Арифметичний квадратний корінь із числа \(a\) – це таке невідʼємне число, квадрат якого дорівнює \(a\). Звідси й головна пастка: результат добування кореня ніколи не буває відʼємним, а вираз \(\sqrt{a}\) не має змісту, якщо \(a \lt 0\).
Нижче: головні правила теми, чому відповідь з коренем не може бути відʼємною, чому \(\sqrt{a^2}\) – це модуль, а не саме \(a\), як не помилитися при винесенні і внесенні множника, розбір чотирьох реальних завдань НМТ-2026, типові помилки учнів і відповіді на поширені запитання.
🔑 Ключові формули
\(\sqrt{a} = b\) тоді й лише тоді, коли \(b \ge 0\) і \(b^2 = a\); зокрема \(a \ge 0\)
Вираз \(\sqrt{a}\) не має змісту, якщо \(a \lt 0\)
\((\sqrt{a})^2 = a\) для будь-якого \(a \ge 0\)
\(\sqrt{a^2} = |a|\) для будь-якого \(a\)
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\), де \(a \ge 0\) і \(b \ge 0\)
\(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), де \(a \ge 0\) і \(b \gt 0\)
Якщо \(a \gt 0\), то \(x = \pm\sqrt{a}\)
Якщо \(a = 0\), то \(x = 0\)
Якщо \(a \lt 0\), коренів немає
Якщо \(m \ge 0\), то \(x = m^2\)
Якщо \(m \lt 0\), коренів немає
Під знак кореня можна вносити лише додатний множник
Для множника \(m\) довільного знака випадки \(m \ge 0\) і \(m \lt 0\) розглядають окремо
Як розв'язувати — покроковий метод
-
1 Крок 1. Перевірте область змісту
Підкореневий вираз мусить бути невідʼємним: вираз \(\sqrt{a}\) не має змісту, якщо \(a \lt 0\). У рівнянні з коренем спочатку записуйте область допустимих значень.
-
2 Крок 2. Корінь із квадрата - одразу модуль
Побачили корінь із квадрата, ставте модуль: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Розкривайте його лише тоді, коли з умови видно знак виразу. Для \(p \lt 0\) маємо \(p^3 \lt 0\), тому \(\sqrt{p^6}\) дорівнює не \(p^3\), а \(-p^3\).
-
3 Крок 3. Перед винесенням і внесенням множника перевірте знаки
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) працює лише для \(a \ge 0\) і \(b \ge 0\). Вираз \(\sqrt{x^{11}}\) має зміст лише за \(x \ge 0\). Під знак кореня вносьте лише додатний множник, а для множника довільного знака розгляньте два випадки.
-
4 Крок 4. Складайте лише подібні радикали
Додавати за правилом зведення подібних доданків можна лише доданки зі спільним множником-коренем. Часто він зʼявляється лише після винесення множника з-під знака кореня в кожному доданку.
-
5 Крок 5. У рівнянні \(\sqrt{x} = m\) подивіться на знак \(m\)
Якщо \(m \lt 0\), розвʼязків немає. Якщо \(m \ge 0\), підносьте обидві частини до квадрата: \(x = m^2\).
-
6 Крок 6. Перевірте корені і перечитайте питання
Після піднесення до квадрата перевіряйте кожен знайдений корінь. Потім перечитайте, що саме просять: більший корінь, додатний корінь чи суму коренів.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Якому проміжку належить більший корінь рівняння \(\sqrt{\dfrac{2x^2 + 7x + 10}{2}} = 4\)?
- А) \((-\infty; -4)\)
- Б) \([-4; -1)\)
- В) \([-1; 1)\)
- Г) \([1; 4)\)
- Д) \([4; +\infty)\)
Г) \([1; 4)\). Права частина невідʼємна, тому рівняння виду \(\sqrt{t} = m\) при \(m \ge 0\) дає \(t = m^2\). Звідси \(\dfrac{2x^2 + 7x + 10}{2} = 16\), далі \(2x^2 + 7x + 10 = 32\) і \(2x^2 + 7x - 22 = 0\). Дискримінант \(D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22) = 49 + 176 = 225\), корінь із нього \(15\), тому \(x_1 = \dfrac{-7 + 15}{4} = 2\) і \(x_2 = \dfrac{-7 - 15}{4} = -5{,}5\). Більший корінь \(2\) належить проміжку \([1; 4)\).
Пастка тут у слові «більший»: якщо схопити перший знайдений корінь, потрапите у варіант А.
Розвʼяжіть рівняння \(|1 – 2x| = 8\). Якщо рівняння має єдиний корінь, то позначте його. Якщо рівняння має більш як один корінь, то визначте їхню суму.
