видають разом із тестом. Але підставляти в них дані та розвʼязувати рівняння доводиться самостійно.
Що вимагає програма НМТ з теми «Числові послідовності»?
Знати означення арифметичної та геометричної прогресій, формули \(n\)-го члена обох прогресій, формули суми \(n\) перших членів і вміти розвʼязувати задачі на прогресії.
Чи може різниця арифметичної прогресії бути відʼємною?
Так. За відʼємної різниці прогресія спадає: наприклад, у прогресії з \(a_1 = 18{,}5\) і \(d = -2{,}5\) члени поступово зменшуються і з деякого номера стають відʼємними.
Як швидко знайти різницю, якщо дано два віддалені члени?
Поділіть різницю самих членів на різницю їхніх номерів: \(d = \dfrac{a_k – a_m}{k-m}\). Наприклад, з \(a_5 – a_3 = 4{,}8\) виходить \(2d = 4{,}8\), тобто \(d = 2{,}4\).
Що таке характеристична властивість арифметичної прогресії?
Кожен член прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх: \(a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\). Саме через цю властивість давні греки повʼязували прогресію з арифметичною пропорцією, звідки й пішла назва.
Чим арифметична прогресія відрізняється від геометричної?
В арифметичній кожен наступний член дістають додаванням одного й того самого числа \(d\), а в геометричній – множенням на одне й те саме число \(q\), яке називають знаменником. Члени геометричної прогресії відмінні від нуля, тому й \(q \ne 0\).