Дії з дійсними числами: властивості та завдання НМТ | KEVIN

Натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні числа. Числові множини вкладені одна в одну: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\). Натуральні числа \(\mathbb{N}\), це ті, якими рахують предмети: 1, 2, 3 і далі. Нуль до них не належить, це прямо сказано в підручнику математики для 5 класу. Цілі числа \(\mathbb{Z}\), це натуральні, нуль і числа, протилежні натуральним. Раціональні числа \(\mathbb{Q}\), це всі числа виду \(\dfrac{m}{n}\), де \(m\) ціле, а \(n\) натуральне. Дійсні числа \(\mathbb{R}\), це раціональні разом з ірраціональними. Знову ж таки, тримайте в голові головне: кожне натуральне число автоматично і ціле, і раціональне, і дійсне. Тому число 19 правильно назвати натуральним, і так само правильно назвати його дійсним. На НМТ це не суперечність, а спосіб побудувати варіанти відповіді так, щоб ви засумнівались.

Раціональні і ірраціональні числа: у чому різниця. Різниця одна: раціональне число можна записати дробом \(\dfrac{m}{n}\) з цілим чисельником і натуральним знаменником, а ірраціональне не можна. Префікс «ір» тут означає заперечення, ірраціональне, це просто «нераціональне». У десятковому записі різниця видна одразу: будь-яке раціональне число, це або скінченний десятковий дріб, або нескінченний періодичний, наприклад \(0,222\ldots = 0,(2)\). Ірраціональне число, це нескінченний неперіодичний десятковий дріб. Класичні приклади з підручника: \(\pi \approx 3{,}1415926\) і \(\sqrt{2}\). Так, добренько, а тепер підступ. Вираз із коренем не обов’язково ірраціональний: \(\sqrt{16} = 4\), і це натуральне число. Спочатку обчислюєте, і тільки потім вішаєте ярлик. Половина помилок з цієї теми на НМТ виникає саме тому, що учень подивився на радикал і поспішив.

Властивості дій з дійсними числами. Для дійсних чисел справджуються всі властивості й обмеження, що й для раціональних: переставна, сполучна, розподільна властивості, і заборона ділити на нуль. Практично це означає, що дужки, спільні множники і скорочення дробів працюють однаково для \(\dfrac{2}{3}\) і для \(\sqrt{5}\). Тому вираз \((\sqrt{3}-1)^2 + 2\sqrt{3}\) розкривається звичайним квадратом різниці: \(3 – 2\sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3} = 4\). Ірраціональна частина зникла, лишилось натуральне число. Якщо формула квадрату різниці ще не «на автоматі», спершу пройдіть формули скороченого множення, без них дії з коренями будуть удвічі довшими. Друзі, це найчастіша причина, чому завдання «на числа» забирає у вас більше часу або взагалі не розв’язується.

Ознаки подільності на 2, 3, 5, 9, 10. Ознаки подільності перевіряються за останньою цифрою або за сумою цифр, без ділення. На 10 діляться числа, запис яких закінчується цифрою 0: 120, 5800, 45 670. На 5 діляться ті, що закінчуються на 5 або 0: 215, 7345, 720. На 2 діляться числа з парною останньою цифрою (0, 2, 4, 6, 8): 96, 278, 39 450. На 9 діляться числа, у яких сума цифр ділиться на 9: у числа 58 464 сума цифр 27, тому воно кратне 9. На 3 ознака та сама, тільки сума цифр має ділитися на 3. Усі ці правила з підручника для 5 класу, і саме вони дослівно перелічені в програмі НМТ. Ідемо далі, бо на тесті вони працюють не самі по собі, а всередині задач на відношення.

Як порівнювати числа з коренем. Ірраціональні числа порівнюють за тими самими правилами, що й скінченні десяткові дроби, тобто порозрядно. Найзручніше звести обидва числа до одного вигляду. Спосіб перший, наближене значення: \(\pi \approx 3{,}1415926\), а \(3{,}2 = 3{,}2000000\), розряд десятих одразу дає \(\pi \lt 3{,}2\). Спосіб другий, загнати множник під корінь: щоб порівняти \(2\sqrt{3}\) і \(3\sqrt{2}\), пишемо \(2\sqrt{3} = \sqrt{12}\), \(3\sqrt{2} = \sqrt{18}\), і оскільки \(12 \lt 18\), то \(2\sqrt{3} \lt 3\sqrt{2}\). Другий спосіб я показую на уроках частіше, бо в ньому нема округлень, а значить нема де загубити знак. Швиденько перевірте себе: що більше, \(1,7\) чи \(1,(7)\)? Друге, бо \(1,(7) = 1,777\ldots\)

Модуль числа і його геометричний зміст. Модулем числа називають відстань від початку відліку до точки, яка зображує це число на координатній прямій. Саме тому модуль ніколи не буває від’ємним: відстань не буває від’ємною. Модулем додатного числа і нуля є саме це число, а модулем від’ємного, протилежне йому число: \(\left|7\right| = 7\), \(\left|0\right| = 0\), \(\left|-7\right| = 7\). Звідси головна робоча рівність усієї теми, \(\sqrt{a^2} = \left|a\right|\). Підставте \(a = -3\): \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\), а не \(-3\), бо арифметичний квадратний корінь за означенням невід’ємний. Модуль дійсного числа і його властивості внесені в програму НМТ окремим пунктом, тож формулювання «геометричний зміст» у завданні означає рівно те, що написано вище: йдеться про відстань на прямій.

Степінь з раціональним показником та його властивості. Степінь з раціональним показником, це інший запис кореня: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) для \(a \gt 0\). Тема входить і в шкільну програму 10 класу, і в програму НМТ поряд з коренем \(n\)-го степеня. Властивості лишаються ті самі, що й для цілого показника: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), \(a^m : a^n = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \(a^0 = 1\) при \(a \ne 0\). Користь від такого запису пряма: корінь, який виглядає страшно, перетворюється на дію зі звичайними дробами. Наприклад \(\sqrt[4]{81} = 81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3\). Іноді краще спершу переписувати всі радикали в степені, а вже потім рахувати.