Модуль числа — це відстань від числа до нуля на числовій прямій. Саме тому модуль ніколи не буває відʼємним: \(|7| = 7\) і \(|-7| = 7\), бо обидва числа стоять на сім кроків від нуля, просто в різні боки. Формально: \(|a| = a\), якщо \(a \ge 0\), і \(|a| = -a\), якщо \(a \lt 0\).
Нижче: властивості модуля, чому \(\sqrt{a^2} = |a|\), порядок дій при обчисленні, рівняння і нерівності з модулем, графік \(y = |x|\), типові помилки і розбір реальних завдань НМТ.
🔑 Ключові формули
\(|a| = a\), якщо \(a \ge 0\)
\(|a| = -a\), якщо \(a \lt 0\)
\(|0| = 0\)
\(|a| \ge 0\)
\(|-a| = |a|\)
\(|a|^2 = a^2\)
\(\sqrt{a^2} = |a|\)
\(|a \cdot b| = |a| \cdot |b|\)
\(\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}\), де \(b \neq 0\)
\(|a – b|\) — відстань між точками \(a\) і \(b\)
\(|a – b| = |b – a|\)
\(|x| = c\) — два корені \(x = \pm c\) при \(c \gt 0\); один корінь \(x = 0\) при \(c = 0\); розв’язків немає при \(c \lt 0\)
\(|x| \lt c \Leftrightarrow -c \lt x \lt c\)
\(|x| \gt c \Leftrightarrow x \lt -c\) або \(x \gt c\)
Як розв'язувати — покроковий метод
-
1 Крок 1. Порахуйте вираз під модулем повністю
Дроби зведіть до спільного знаменника, десяткові — до десяткових, степені піднесіть. На цьому кроці модуль ще не чіпаємо, він просто стоїть і чекає.
Приклад: у виразі \(|2,3 – 4,8|\) спочатку рахуємо різницю: \(2,3 – 4,8 = -2,5\).
-
2 Крок 2. Подивіться на знак результату
Це єдине питання, на яке треба відповісти: додатне число вийшло чи відʼємне. Від відповіді залежить наступний крок.
-
3 Крок 3. Додатне або нуль — переписуємо без змін
Модуль нічого не змінює: \(|12| = 12\), \(|0| = 0\).
-
4 Крок 4. Відʼємне — змінюємо знаки
Змінюємо знак, і це вже відповідь: \(|-2,5| = 2,5\), \(|-12| = 12\).
Приклад із дробом: \(\left|\dfrac{5}{3} – 2\right|\). Зводимо до спільного знаменника: \(\dfrac{5}{3} – \dfrac{6}{3} = -\dfrac{1}{3}\). Модуль дає \(\dfrac{1}{3}\).
-
5 Крок 5. Перевірте себе: відповідь невідʼємна?
Якщо у вас вийшов мінус — ви помилилися, бо модуль відʼємним не буває. Цей крок стоїть останнім навмисно: він ловить помилку швидше, ніж повторний перерахунок.
-
6 Крок 6. Якщо це рівняння з модулем — розкрийте на два випадки
Спочатку залишіть модуль сам на сам з числом, тобто перенесіть усе інше в правий бік. Потім розкрийте на два випадки.
У рівнянні \(2 – |x| = 0,1\) спершу отримуємо \(|x| = 1,9\), а звідси \(x = 1,9\) або \(x = -1,9\). Обидва числа є коренями.
Коли модуль стоїть від виразу, принцип не змінюється: \(|x – 3| = 5\) дає \(x – 3 = 5\) або \(x – 3 = -5\), тобто \(x = 8\) або \(x = -2\).
-
7 Крок 7. Якщо це нерівність — замініть її проміжком
\(|x| \lt 4\) — це проміжок \((-4; 4)\). \(|x| \gt 4\) — це \((-\infty; -4)\) разом з \((4; +\infty)\).
Для \(|x – 1| \le 3\) робимо те саме: \(-3 \le x – 1 \le 3\), додаємо одиницю до всіх трьох частин і отримуємо \(-2 \le x \le 4\).
Якщо в нерівності є ще й дріб або квадратний тричлен, у пригоді стане метод інтервалів.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Обчисліть \(\left|2,3 – \dfrac{24}{5}\right|\).
Варіанти: \(2,25\); \(1,5\); \(0,2\); \(-2,5\); \(2,5\).
Переводимо дріб у десятковий: \(\dfrac{24}{5} = 4,8\). Далі \(2,3 - 4,8 = -2,5\), модуль дає \(2,5\).
