Геометрична прогресія – це послідовність відмінних від нуля чисел, кожне з яких, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число. Це число називають знаменником прогресії і позначають \(q\), причому \(q \ne 0\).
Програма НМТ вимагає знати означення геометричної прогресії, формулу \(n\)-го члена і формулу суми \(n\) перших членів, а також уміти розвʼязувати задачі на прогресії. У реальних тестах ця тема зʼявляється регулярно: у НМТ-2023, НМТ-2024 і НМТ-2025 були окремі завдання саме на геометричну прогресію.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Визначте перший член геометричної прогресії \((b_n)\), у якої \(b_4 = 3\), а знаменник \(q = \dfrac{1}{3}\).
А) \(27\) · Б) \(243\) · В) \(81\) · Г) \(\dfrac{1}{9}\) · Д) \(\dfrac{1}{27}\)
В. За формулою \(n\)-го члена \(b_4 = b_1 q^{3}\), тобто \(3 = b_1 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{3} = \dfrac{b_1}{27}\), звідки \(b_1 = 81\). Варіант А може здатися правильним тим, хто взяв показник \(2\) замість \(3\): \(3 : \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2} = 27\), а варіант Г - тим, хто помножив на \(q^{3}\) замість того, щоб поділити: \(3 \cdot \dfrac{1}{27} = \dfrac{1}{9}\).
У геометричній прогресії \((b_n)\) відомо, що \(b_3 = 24\), \(b_4 = 12\). Визначте перший член \(b_1\) цієї прогресії.
А) \(36\) · Б) \(48\) · В) \(72\) · Г) \(96\) · Д) \(192\)
Г. Спочатку знаходимо знаменник як частку сусідніх членів: \(q = \dfrac{b_4}{b_3} = \dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2}\). Далі робимо два кроки назад від \(b_3\), тобто двічі ділимо на \(q\): \(b_2 = 48\), \(b_1 = 96\). Варіант Б - це \(b_2\), тобто пастка для тих, хто зробив лише один крок назад замість двох.
Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії \((b_n)\), у якої \(b_2 = 6\), а знаменник \(q = -2\).
А) \(15\) · Б) \(-7,5\) · В) \(-9\) · Г) \(-45\) · Д) \(-15\)
А. Дано не перший член, а другий, тому спершу робимо крок назад: \(b_1 = \dfrac{b_2}{q} = \dfrac{6}{-2} = -3\). Далі за формулою суми \(S_4 = \dfrac{b_1(q^{4}-1)}{q-1} = \dfrac{-3\big((-2)^{4}-1\big)}{-2-1} = \dfrac{-3 \cdot 15}{-3} = 15\). Варіант В (\(-9\)) - це сума лише трьох перших членів \(-3 + 6 - 12\), варіант Д (\(-15\)) виходить, якщо взяти \(b_1 = 3\) без мінуса, а варіант Г (\(-45\)) - якщо забути поділити на \(q - 1 = -3\).
⚠️ Типові помилки учнів
Неправильно. У формулі \(b_n = b_1 q^{n-1}\) показник степеня на одиницю менший за номер члена, бо від першого члена до \(n\)-го роблять \(n-1\) крок.
Неправильно. Члени геометричної прогресії відмінні від нуля, тому й \(q \ne 0\).
Неправильно. Вона діє лише за \(q \ne 1\): у знаменнику стоїть \(q-1\). Якщо \(q = 1\), усі члени однакові й \(S_n = n b_1\).
Неправильно. Сума нескінченної прогресії існує лише тоді, коли \(|q| \lt 1\).
Неправильно, це властивість арифметичної прогресії. У геометричній працює добуток: \(b_n^{2} = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\).
Друзі, у завданнях на прогресії найбільше часу зʼїдає бажання одразу скласти рівняння. Часто цього не треба: якщо в умові є один член і знаменник, простіше зробити один-два кроки вручну, помноживши або поділивши на \(q\), і одразу побачити правильну відповідь серед варіантів. Аналітичний шлях лишайте на випадки, коли номери членів далекі один від одного. І запишіть собі два маркери: множення – геометрична, додавання – арифметична. Якщо хочете розібрати ці пастки з викладачем, подивіться курс підготовки до НМТ з математики.
Коментар викладачки. Дивіться, знаменник \(q\) – це просто крок прогресії: у скільки разів наступний елемент більший за попередній. В арифметичній прогресії ми до попереднього члена додаємо різницю, а в геометричній множимо на знаменник. Ідемо далі з цією опорою, і плутанини між двома прогресіями вже не буде.
Щоб знайти будь-який член прогресії, підставте його номер у формулу \(b_n = b_1 q^{n-1}\). Порядок дій такий:
- Випишіть з умови те, що дано: \(b_1\), \(q\) або два будь-які члени прогресії.
- Якщо знаменника немає, знайдіть його діленням: \(q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\).
- Підставте потрібний номер \(n\) у формулу \(b_n = b_1 q^{n-1}\) замість \(n\).
- Обчисліть степінь, а вже потім множте на \(b_1\).