- А) \(-1\)
- Б) \(7\)
- В) \(1\)
- Г) \(-4{,}5\)
- Д) \(-3{,}5\)
В) \(1\). Модуль тут працює за тією самою логікою, що й корінь із квадрата: \(\sqrt{a^2} = |a|\), тобто вираз під знаком може мати обидва знаки. Отримуємо \(1 - 2x = 8\) або \(1 - 2x = -8\), звідси \(x_1 = -3{,}5\) і \(x_2 = 4{,}5\). Сума коренів дорівнює \(1\).
Варіант Д приваблює тих, хто знайшов лише один корінь і забув про другий випадок.
Визначте додатний корінь рівняння \(\dfrac{1}{x^2} – \dfrac{3}{x} – 10 = 0\).
- А) \(0{,}5\)
- Б) \(0{,}8\)
- В) \(0{,}2\)
- Г) \(0{,}25\)
- Д) \(0{,}1\)
В) \(0{,}2\). Зробіть заміну \(t = \dfrac{1}{x}\), тоді рівняння набуває вигляду \(t^2 - 3t - 10 = 0\). Дискримінант \(D = 9 + 40 = 49\), тому \(t_1 = 5\) і \(t_2 = -2\). Повертаємось до змінної: \(x = \dfrac{1}{t}\), звідси \(x_1 = 0{,}2\) і \(x_2 = -0{,}5\). Додатний корінь дорівнює \(0{,}2\).
Варіант А ловить тих, хто після заміни забув перевернути дріб і взяв \(0{,}5\) без знака.
Якому проміжку належить корінь рівняння \(2^{2x – 5} = 8\)?
- А) \((-\infty; -2)\)
- Б) \([-2; 0)\)
- В) \([0; 2)\)
- Г) \([2; 4)\)
- Д) \([4; +\infty)\)
Д) \([4; +\infty)\). Зводимо до однакової основи: \(8 = 2^3\), тому \(2x - 5 = 3\) і \(x = 4\). Число \(4\) належить проміжку \([4; +\infty)\).
Тут головна пастка у квадратній дужці: \(4\) входить у проміжок Д і не входить у Г, хоча Г теж «закінчується» четвіркою.
⚠️ Типові помилки учнів
Неправильно. Квадратними коренями із \(16\) справді є \(4\) і \(-4\), але арифметичним квадратним коренем називають лише невідʼємний із них, тому \(\sqrt{16} = 4\).
Неправильно. Для будь-якого \(a\) справджується \(\sqrt{a^2} = |a|\), і при відʼємному \(a\) результат дорівнює \(-a\).
Неправильно. При \(m \lt 0\) рівняння \(\sqrt{x} = m\) розвʼязків не має, бо арифметичний корінь не буває відʼємним.
Неправильно. Під знак кореня можна вносити лише додатний множник, а для множника довільного знака випадки \(m \ge 0\) і \(m \lt 0\) розглядають окремо.
Неправильно. Ця теорема сформульована для \(a \ge 0\) і \(b \ge 0\); якщо обидва множники відʼємні, вираз має зміст, але розкладати його треба з урахуванням знаків.
Дивіться, майже всі втрати балів на цій темі не про складні перетворення, а про два слова в означенні: «невідʼємне число». Ідемо далі й розберемо по кроках, де саме воно вистрелює.
Просте правило-опора: побачили корінь із квадрата, одразу ставте модуль, а вже потім думайте, чи можна його розкрити. Розкриваєте лише тоді, коли з умови видно знак виразу.
Ця тема не про складні обчислення, а про дисциплінованість запису. Якщо ви на кожному кроці ставите модуль там, де треба модуль, і перевіряєте знак підкореневого виразу, помилки просто не встигають зʼявитися. Ідемо далі: те саме означення працює і в темі «Корінь n-го степеня», і в ірраціональних рівняннях.
Одна тема – це добре, а на НМТ їх десятки. На курсі ви проходите весь розділ «Дійсні числа» за такою самою логікою: означення, властивість, пастка, розбір завдання.
Хочете план підготовки з математики під ваш рівень? Залиште імʼя і телефон, і ми передзвонимо.
Дивіться також: Арифметичний квадратний корінь · Корінь n-го степеня · Модуль числа · Ірраціональні рівняння · Ірраціональні вирази
Означення. Арифметичний квадратний корінь із числа \(a\) – це таке невідʼємне число, квадрат якого дорівнює \(a\). Звідси й головна пастка: результат добування кореня ніколи не буває відʼємним, а вираз \(\sqrt{a}\) не має змісту, якщо \(a \lt 0\).
Місце в програмі НМТ. Тема належить до розділу «Дійсні числа» програми НМТ, де від абітурієнта вимагають знати означення арифметичного кореня, властивості коренів і вміти виконувати дії з дійсними числами та тотожні перетворення ірраціональних виразів. У довідкових матеріалах НМТ ви знайдете таблицю квадратів чисел від 10 до 49, формули скороченого множення і формули для квадратного рівняння. Самих властивостей кореня в цьому переліку немає, тому їх треба знати напамʼять.