Правильна відповідь: \(2,5\).
Підступ у тому, що серед варіантів навмисно стоїть \(-2,5\). Це відповідь для того, хто порахував різницю правильно, а про модуль забув. Таких, на жаль, більше, ніж тих, хто не впорався з дробом.
Укажіть варіант, що містить корінь рівняння \(2 – |x| = 0,1\).
Варіанти: \(1\); \(-1,9\); \(-0,1\); \(-3\); \(2,1\).
Спочатку виділяємо модуль: \(|x| = 2 - 0,1 = 1,9\). Отже \(x = 1,9\) або \(x = -1,9\).
Правильна відповідь: \(-1,9\) (у варіантах є тільки вона).
Зверніть увагу на формулювання умови: не «знайдіть корінь», а «варіант, що містить корінь». Коренів два, а в списку лишили один. Якщо ви знайшли \(1,9\), не побачили його серед варіантів і почали перераховувати — ви втратили хвилину на завданні, яке вже було розв'язане.
Обчисліть \(\left|\dfrac{2,5^2 – 7,5^2}{3,5 + 6,5}\right|\).
Варіанти: \(-5\); \(-1\); \(0,5\); \(1\); \(5\).
Чисельник: \(2,5^2 - 7,5^2 = 6,25 - 56,25 = -50\). Знаменник: \(3,5 + 6,5 = 10\). Дріб дорівнює \(-5\), модуль дає \(5\).
Правильна відповідь: \(5\).
Є і швидший шлях: чисельник — це різниця квадратів, \((2,5 - 7,5)(2,5 + 7,5) = -5 \cdot 10 = -50\), і рахувати квадрати взагалі не потрібно. Саме тут формули скороченого множення економлять секунди.
Узгодьте вираз \(\sqrt{a^2}\) з тотожно рівним йому виразом, якщо \(a \neq 0\) і \(a \neq 1\).
Серед варіантів: \(a\), \(2a\), \(\dfrac{1}{a}\), \(-a\), \(|a|\).
Правильна відповідь: \(|a|\), бо арифметичний корінь не може бути відʼємним, а про знак \(a\) в умові нічого не сказано.
Це завдання показує головне про модуль на НМТ: він приходить не як окрема тема «розв'яжіть рівняння з модулем», а як маленька деталь усередині іншого завдання. У 2026 році модуль чотири рази зʼявився саме в 16-му завданні на узгодження: 23 травня, 8 червня, 11 червня і 15 червня.
⚠️ Типові помилки учнів
Правильно \(|a|\), поки не сказано, що \(a \ge 0\). Підставте \(a = -6\): \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), і це \(|-6|\), а не \(-6\). Дистрактор \(a\) стоїть у варіантах спеціально для тих, хто скорочує корінь із квадратом автоматично.
\(|x| = 7\) — це \(x = 7\) і \(x = -7\), а не тільки перше. Рівняння з модулем при додатній правій частині завжди дає два корені.
Спочатку рахуємо все всередині, потім знімаємо знак. Інший порядок дає різні відповіді. Це найчастіша причина, чому обчислення правильні, а бал втрачено.
«Менше» дає один проміжок навколо нуля, «більше» — два по краях. Перевіряйте підстановкою нуля: якщо нуль підходить умові, значить проміжок навколо нуля.
Не має. Модуль невідʼємний, і це готова відповідь, а не помилка в обчисленнях. Випадок \(c \lt 0\) перевіряють частіше, ніж здається.
Найчастіша помилка одна і та сама: учень правильно рахує вираз під модулем і забуває зняти мінус. За 6 років роботи і понад 300 учнів я бачила це частіше, ніж усі інші помилки в темі разом. І найгірше, що дитина потім не розуміє, чому втратила бал — обчислення ж правильні. А відповідь з мінусом у складачів тесту завжди стоїть серед варіантів, це не випадковість.
Ще одна закономірність: різницю під модулем майже завжди підбирають так, щоб вона була відʼємною. Тоді неуважний учень напише відповідь з мінусом і потрапить у заготовлений варіант.
Раджу зробити так: після кожного завдання з модулем витрачайте одну секунду на питання «моя відповідь невідʼємна?». Якщо там мінус — ви знаєте, де шукати. Ця перевірка коштує секунду, а бал коштує дорожче. На курсі ми відпрацьовуємо саме цю звичку в тестовому режимі, бо на діагностиці її не має майже ніхто, а на НМТ вона рятує два-три завдання.
