Корінь \(n\)-го степеня з числа \(a\) — це таке число, \(n\)-й степінь якого дорівнює \(a\). Тобто якщо \(x^n = a\), то \(x\) і є коренем \(n\)-го степеня з \(a\) (\(n\) — натуральне, \(n \gt 1\)). При непарному \(n\) корінь існує для будь-якого \(a\), зокрема від’ємного; при парному \(n\) підкореневий вираз має бути невід’ємним, і тоді \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\). Тема стоїть у програмі НМТ у розділі «ЧИСЛА І ВИРАЗИ» (тема «Дійсні числа») на рівні стандарту, тож обов’язкова для всіх.
Нижче: означення кореня та термінологія (радикал, підкореневий вираз, показник кореня), арифметичний корінь і формула з модулем, усі шість властивостей коренів, добування кореня з від’ємного числа, таблиця кубів і обчислення кубічного кореня, дії з коренями (множення, ділення, додавання подібних радикалів), винесення й внесення множника під корінь, зв’язок зі степенем з раціональним показником, покроковий метод розв’язання, розбір чотирьох реальних завдань НМТ, типові помилки, міні-тест і відповіді на поширені запитання.
🔑 Ключові формули
\(\sqrt[n]{a} = x\), якщо \(x^n = a\), де \(n \in N, n \gt 1\)
\(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\)
\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b \neq 0\)
\(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}\)
\(\sqrt[n]{a^{kn}} = a^k\)
\(\sqrt[mn]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^k}\)
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\)
\(\sqrt[n]{a^n} = |a|\) при парному \(n\)
\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) при \(a \gt 0\)
Як розв'язувати — покроковий метод
-
1 Крок 1. Подивіться на показник кореня
Парний чи непарний? Від цього залежить, чи взагалі існує вираз і чи буде у відповіді модуль. Це перше, що я роблю, ще до обчислень. При непарному \(n\) корінь \(\sqrt[n]{a}\) існує для будь-якого \(a\), зокрема від’ємного, і він єдиний. При парному \(n\) підкореневий вираз має бути невід’ємним, інакше вираз не має змісту.
-
2 Крок 2. Спростіть підкореневий вираз
Скоротіть дріб, розкладіть число на множники, згорніть за формулами. Часто після цього кроку корінь добувається усно. Наприклад, \(\sqrt[4]{\dfrac{243}{48}}\): спочатку скорочуємо дріб на 3 і отримуємо \(\dfrac{81}{16}\) — і одразу видно четверті степені.
-
3 Крок 3. Застосуйте властивості
Розбийте корінь з добутку чи частки на окремі корені, скоротіть показник кореня з показником степеня. Пам’ятайте: показники скорочуються, як дріб, а не перемножуються.
-
4 Крок 4. Перепишіть степенем, якщо вираз змішаний
Є і корінь, і степінь — переходьте на дробові показники за формулою \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\), далі це звичайна арифметика показників. Багато завдань НМТ саме на це й розраховані: під одним виразом стоять і корінь, і степінь, і логарифм одночасно.
-
5 Крок 5. Перевірте відповідь піднесенням до степеня
Отримали \(x\) — піднесіть у \(n\)-й степінь і зіставте з підкореневим виразом. Займає п’ять секунд і ловить майже всі описки.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Обчисліть \(\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt{36}\). Варіанти: \(12\); \(6 \cdot \sqrt[9]{2}\); \(6 \cdot \sqrt[6]{2}\); \(72\); \(6\sqrt{2}\).
Показник кореня 3 і показник степеня 3 скорочуються, тому \(\sqrt[3]{2^3} = 2\). Далі \(\sqrt{36} = 6\). Множимо: \(2 \cdot 6 = 12\).
Відповідь: 12.
Дивіться, де тут підступ: два дистрактори, \(6\sqrt[9]{2}\) і \(6\sqrt[6]{2}\), складені саме для тих, хто множить показник кореня на показник степеня замість того, щоб їх скоротити. Показники кореня і степеня скорочуються, а не перемножуються.
Узгодьте вираз (1–3) з його значенням (А – Д). 1) \(|-2| \cdot 2^0\); 2) \(\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}\); 3) \(3^{-\log_3 2}\). А) \(-2\); Б) \(-0{,}5\); В) \(0\); Г) \(0{,}5\); Д) \(2\).