- Перевірте знак: якщо \(q\) відʼємний, члени прогресії чергують знаки.
Коли в умові дано два члени з різними номерами, зручно скористатися тим, що \(b_4 = b_1 q^3 = (b_1 q) q^2 = b_2 q^2\). Звідси \(q^2\) знаходять як частку двох відомих членів, а далі отримують \(q\).
Коментар викладачки. Якщо у прогресії треба зробити крок назад, не вигадуйте окремої формули: попередній член – це просто поточний, поділений на \(q\). А ділення на \(q\) – це те саме, що множення на \(\dfrac{1}{q}\): якщо читати прогресію у зворотному порядку, її знаменником буде саме \(\dfrac{1}{q}\). Все зрозуміло? Тоді летимо далі.
Суму \(n\) перших членів рахують за формулою \(S_n = \dfrac{b_1(q^{n}-1)}{q-1}\) за умови \(q \ne 1\). Формулу отримують так: записують \(S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}\), множать обидві частини на \(q\) і почленно віднімають від нового рівняння попереднє. Усі середні доданки скорочуються, лишається \(S_n(q-1) = b_1(q^{n}-1)\).
Приклад: знайти суму перших семи членів прогресії \(2;\ -6;\ 18;\ \ldots\). Тут \(b_1 = 2\), а \(q = -3\). За формулою суми отримуємо \(S_7 = 1094\). Ту саму відповідь дає другий спосіб: спочатку знаходять \(b_7 = b_1 q^6 = 2 \cdot (-3)^6 = 1458\), а потім застосовують формулу \(S_n = \dfrac{b_n q – b_1}{q-1}\).
Нескінченно спадна геометрична прогресія – це прогресія, у якої модуль знаменника менший за одиницю, тобто \(|q| \lt 1\). У таких прогресіях зі зростанням номера \(n\) модулі членів необмежено зменшуються, наближаючись до нуля, і сума всієї нескінченної послідовності є скінченним числом: \(S = \dfrac{b_1}{1-q}\).
Саме на цій формулі будуються завдання на переведення періодичного десяткового дробу у звичайний, а також задачі, де відома сума нескінченної прогресії і треба знайти її перший член або знаменник.
Хочете план підготовки з математики під ваш рівень? Залиште імʼя і телефон, і ми передзвонимо.
- Знаменник прогресії: \(q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\). Знаменник знаходять, якщо будь-який член прогресії, починаючи з другого, поділити на попередній.
- Рекурентна формула: \(b_{n+1} = b_n \cdot q\), де \(b_1 \ne 0\), \(q \ne 0\).
- Формула \(n\)-го члена: \(b_n = b_1 q^{n-1}\), де \(b_1\) означає перший член, \(q\) знаменник, \(n\) порядковий номер члена.
- Сума \(n\) перших членів: \(S_n = \dfrac{b_1(q^{n}-1)}{q-1},\ q \ne 1\).
- Друга форма тієї самої суми: \(S_n = \dfrac{b_n q – b_1}{q – 1}\), нею зручно користуватися, коли відомі перший і \(n\)-й члени та знаменник.
- Окремий випадок: якщо \(q = 1\), то всі члени однакові й \(S_n = n b_1\).
- Характеристична властивість: \(b_n^{2} = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\), тобто квадрат будь-якого члена, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.
- Сума нескінченної прогресії: \(S = \dfrac{b_1}{1-q},\ |q| \lt 1\). Прогресію називають нескінченно спадною, якщо модуль її знаменника менший за одиницю.
❓ Часті запитання
Чим геометрична прогресія відрізняється від арифметичної?
Способом переходу до наступного члена: у геометричній кожен наступний член отримують множенням попереднього на сталий знаменник \(q\), у формулі \(b_n = b_1 q^{n-1}\). А в арифметичній прогресії до попереднього члена додають сталу різницю \(d\).
Як швидко знайти знаменник прогресії?
Поділіть будь-який член прогресії, починаючи з другого, на попередній: \(q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\). Це найшвидший спосіб, коли в умові дано два сусідні члени.
Чи може знаменник геометричної прогресії бути відʼємним?
Так. Заборонено лише \(q = 0\), а от відʼємний знаменник цілком можливий: наприклад, прогресія \(2;\ -6;\ 18;\ \ldots\) має \(q = -3\), і її члени чергують знаки.
Що робити, якщо знаменник дорівнює одиниці?
Тоді прогресія складається з однакових чисел, а суму рахують як \(S_n = n b_1\). Основну формулу суми в цьому випадку застосовувати не можна, бо її знаменник \(q-1\) перетворюється на нуль.
Коли існує сума нескінченної геометричної прогресії?
Лише за умови \(|q| \lt 1\), тобто для нескінченно спадної прогресії. Тоді \(S = \dfrac{b_1}{1-q}\).
Що саме з цієї теми питають на НМТ?
Означення геометричної прогресії, формулу \(n\)-го члена і формулу суми \(n\) перших членів, а також уміння розвʼязувати задачі на прогресії.