Чому відповідь з коренем не може бути відʼємною. Тому що в означенні прямо сказано: арифметичним квадратним коренем називають невідʼємне число, квадрат якого дорівнює \(a\). Рівняння \(x^2 = 16\) справді має два корені, числа \(4\) і \(-4\), бо \(4^2 = 16\) і \((-4)^2 = 16\). Але арифметичним квадратним коренем із \(16\) називають лише невідʼємний із них, тобто \(4\). Різниця між цими двома поняттями і є джерелом помилок. «Квадратні корені із числа \(100\)» – це числа \(10\) і \(-10\). А запис \(\sqrt{100}\) позначає рівно одне число, \(10\).
Ще один бік того самого правила: квадратного кореня з відʼємного числа не існує, бо серед дійсних чисел немає такого, квадрат якого дорівнював би, наприклад, \(-16\). Тому в рівнянні \(\sqrt{x} = m\) при \(m \lt 0\) розвʼязків немає взагалі, а не «є, але відʼємний».
Чому \(\sqrt{a^2}\) – це модуль, а не саме \(a\). Бо \(\sqrt{a^2} = |a|\), і ця тотожність справджується для будь-якого \(a\), у тому числі відʼємного. Якщо автоматично «скоротити» корінь із квадратом і написати \(\sqrt{a^2} = a\), то для відʼємного \(a\) ви отримаєте відʼємний результат добування кореня, а це суперечить означенню. Так само працює корінь із степеня. У прикладі підручника для \(p \lt 0\) маємо \(p^3 \lt 0\), тому \(\sqrt{p^6}\) дорівнює не \(p^3\), а \(-p^3\). Знак тут визначає не форма запису, а знак самого виразу під квадратом.
Як не помилитися при винесенні і внесенні множника. Винесення множника спирається на теорему про корінь з добутку, а вона працює лише для невідʼємних множників: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\), де \(a \ge 0\) і \(b \ge 0\). Тому перед винесенням треба перевірити область змісту виразу. У підручнику це показано на \(\sqrt{x^{11}}\): вираз має зміст лише за \(x \ge 0\), бо для \(x \lt 0\) і \(x^{11} \lt 0\). При внесенні множника діє окреме обмеження: під знак кореня можна вносити лише додатний множник. Якщо множник \(m\) може бути будь-яким, розглядають два випадки окремо: для \(m \ge 0\) один запис, для \(m \lt 0\) інший.
Подібні радикали. Складати корені теж можна не завжди. Додавати за правилом зведення подібних доданків дозволено лише подібні радикали, тобто доданки зі спільним множником-коренем, який виносять за дужки. Часто спільний множник зʼявляється лише після того, як ви винесете множник з-під знака кореня в кожному доданку.
❓ Часті запитання
Чим квадратний корінь відрізняється від арифметичного квадратного кореня?
Квадратні корені із числа – це всі числа, квадрати яких дорівнюють даному числу, тобто для \(16\) це \(4\) і \(-4\). Арифметичний квадратний корінь – лише невідʼємний із них, тобто \(4\). У школі розглядають саме арифметичні корені, тому слово «арифметичний» під час читання не вживають.
Для яких значень a вираз корінь з a не має змісту?
Для всіх \(a \lt 0\). Оскільки \(x^2 \ge 0\) для всіх значень змінної, підкореневий вираз мусить бути невідʼємним.
Скільки коренів має рівняння x у квадраті дорівнює a?
Залежить від \(a\): при \(a \gt 0\) два корені \(x = \pm\sqrt{a}\), при \(a = 0\) один корінь \(x = 0\), при \(a \lt 0\) коренів немає.
Чи є корінь із 2 раціональним числом?
Ні, \(\sqrt{2}\) – це ірраціональне число, тобто його не можна записати у вигляді \(\dfrac{m}{n}\), де \(m\) ціле, а \(n\) натуральне. Наближене значення можна знайти калькулятором з потрібною точністю.
Чи можна обчислити корінь із великого числа без калькулятора?
Так, якщо число є квадратом. У довідкових матеріалах НМТ є таблиця квадратів чисел від 10 до 49, і саме нею зручно користуватися, наприклад щоб одразу побачити, що \(\sqrt{225} = 15\).
Як виконувати рівняння з коренем, щоб не втратити корені?
Спочатку записуйте область допустимих значень, бо підкореневий вираз мусить бути невідʼємним, а вже потім підносьте обидві частини до квадрата, щоб позбутися кореня. Після цього обовʼязково перевіряйте кожен знайдений корінь: після піднесення до квадрата можуть зʼявитися значення, які не входять в область допустимих значень.