Функції – наскрізна тема НМТ-математики. Трапляються прямо (задачі на властивості, на графіки) і непрямо – у квадратних нерівностях, тригонометрії, похідній. Без 5 базових властивостей більшість таких задач доводиться рахувати «у лоб», а з ними частина розв’язується усно.
Нижче: 5 властивостей (ОДЗ, область значень, парність, монотонність, період), прийом викладачів KEVIN на впізнавання 6 базових графіків, типові помилки та живі приклади з НМТ.
🔑 Ключові формули
D(f) – множина усіх x, для яких f(x) має сенс.
- y = 1/x → D = ℝ \ {0}
- y = √x → D = [0; +∞)
- y = logax → D = (0; +∞)
- y = tg x → D = ℝ \ {π/2 + πn}
E(f) – множина усіх значень y, які приймає функція.
- y = x² → E = [0; +∞)
- y = sin x → E = [−1; 1]
- y = aˣ (a > 0, a ≠ 1) → E = (0; +∞)
f(−x) = f(x) для всіх x із D(f).
Графік симетричний відносно осі Oy.
Приклади: y = x², y = |x|, y = cos x.
f(−x) = −f(x) для всіх x із D(f).
Графік симетричний відносно початку координат.
Приклади: y = x³, y = 1/x, y = sin x, y = tg x.
f(x + T) = f(x) для деякого T > 0.
Найменший додатний T – головний період.
Періоди тригонометричних: sin, cos → 2π; tg, ctg → π.
Як розв'язувати — покроковий метод
-
1 Крок 1. Визначте тип функції за виглядом формули
Подивіться на формулу і впізнайте форму:
- y = kx + b → лінійна
- y = ax² + bx + c → квадратична
- y = k/x → обернена пропорційність
- y = aˣ → показникова
- y = logax → логарифмічна
- y = sin x, cos x, tg x, ctg x → тригонометрична
-
2 Прийом викладачів KEVIN №20. Знайте 6 базових форм графіків
На тестових задачах «який це графік?» учні часто рахують точки. Швидше – упізнавати форму. Шість форм, які треба знати без розрахунку:
- Лінійна y = kx + b – пряма.
- Гіпербола y = k/x – дві вітки у I і III чвертях (при k > 0).
- Парабола y = ax² + bx + c – вітки вгору при a > 0, вниз при a < 0.
- Модуль y = |x| – «галочка» з вершиною в (0; 0).
- Кубічна парабола y = x³ – крива через початок із характерним вигином.
- Корінь y = √x – вітка параболи, що виходить із точки (0; 0) і йде вправо вгору.
-
3 Крок 2. Знайдіть D(f) - випишіть усі обмеження
На кожен тип функції є свої обмеження:
- Знаменник ≠ 0
- Підкореневий вираз ≥ 0 (для парного степеня кореня)
- Аргумент логарифма > 0
- Аргумент тангенса ≠ π/2 + πn
Якщо у функції одночасно і корінь, і дробова частина – застосуйте обидва обмеження і знайдіть перетин множин.
-
4 Крок 3. Знайдіть E(f) - через графік або базову форму
E(f) для базових форм треба знати: для y = x² → E = [0; +∞), для y = sin x → E = [−1; 1], для y = aˣ → E = (0; +∞). Для квадратичної знаходьте через вершину параболи: x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀). Якщо a > 0 → E = [y₀; +∞), якщо a < 0 → E = (−∞; y₀].
-
5 Крок 4. Перевірте парність - підставте −x
Підставте у формулу значення −x замість x і спростіть.
- Якщо вийшло те саме f(x) – функція парна.
- Якщо вийшло −f(x) – функція непарна.
- Якщо ні те, ні інше – функція загального вигляду.
Зверніть увагу: якщо D(f) несиметрична відносно нуля (наприклад, x ≥ 0) – функція автоматично загального вигляду, перевірка парності не потрібна.
-
6 Крок 5. Для тригонометричних - знайдіть період
Для y = sin(kx) або y = cos(kx) період T = 2π/|k|. Для y = tg(kx) → T = π/|k|. Для суми тригонометричних з різним k – найменше спільне кратне періодів.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Знайдіть область визначення функції y = √(x − 3) + 1/(x − 5).
Випишемо обмеження:
- Підкореневий вираз ≥ 0 → x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3
- Знаменник ≠ 0 → x − 5 ≠ 0 → x ≠ 5
Перетин: D(f) = [3; 5) ∪ (5; +∞).
Чи є функція y = sin x · cos x парною, непарною або загального вигляду?
Перевіримо: f(−x) = sin(−x) · cos(−x) = (−sin x) · (cos x) = −(sin x · cos x) = −f(x).
Отже, функція непарна. Графік симетричний відносно початку координат.
Альтернативне обґрунтування: sin x · cos x = ½ · sin 2x, а sin 2x - непарна функція.
⚠️ Типові помилки учнів
D - для аргументу x (що можна підставити). E - для значень y (що може вийти). На НМТ часто питають «знайди область значень», а учні шукають область визначення і втрачають бал.
