Арифметичний квадратний корінь: властивості та НМТ

Означення. Арифметичний квадратний корінь із числа \(a\) — це невідʼємний корінь рівняння \(x^2 = a\). Позначають його \(\sqrt{a}\). Сам знак \(\sqrt{\phantom{a}}\) називають радикалом, а вираз, що стоїть під ним, підкореневим виразом. Читають запис просто: «квадратний корінь із числа \(a\)». Слово «арифметичний» під час читання домовилися не вживати, бо в школі інших коренів і не розглядають. Дію знаходження значення кореня називають добуванням квадратного кореня.

Звідки він узявся. Площа квадрата дорівнює 16 см\(^2\), скільки становить його сторона? Маємо рівняння \(x^2 = 16\), у нього два корені, 4 і \(-4\), бо \(4^2 = 16\) і \((-4)^2 = 16\). Обидва числа називають квадратними коренями із числа 16. Але сторона квадрата не може бути відʼємною, тому задачу задовольняє лише одне значення, 4. Саме його і назвали арифметичним квадратним коренем із числа 16.

Дві умови означення. Рівність \(\sqrt{a} = x\) правильна, якщо виконуються дві умови одночасно: 1) \(x \ge 0\); 2) \(x^2 = a\). А оскільки \(x^2\) невідʼємне за будь-якого \(x\), то і \(a \ge 0\).

Властивості. Властивостей, які реально працюють на НМТ, чотири: корінь з добутку, корінь з дробу, корінь із квадрата і корінь із степеня. Корінь з добутку двох невідʼємних чисел дорівнює добутку їхніх коренів: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) при \(a \ge 0\) і \(b \ge 0\). Правило поширюється і на три множники, і на більше. Корінь з дробу працює так само: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), лише тут \(b \gt 0\), бо не можна ділити на нуль. Обидві рівності читаються і справа наліво, і саме так їх найчастіше застосовують: \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{30}\).

Корінь із квадрата — найпідступніша властивість. \(\sqrt{a^2} = |a|\), тобто модуль числа \(a\), а не саме \(a\). Логіка тут пряма: результат добування кореня зобовʼязаний бути невідʼємним, а от \(a\) під квадратом теоретично може бути відʼємним, тому ставимо обовʼязково модуль. Четверта властивість — це узагальнення третьої на парний степінь: \(\sqrt{a^{2n}} = |a|^{\,n}\). Наприклад, \(\sqrt{a^{12}} = |a|^6 = a^6\), і тут модуль можна зняти, бо \(a^6\) невідʼємне за будь-якого \(a\). А от у \(\sqrt{p^6} = |p^3|\) модуль знімати не можна: при \(p \lt 0\) куб теж відʼємний, у такому випадку відповідь була би \(-p^3\).

Пʼята рівність, яку часто забувають окремо: \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\) при \(a \ge 0\). Це просто підстановка \(\sqrt{a}\) замість \(x\) в умову \(x^2 = a\). Саме вона дозволяє підносити ірраціональні вирази до степеня: \(\left(3\sqrt{2}\right)^2 = 9 \cdot 2 = 18\).

Підкореневий вираз і ОДЗ. Відʼємним підкореневий вираз бути не може, а нулем може. Запис із відʼємним підкореневим числом просто не має змісту: немає числа, квадрат якого дорівнював би, скажімо, \(-16\), тому \(\sqrt{-16}\) на НМТ не обчислюють. А нуль легальний: \(\sqrt{0} = 0\), бо обидві умови означення виконані, \(0 \ge 0\) і \(0^2 = 0\). Умова на підкореневий вираз завжди нестрога, \(\ge 0\), а не \(\gt 0\); строгою вона стає лише тоді, коли корінь стоїть у знаменнику дробу. Вираз \(\sqrt{f(x)}\) має зміст тоді і лише тоді, коли \(f(x) \ge 0\). ОДЗ — це область допустимих значень змінної, тобто всі значення, за яких запис узагалі має сенс. Для \(\sqrt{x – 7}\) виходить \(x \ge 7\), для \(\sqrt{5 – 2x}\) виходить \(x \le 2{,}5\). Детальніше про роботу з ОДЗ у складніших випадках дивіться в темі означення функції, ОДЗ, графік, а сам інструмент нерівностей — у темі лінійні нерівності.

Винесення та внесення множника. Розкладіть підкореневе число на добуток, у якому один множник є повним квадратом, і застосуйте \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\): \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}\). Беріть найбільший можливий квадрат, інакше доведеться спрощувати двічі. Зі змінними логіка та сама, лише степінь розбиваємо на парну частину і залишок: \(\sqrt{x^{11}} = \sqrt{x^{10} \cdot x} = x^5\sqrt{x}\), причому такий вираз має зміст лише при \(x \ge 0\). Обернена дія називається внесенням множника під знак кореня: \(2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}\), і вносити можна лише додатний множник; якщо перед коренем стоїть \(m\), знак якого невідомий, випадки \(m \ge 0\) і \(m \lt 0\) розглядають окремо. Навіщо все це на тесті? Щоб зʼявилися подібні радикали, які додаються і віднімаються як подібні доданки: \(3\sqrt{2} – 2\sqrt{2} = \sqrt{2}\).

Обчислення без калькулятора. З невеликих чисел корінь добувають усно, а для решти є три прийоми, і всі три законні на НМТ. Перший: таблиця квадратів двоцифрових чисел (у довіднику, який надається на НМТ, така таблиця є на першій сторінці) — \(64^2 = 4096\), отже \(\sqrt{4096} = 64\). Другий: спочатку добийте підкореневий вираз до числа, потім добувайте корінь, а не навпаки — \(\sqrt{37^2 – 12^2}\) означає знайти \(1369 – 144 = 1225\), а вже потім \(\sqrt{1225} = 35\). Третій і найкорисніший — оцінка між двома сусідніми квадратами.

Корінь з числа чи корінь рівняння. Це два різні поняття з однаковою назвою, і плутанина тут коштує балів щороку. Корінь рівняння — це його розвʼязок, тобто значення змінної, яке перетворює рівняння на правильну рівність. Він може бути будь-яким числом, зокрема відʼємним: у рівняння \(x^2 = 9\) два корені, 3 і \(-3\). Арифметичний квадратний корінь із числа — це конкретне невідʼємне значення, і воно одне: \(\sqrt{9} = 3\). Не \(-3\) і не \(\pm 3\). Мінус може стояти перед радикалом, як у записі \(-\sqrt{9} = -3\), але це вже інший вираз: спочатку добули корінь, потім поставили мінус. Знак \(\pm\) приходить не з кореня, а з рівняння: розвʼязуючи \(x^2 = 9\), ви шукаєте всі числа, квадрат яких дає 9, а таких два. Радикал ви зустрінете і в темі дискримінант квадратного рівняння, там \(\sqrt{D}\) працює за точно тими самими правилами.

Де це на НМТ. Завдання цієї теми на НМТ живуть у першій частині тесту, з вибором однієї відповіді з пʼяти, і майже завжди перевіряють одну з трьох речей: модуль, винесення множника або просте ірраціональне рівняння. Завдання з коренем є у варіантах усіх років, від 2023-го до 2026-го, і навіть у демонстраційному варіанті НМТ-2026.