Модуль: \(|-2| \cdot 2^0 = 2 \cdot 1 = 2\), це варіант Д.
Корінь: показник кореня 3, він непарний, значить відʼємне число під коренем — це нормально. Шукаємо число, куб якого дорівнює \(-\dfrac{1}{8}\). Це \(-0{,}5\), бо \((-0{,}5)^3 = -0{,}125 = -\dfrac{1}{8}\), варіант Б.
Логарифм: \(3^{-\log_3 2} = \dfrac{1}{3^{\log_3 2}} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\), варіант Г.
Відповідь: 1-Д, 2-Б, 3-Г.
Тема кореня тут перевіряється в комплекті з модулем і логарифмом, тому корисно розвʼязати всі три рядки, а не лише свій.
Узгодьте вираз (1–3) із твердженням про його значення (А – Д), що є правильним для цього виразу. 1) \(\sqrt[3]{-27}\); 2) \(\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{300}}\); 3) \((\sqrt{3}-1)^2+2\sqrt{3}\). А) є цілим відʼємним числом; Б) є ірраціональним додатним числом; В) є ірраціональним відʼємним числом; Г) є натуральним числом; Д) є раціональним нецілим числом.
Розв'язання по частинах.
\(\sqrt[3]{-27} = -3\): показник непарний, тому значення існує, і це ціле від'ємне число.
\(\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{300}} = \sqrt{\dfrac{12}{300}} = \sqrt{\dfrac{1}{25}} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\), тобто раціональне неціле.
Третій вираз розкриваємо за формулою квадрата різниці: \((\sqrt{3}-1)^2 + 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3} = 4\), натуральне число.
Відповідь: 1-А, 2-Д, 3-Г.
Пастка тут у третьому виразі: там є радикал, і рука сама тягнеться написати «ірраціональне», а корені взаємно знищуються. Якщо ви плаваєте в розкриванні дужок, спершу повторіть формули скороченого множення, без них це завдання не закрити.
Обчисліть \(\sqrt[4]{\dfrac{243}{48}}\). Варіанти: \(1{,}5\); \(0{,}5\); \(\dfrac{1}{6}\); \(1\); \(3\).
Спочатку скорочуємо дріб на 3, отримуємо \(\dfrac{81}{16}\). Тепер обидва числа — це четверті степені: \(\sqrt[4]{81} = 3\), \(\sqrt[4]{16} = 2\). Значить \(\sqrt[4]{\dfrac{81}{16}} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\).
Відповідь: 1,5.
Тут увесь підступ у порядку дій: якщо кинутися добувати корені з 243 і 48 одразу, цілих значень не буде і завдання здається нерозв'язним. Спочатку скорочення, потім корінь.
Спростіть вираз \(p^2 \cdot \left(\sqrt[3]{p^6}\right)^4\). Варіанти: \(p^{16}\); \(p^{14}\); \(p^{10}\); \(p^8\); \(p^{12}\).
Спочатку \(\sqrt[3]{p^6} = p^2\), далі \((p^2)^4 = p^8\), і \(p^2 \cdot p^8 = p^{10}\).
Відповідь: \(p^{10}\).
Знайдіть вираз, тотожно рівний \(\sqrt[3]{\dfrac{27}{a^3}}\), якщо \(a \neq 0\).
Корінь з частки розкладаємо на дві частини і добуваємо кубічні корені з 27 і \(a^3\): \(\sqrt[3]{\dfrac{27}{a^3}} = \dfrac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{a^3}} = \dfrac{3}{a}\).
Відповідь: \(\dfrac{3}{a}\).
Один крок — і страшний вираз став дробом.
Складніше, на виріст: обчисліть \(\log_{8}\sqrt[3]{2}\). Варіанти: \(1\); \(\dfrac{1}{9}\); \(\sqrt{3}\); \(3\); \(81\).
Переписуємо корінь степенем: \(\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}\), і виносимо показник за знак логарифма.
Відповідь: \(\dfrac{1}{9}\).
Третє завдання показує, чому корені варто вміти переписувати степенями: без цього логарифм не рухається з місця. Розбір таких завдань чекає на сторінці логарифмічних і показникових рівнянь.
⚠️ Типові помилки учнів
Найчастіша помилка на діагностиках. Учень бачить мінус під коренем і автоматично пише «не існує», хоча показник непарний і корінь чудово існує. Або навпаки, спокійно добуває корінь четвертого степеня з від'ємного числа. За 6 років і понад 300 учнів я бачила цю плутанину частіше за всі інші в темі.