Типовий випадок: y = √(x − 3)/log(x − 2). Учень знаходить обмеження для кореня (x ≥ 3) і пропускає обмеження для логарифма (x > 2) або для знаменника (log(x − 2) ≠ 0 → x ≠ 3). Правильна ОДЗ враховує усі три умови.
Назва «парний степінь» (x², x⁴) не пов'язана з назвою «парна функція». Перевірка: f(−x) = (−x)² = x² = f(x) - отже, y = x² парна. Аналогічно y = x³ непарна, бо (−x)³ = −x³.
y = x, y = x², y = aˣ, y = logax - не періодичні. Період існує, якщо значення функції повторюються через певний проміжок. Серед елементарних функцій періодичні тільки тригонометричні.
y = f(x − a) - зсув графіка вправо на a, не вліво. Це контр-інтуїтивно: мінус усередині дужок дає зсув у бік збільшення x. Запам'ятайте через приклад: y = (x − 3)² - це парабола з вершиною у точці x = 3.
Властивості функції – це інструменти, які працюють у фоні на кожній задачі. Нерівність x² < 9 без знання, що y = x² парна, доводиться розв’язувати через корені. Зі знанням властивості – одразу видно симетрію відносно нуля і відповідь x ∈ (−3; 3).
Задачі «який це графік?» або «знайди область значень» – це бали для тих, хто витратив час на 6 базових форм (прийом №20). Тренувати найкраще не по одній задачі за раз, а блоками: п’ять задач на ОДЗ, потім п’ять на парність, потім п’ять на період.
Дивіться також: Pillar: Функції на НМТ, Дискримінант квадратного рівняння, Формули скороченого множення.
Якщо застрягли на конкретній темі – запишіться на безкоштовну онлайн-діагностику з викладачем KEVIN. Покажемо, де саме провал з функціями, і складемо план підготовки. Залишити заявку →
Функція – це правило, яке кожному значенню x із області визначення ставить у відповідність єдине значення y. Якщо одному x відповідає два різні y – це вже не функція.
Записують y = f(x). Читається «y дорівнює f від x».
5 базових властивостей функції, які треба знати на НМТ:
- Область визначення D(f) – множина усіх x, які можна підставити.
- Область значень E(f) – множина усіх y, які може приймати функція.
- Монотонність – функція зростає або спадає на проміжку.
- Парність – f(−x) = f(x) (парна, графік симетричний відносно осі Oy) або f(−x) = −f(x) (непарна, симетричний відносно (0; 0)).
- Періодичність – існує T > 0 таке, що f(x + T) = f(x). Стосується в основному тригонометричних функцій.
Ці п’ять властивостей потрібні до того, як братися за рівняння, нерівності або похідну. Інакше задача розв’язується довше, ніж могла б.
- D(f) – випишіть усі обмеження і знайдіть перетин.
- E(f) – через графік або через базову форму функції.
- Парність – підставте −x і порівняйте з f(x).
- Період (для тригонометричних) – T = 2π/|k| для sin, cos; T = π/|k| для tg, ctg.
❓ Часті запитання
Як знайти область визначення D(f)?
Випишіть усі обмеження для функції: знаменник ≠ 0, підкореневий вираз ≥ 0 (для парного степеня), аргумент логарифма > 0, аргумент тангенса ≠ π/2 + πn. Знайдіть перетин множин – це і є D(f).
Що означає «функція зростає на проміжку»?
Для будь-яких x₁ < x₂ з проміжку виконується f(x₁) < f(x₂). Спадає – навпаки. На НМТ часто перевіряють через похідну: f'(x) > 0 на проміжку означає, що функція зростає; f'(x) < 0 – спадає.
Як перевірити, парна функція чи непарна?
Підставте у формулу −x замість x і спростіть. Якщо результат збігся з f(x) – функція парна. Якщо вийшло −f(x) – непарна. Якщо ні те, ні інше – функція загального вигляду. Завжди починайте з перевірки симетричності D(f) відносно нуля.
Чи всі тригонометричні функції періодичні?
Так. sin x і cos x мають період 2π; tg x і ctg x – період π. Якщо у аргументі є коефіцієнт (sin 2x), період ділиться на цей коефіцієнт: T = 2π/2 = π.
Як знайти область значень E(f) для квадратичної функції?
Знайдіть координати вершини параболи: x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀). Якщо a > 0, парабола вітками вгору, E = [y₀; +∞). Якщо a < 0, парабола вітками вниз, E = (−∞; y₀].
Що таке перетворення графіка?
Це спосіб отримати графік нової функції з графіка базової без побудови з нуля. Чотири основні: зсув по x (y = f(x − a) – вправо на a), зсув по y (y = f(x) + b – вгору на b), розтяг (y = k · f(x)), віддзеркалення (y = −f(x) – відносно осі Ox).
Чому треба знати властивості, якщо у задачі вже дана формула?
Властивості дозволяють розв’язати задачу без побудови графіка. Приклад: «скільки розв’язків має sin x = 0,5 на проміжку [0; 2π]?» – без знання періодичності і симетрії потрібно будувати графік або одиничне коло. Зі знанням властивостей відповідь видно одразу.