Чотирикутники й многокутники

Що таке многокутник і які його елементи

Многокутник – це фігура, складена з відрізків, у якої сусідні відрізки не лежать на одній прямій, а несусідні не мають спільних точок. Точки, у яких відрізки сходяться, називають вершинами, а самі відрізки сторонами. Кількість вершин многокутника дорівнює кількості його сторін.

Многокутник, що має \(n\) вершин, називають n-кутником. Найменша кількість вершин у многокутника – три, тобто трикутник, а чотирикутник – це наступний окремий вид многокутника. Відрізок, який сполучає дві несусідні вершини, називають діагоналлю. Сума довжин усіх сторін – це периметр.

Кути, сторони яких містять сторони многокутника, називають кутами многокутника. Якщо всі кути менші від розгорнутого, многокутник називають опуклим; якщо хоча б один кут більший за розгорнутий, многокутник неопуклий. Кут, суміжний із внутрішнім кутом многокутника, називають зовнішнім кутом.

Про чотирикутник підручник говорить окремо: у нього є вершини сусідні та протилежні, кути сусідні та протилежні, діагоналі й периметр. Саме на протилежних елементах тримається половина завдань теми.

Як знайти суму кутів чотирикутника й будь-якого многокутника

Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює \(180^\circ (n-2)\). Це і є та єдина формула, з якої виводяться майже всі кутові завдання теми.

Доведення просте, і його варто розуміти, а не заучувати. Візьміть у внутрішній області многокутника довільну точку \(O\) і сполучіть її з усіма вершинами. Утвориться \(n\) трикутників, сума всіх кутів яких дорівнює \(180^\circ \cdot n\). Сума кутів з вершиною в точці \(O\) дорівнює \(360^\circ\). Відняли їх і отримали \(180^\circ n – 360^\circ = 180^\circ (n-2)\).

Для чотирикутника це дає \(360^\circ\), для пʼятикутника \(180^\circ \cdot 3 = 540^\circ\), для шестикутника \(180^\circ \cdot 4 = 720^\circ\). У підручнику є показовий приклад: знайти кути опуклого пʼятикутника, якщо кожен наступний менший від попереднього на \(5^\circ\). Позначаємо більший кут через \(x\) і складаємо рівняння \(x + (x-5^\circ) + (x-10^\circ) + (x-15^\circ) + (x-20^\circ) = 540^\circ\).

Зворотна задача теж типова. Якщо відомий зовнішній кут правильного многокутника, кількість вершин знаходять із \(\beta_n = \dfrac{360^\circ}{n}\). Для \(\beta_n = 45^\circ\) отримуємо \(n = \dfrac{360^\circ}{45^\circ} = 8\). Той самий результат дає довший шлях через внутрішній кут \(135^\circ\) і рівняння \(\dfrac{180^\circ (n-2)}{n} = 135^\circ\).

Які властивості чотирикутників треба знати на НМТ

Ключова властивість паралелограма: протилежні кути рівні, протилежні сторони рівні й паралельні, а діагоналі в точці перетину діляться навпіл. Саме на цих трьох реченнях будуються завдання на градусну міру кута.

Коментар викладачки. Візьміть паралелограм \(ABCD\), де точка \(B\) лежить на прямій \(MC\), і відомо, що \(\angle MBA = 25^\circ\). Кути \(MBA\) і \(ABC\) суміжні, їхня сума \(180^\circ\), тому \(\angle ABC = 155^\circ\). А кут \(B\) і кут \(D\) – протилежні кути паралелограма, і за властивістю вони однакові. Все, завдання майже усне, і воно робиться однією властивістю, а не формулою.

Ромб – це паралелограм з рівними сторонами, і в нього додаються дві властивості: діагоналі перпендикулярні й діагоналі є бісектрисами кутів. Квадрат одночасно є і прямокутником, і ромбом, тому діагоналі квадрата теж взаємно перпендикулярні. У підручнику ці факти зібрані окремими параграфами: властивості паралелограма, властивості прямокутника, властивості ромба, властивості квадрата, властивості трапеції та властивості рівнобічної трапеції.

Трапеція має основи, бічні сторони й висоту, а її головна робоча властивість – середня лінія. У завданнях НМТ трапеція часто зʼявляється не сама по собі, а як частина паралелограма, відрізана висотою. Тому середню лінію трапеції треба вміти бачити навіть там, де слова «трапеція» в умові немає.

Коли чотирикутник можна вписати в коло, а коли описати навколо кола

Чотирикутник можна вписати в коло тоді, коли суми його протилежних кутів рівні \(180^\circ\), а описати навколо кола тоді, коли рівні суми протилежних сторін. Це дві різні умови, і плутати їх не варто.

Для вписаного чотирикутника \(ABCD\) виконується \(\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ\), і це доводиться через теорему про вписаний кут. Звідси одразу випливає корисний наслідок: якщо трапецію вписано в коло, то вона рівнобічна. Справді, у вписаному чотирикутнику \(\angle A + \angle C = 180^\circ\), а в трапеції \(\angle D + \angle C = 180^\circ\), тому \(\angle A = \angle D\).

Ознака вписаного чотирикутника працює у зворотний бік: якщо \(\angle B + \angle D = 180^\circ\), то навколо чотирикутника можна описати коло. Центром такого кола є точка перетину серединних перпендикулярів до сторін. Для прямокутника цей центр збігається з точкою перетину діагоналей.

Для описаного чотирикутника ключове рівняння \(AD + BC = AB + CD\). Доводиться воно властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола: якщо позначити ці відрізки \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), то обидві суми дають \(a+b+c+d\).

Навколо будь-якого правильного многокутника можна описати коло, і в будь-який правильний многокутник можна вписати коло, до того ж центри цих кіл збігаються. Цей спільний центр називають центром правильного многокутника, а перпендикуляр із центра до сторони називають апофемою: апофема – це і є радіус вписаного кола.