Пишуть \(\sqrt[4]{a^4} = a\) замість \(|a|\), і завдання з буквами одразу летить. При парному показнику результат мусить бути невід'ємним, і модуль — єдиний спосіб це забезпечити.
\(\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{27}\) — це \(2 + 3 = 5\), а не \(\sqrt[3]{35}\). Додавати корені «по шматках» не можна: \(\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} \ne \sqrt[n]{a + b}\). Додаються тільки подібні радикали, у яких однакові і показник кореня, і підкореневий вираз.
Показник кореня і показник степеня скорочуються, як дріб, а не перемножуються. Саме на цю помилку розраховані дистрактори демо-варіанта 2026 (\(6 \cdot \sqrt[9]{2}\) і \(6 \cdot \sqrt[6]{2}\)).
У \(\sqrt[4]{\dfrac{243}{48}}\) якщо кинутися добувати корені з 243 і 48 одразу, цілих значень не буде і завдання здається нерозв'язним. Спочатку скорочення, потім корінь.
У виразі \((\sqrt{3}-1)^2 + 2\sqrt{3}\) рука сама тягнеться написати «ірраціональне», а корені взаємно знищуються: \(3 - 2\sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3} = 4\), натуральне число.
Дивіться, чому це не «додаткова» тема: корінь (n)-го степеня стоїть у програмі НМТ на рівні стандарту, тобто його складають усі, а не тільки профільники. Я не даю ці формули «просто запам’ятати»: кожна з них перевіряється піднесенням до степеня (n), і ви можете відновити будь-яку прямо на чернетці.
Раджу спершу вивчити десять кубів напам’ять — це десять хвилин роботи, а економить на тесті хвилини на кожному завданні з радикалами. І ще одна звичка, яку я ставлю першою: перед обчисленнями подивитися на парність показника. Це буквально перше, що я роблю сама.
За 6 років і понад 300 учнів я бачила плутанину з парністю показника частіше за всі інші помилки в темі, тому на курсі ми відпрацьовуємо перевірку парності окремим блоком завданнячок, поки вона не стане автоматичною. Я не сварю за ці помилки, вони абсолютно нормальні на старті. Але кожна з них має свою просту перевірку. Перед тим як записати відповідь, поставте собі три питання: показник парний чи ні, чи потрібен модуль, чи можна було спочатку скоротити. І ось ви один раз це зрозумієте — і тема закривається назавжди.
Одна тема це добре, а в розділі «Числа і вирази» їх ще з десяток, і на курсі ми проходимо їх усі за такою самою логікою: спочатку завдання, потім правило, яке з нього випливає. Після коренів логічно йти в показникову та логарифмічну функції — там степінь з раціональним показником використовується постійно.
Дивись також: Алгебра · Формули скороченого множення · Показникова та логарифмічна функції · Логарифмічні та показникові рівняння · Усі формули для НМТ
Означення. Корінь n-го степеня з числа \(a\) — це число, яке в n-му степені дає \(a\). Тобто \(\sqrt[n]{a} = x\), якщо \(x^n = a\), де \(n \in N, n \gt 1\). Перевірка завжди одна: піднесли відповідь у степінь \(n\), отримали підкореневе число — значить усе правильно. Наприклад, \(\sqrt[3]{8} = 2\), бо \(2^3 = 8\), і \(\sqrt[4]{81} = 3\), бо \(3^4 = 81\).
Термінологія. Вона потрібна, бо цими словами написані умови завдань. Знак \(\sqrt[n]{\ }\) називають радикалом, вираз під ним — підкореневим виразом, а число \(n\) над знаком — показником кореня. Ці назви ви вже бачили у 8 класі для квадратного кореня: там показник 2 просто не пишуть. Саму дію знаходження значення кореня називають добуванням кореня.
Арифметичний корінь n-го степеня. Це невід’ємний корінь n-го степеня з \(a\). Різниця з’являється при парному показнику: рівняння \(x^4 = 81\) має два розв’язки, 3 і \(-3\), а от \(\sqrt[4]{81}\) дорівнює лише 3. Запис із радикалом за домовленістю позначає саме невід’ємне значення, тому \(\sqrt[4]{81} \neq -3\). Звідси випливає формула, на якій сиплються навіть сильні учні: при парному \(n\) справджується \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\), а не просто \(a\). Модуль тут не для краси: якщо \(a\) від’ємне, то \(\sqrt[n]{a^n}\) мусить бути невід’ємним, і модуль — єдиний спосіб це забезпечити. Наприклад, \(\sqrt[4]{(-3)^4} = |-3| = 3\). Програма НМТ окремо вимагає вміння використовувати властивості модуля, тобто зв’язку «корінь плюс модуль» на тесті не обійти.