Дивись також: нерівності: лінійні, квадратні, дробові · метод інтервалів · властивості функції · формули скороченого множення · алгебра — повний розділ.
Модуль числа — це його значення без знака, тобто відстань від нуля. Записують двома вертикальними рисками: \(|a|\), читають «модуль а».
Геометричний зміст. \(|a|\) — це відстань від точки \(a\) до нуля, а \(|a – b|\) — відстань між точками \(a\) і \(b\). Перевірте: \(|5 – 9| = |-4| = 4\) і \(|9 – 5| = |4| = 4\). Відстань не залежить від напрямку вимірювання.
Графік \(y = |x|\) — це «галочка» з вершиною в точці \((0; 0)\): права половина — пряма \(y = x\), ліва — пряма \(y = -x\). Функція парна (бо \(|-x| = |x|\)), тому графік симетричний відносно осі \(y\); область значень \(y \ge 0\); функція спадає на \((-\infty; 0]\) і зростає на \([0; +\infty)\). Щоб отримати графік \(y = |f(x)|\) з графіка \(y = f(x)\), усе, що нижче осі \(x\), віддзеркалюють угору.
Не плутайте: модуль числа — це відстань до нуля на прямій, а модуль вектора — його довжина. У програмі НМТ вони стоять у різних розділах, і формули в них різні.
- Порахуйте вираз під модулем до кінця.
- Подивіться на знак: додатне або нуль — переписуємо, відʼємне — знімаємо мінус.
- Перевірте: відповідь невідʼємна? Якщо ні — помилка.
- Рівняння \(|x| = c\): \(x = \pm c\) при \(c \gt 0\); \(x = 0\) при \(c = 0\); немає розв’язків при \(c \lt 0\).
- Нерівність \(|x| \lt c\): один проміжок \(-c \lt x \lt c\). Нерівність \(|x| \gt c\): два проміжки \(x \lt -c\) або \(x \gt c\).
- Пастка: \(\sqrt{a^2} = |a|\), а не \(a\).
❓ Часті запитання
Що таке модуль числа простими словами
Модуль числа — це відстань від нього до нуля на числовій прямій, тобто число без знака. Позначають двома вертикальними рисками: \(|-8| = 8\) і \(|8| = 8\). Тому модуль ніколи не буває відʼємним, найменше його можливе значення — нуль.
Чому модуль не може бути відʼємним
Бо це відстань, а відстань відʼємною не буває. Формально: при \(a \ge 0\) модуль дорівнює самому числу, а при \(a \lt 0\) дорівнює протилежному числу \(-a\), яке вже додатне. Нуль — єдине число з модулем нуль.
Як знайти модуль числа
Спочатку обчисліть вираз під модулем до кінця, потім подивіться на знак результату. Додатне число або нуль переписуєте без змін, у відʼємного прибираєте мінус. Наприклад, \(|2,3 – 4,8| = |-2,5| = 2,5\). Порядок важливий: рахувати спочатку, знімати знак потім. Довести цей порядок до автоматизму допоможе підготовка з математики до НМТ у KEVIN.
Чому корінь квадратний з \(a^2\) дорівнює модулю \(a\), а не \(a\)
Тому що арифметичний квадратний корінь завжди невідʼємний, а \(a\) може бути відʼємним. Перевірте: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\), тобто \(|-6|\), а не \(-6\). Записувати \(\sqrt{a^2} = a\) можна лише тоді, коли з умови точно відомо, що \(a \ge 0\). У НМТ 2026 це вже було окремим завданням.
Скільки коренів має рівняння з модулем
Рівняння \(|x| = c\) має два корені \(x = \pm c\), якщо \(c > 0\); один корінь \(x = 0\), якщо \(c = 0\); і жодного, якщо \(c < 0\). Перевіряйте знак правої частини після спрощення, бо саме на випадку \(c < 0\) втрачають бали.
Як розв'язувати нерівності з модулем
Замініть модуль подвійною нерівністю або обʼєднанням двох. Запис \(|x| < c\) перетворюється на \(-c < x < c\) — один проміжок навколо нуля. Запис \(|x| > c\) дає \(x < -c\) або \(x > c\) — два проміжки по краях. Для складніших випадків беріть метод інтервалів.
Модуль числа і модуль вектора — це одне й те саме
Ні, це різні поняття. Модуль числа — відстань від числа до нуля на числовій прямій. Модуль вектора — його довжина, і в програмі НМТ він стоїть в іншому розділі, разом з координатами і скалярним добутком. Формули для них теж різні, не змішуйте.