Властивості кореня n-го степеня. Робочих властивостей шість, і всі вони дозволяють одне: розібрати складний радикал на прості. Корінь з добутку розкладається на добуток коренів: \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\). Корінь з частки — на частку коренів. Степінь можна вносити під корінь і виносити з-під нього: \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}\). Показник кореня і показник степеня скорочуються, як дріб: \(\sqrt[6]{a^4} = \sqrt[3]{a^2}\). Корінь з кореня — це один корінь із перемноженими показниками: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\). Кожна з цих формул перевіряється піднесенням до степеня \(n\), тож ви можете відновити будь-яку прямо на чернетці.
Корінь з від’ємного числа. Можна, якщо показник кореня непарний. Це ядро всієї теми: при непарному \(n\) корінь \(\sqrt[n]{a}\) існує для будь-якого \(a\), зокрема від’ємного, і він єдиний. При парному \(n\) підкореневий вираз має бути невід’ємним, інакше вираз не має змісту. Тобто \(\sqrt[3]{-27} = -3\), бо \((-3)^3 = -27\), а \(\sqrt[4]{-81}\) не існує серед дійсних чисел, бо будь-яке число в четвертому степені невід’ємне. Логіка проста: непарний степінь зберігає знак числа, парний завжди дає плюс. Корінь з від’ємного числа при непарному показнику дає від’ємне число, і воно спокійно може бути цілим.
Кубічний корінь. Кубічний корінь із числа \(a\) — це число, куб якого дорівнює \(a\), і на НМТ його майже завжди добувають усно, з таблиці кубів. Окремої формули тут немає, є навичка впізнавання: якщо ви бачите під коренем 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 або 1000, відповідь ви вже знаєте. \(1^3 = 1\), \(2^3 = 8\), \(3^3 = 27\), \(4^3 = 64\), \(5^3 = 125\), \(6^3 = 216\), \(7^3 = 343\), \(8^3 = 512\), \(9^3 = 729\), \(10^3 = 1000\). Для дробів працює те саме, тільки окремо для чисельника і знаменника: \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\). І пам’ятайте про знак: показник 3 непарний, тому \(\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}} = -0{,}5\).
Дії з коренями. Множити й ділити корені можна лише тоді, коли в них однаковий показник: \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\). Показники різні — спочатку зводимо їх до спільного, як знаменники дробів, і тільки потім множимо. Додавати корені взагалі не можна «по шматках»: \(\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}\) не дорівнює \(\sqrt[n]{a + b}\). Додаються тільки подібні радикали, тобто ті, у яких однакові і показник кореня, і підкореневий вираз: \(2\sqrt[3]{5} + 4\sqrt[3]{5} = 6\sqrt[3]{5}\), рівно як подібні доданки. А от \(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}\) згорнути нічим, це остаточна відповідь. Найшвидше перевірити себе так: підставте замість букв конкретні числа й порахуйте обидві частини. Якщо рівність не виконується на числах, значить, ви щойно винайшли неправильну формулу.
Винесення й внесення множника. Щоб винести множник з-під радикала, розкладіть підкореневий вираз на множники так, щоб один із них був n-м степенем, і добудьте з нього корінь. Наприклад, \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}\). Для букв усе так само: \(\sqrt[3]{p^7} = \sqrt[3]{p^6 \cdot p} = p^2 \sqrt[3]{p}\). Обернена дія теж потрібна: щоб внести множник під корінь, підносимо його до степеня \(n\), тобто \(2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}\). Ця пара дій потрібна, коли треба порівняти два радикали або впізнати серед варіантів відповіді свій вираз у іншому вигляді.
Степінь з раціональним показником. Будь-який корінь можна записати степенем: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) при \(a \gt 0\). Знаменник дробового показника — це показник кореня, чисельник — це степінь підкореневого виразу. Тому \(\sqrt[3]{p^6} = p^{\frac{6}{3}} = p^2\), а \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\). Оце і є найкорисніший інструмент теми: коли радикали переписані степенями, працюють звичні правила дій зі степенями, і плутатися стає нічим. Багато завдань НМТ саме на це й розраховані: там під одним виразом стоять і корінь, і степінь, і логарифм одночасно.
Місце в програмі НМТ. У програмі НМТ з математики означення кореня n-го степеня та арифметичного кореня n-го степеня і властивості коренів стоять у розділі «ЧИСЛА І ВИРАЗИ», тема «Дійсні числа», причому на рівні стандарту, а не тільки на профільному. Це означає, що тема обов’язкова для всіх, хто складає математику. У тестах, які є в нашій базі, вона є в демонстраційному варіанті НМТ 2026 (завдання 9), в основній сесії 2026 (17.06, завдання 16 та 03.06) і в трьох варіантах 2025 року (31.05, 04.06, 11.06). У школі ви проходите її в 10 класі.
- Подивіться на показник кореня: парний чи непарний (існування виразу і модуль).
- Спростіть підкореневий вираз: скоротіть дріб, розкладіть на множники, згорніть за формулами.
- Застосуйте властивості: корінь з добутку/частки на окремі корені, скоротіть показники.
- Перепишіть степенем з раціональним показником, якщо у виразі є і корінь, і степінь.
- Перевірте відповідь піднесенням до \(n\)-го степеня.
- Розкладаємо число на прості множники.
- Шукаємо групи по \(n\) однакових множників.
- Кожну таку групу виносимо як один множник.
- Решта лишається під коренем: \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}\).
- Обернена дія: щоб внести множник під корінь, підносимо його до степеня \(n\): \(2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}\).
- \(1^3 = 1\), \(2^3 = 8\), \(3^3 = 27\), \(4^3 = 64\), \(5^3 = 125\)
- \(6^3 = 216\), \(7^3 = 343\), \(8^3 = 512\), \(9^3 = 729\), \(10^3 = 1000\)
- Для дробів — окремо чисельник і знаменник: \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\)
- Показник 3 непарний, тому \(\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}} = -0{,}5\)
- Показник парний чи ні?
- Чи потрібен модуль?
- Чи можна було спочатку скоротити?
❓ Часті запитання
Що таке корінь n-го степеня простими словами?
Це число, яке треба помножити саме на себе n разів, щоб отримати підкореневе число. Наприклад, корінь третього степеня з 8 дорівнює 2, бо 2 у кубі дає 8. Перевірка завжди одна: піднесіть відповідь у n-й степінь і зіставте з підкореневим числом.
Чим арифметичний корінь відрізняється від кореня n-го степеня?
Арифметичний корінь — це невід’ємне значення кореня. При парному показнику коренів два, додатний і від’ємний: наприклад, рівняння \(x\) у четвертому степені дорівнює 81 має розв’язки 3 і мінус 3. Але запис із радикалом позначає тільки невід’ємне значення, тобто 3.
Чи можна добути корінь четвертого степеня з від'ємного числа?
Ні. Показник 4 парний, а будь-яке дійсне число в парному степені невід’ємне, тому такого числа просто не існує. З від’ємних чисел корінь добувають лише при непарному показнику: корінь третього степеня з мінус 27 дорівнює мінус 3, і це коректна відповідь.
Чому корінь n-го степеня з a в n-му степені дає модуль a?
Бо при парному показнику результат мусить бути невід’ємним. Якщо \(a\) від’ємне, то без модуля рівність була б неправильною: корінь четвертого степеня з мінус 3 у четвертому степені дорівнює 3, а не мінус 3. Модуль і забезпечує потрібний знак. При непарному показнику модуль не потрібен.
Як перевести корінь у степінь з раціональним показником?
Показник кореня стає знаменником дробу, а степінь підкореневого виразу — чисельником: корінь n-го степеня з a в степені m дорівнює a в степені m поділити на n. Наприклад, корінь третього степеня з p у шостому степені дорівнює p у степені два. Формула працює при додатному a.
Чи є корінь n-го степеня в програмі НМТ з математики?
Так. Програма НМТ містить означення кореня n-го степеня, означення арифметичного кореня n-го степеня і властивості коренів у розділі «Числа і вирази», тема «Дійсні числа». Це рівень стандарту, тобто тема обов’язкова для всіх, хто складає математику, а не тільки для профільного рівня.