Задача на суміші та сплави – це задача, у якій одну речовину розчиняють або сплавляють з іншою, а шукають масу речовини або її відсотковий уміст. Основна опора: маса речовини дорівнює масі всього розчину, помноженій на концентрацію.
Програма НМТ вимагає від абітурієнта вміти знаходити відсоток від числа, число за значенням його відсотка, розвʼязувати основні задачі на відсотки, задачі на пропорційні величини й пропорційний поділ, а також розвʼязувати текстові задачі за допомогою рівнянь та їх систем. Саме на цьому перетині і живуть суміші зі сплавами.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
З одного літра ропи (насичений розчин солі), яку видобувають у солеварні Дрогобича, отримують \(300\) г солі. Визначте масу (у кг) солі, яку отримують у солеварні з \(9000\) літрів ропи.
А) \(2700\) Б) \(300\) В) \(270\ 000\) Г) \(3000\) Д) \(27\ 000\)
А. Це чиста задача на пропорційні величини: скільком літрам відповідає стільком грамам солі. З \(9000\) літрів солі буде \(300 \cdot 9000 = 2\ 700\ 000\) г, а питають масу в кілограмах, тому \(2\ 700\ 000 : 1000 = 2700\) кг. Варіант Д (\(27\ 000\)) отримують, якщо помилково ділять на \(100\) замість \(1000\), а В (\(270\ 000\)) - якщо ділять на \(10\).
У сухому травʼяному чаї, що є сумішшю мʼяти із чебрецем, маса мʼяти на \(60\%\) більша за масу чебрецю. Визначте масу (у г) мʼяти в травʼяному чаї масою \(208\) г.
128. За \(100\%\) беремо масу чебрецю: нехай вона \(x\) г. Тоді мʼяти \(1{,}6x\) г, а вся суміш \(x + 1{,}6x = 2{,}6x = 208\), звідки \(x = 80\) г. Мʼяти \(1{,}6 \cdot 80 = 128\) г. Пастка - взяти \(60\%\) від усієї суміші: \(208 \cdot 0{,}6 = 124{,}8\) г.
⚠️ Типові помилки учнів
Неправильно. Вода додається лише до маси всього розчину, а маса солі залишається тією самою, тому змінюється лише знаменник у \(C = \dfrac{m_{\text{реч}}}{m_{\text{розчину}}}\).
Неправильно. \(60\%\) рахують від маси чебрецю: мʼяти \(1{,}6x\), а вся суміш \(2{,}6x\). У завданні НМТ 2026 з чаєм масою \(208\) г мʼяти \(128\) г, а не \(124{,}8\) г.
Неправильно. Це відношення частин, а не мас: у сплаві масою \(30\) кг одна частина дорівнює \(6\) кг, тому заліза \(18\) кг, а міді \(12\) кг.
Неправильно. Концентрації не додаються: додаються маси речовини і маси розчинів, і в результаті виходить проміжне значення, у прикладі вище це \(30\%\).
Неправильно. У завданні про ропу дані в грамах, а питають масу в кілограмах, тому \(2\ 700\ 000\) г треба перевести в \(2700\) кг.
Найшвидший спосіб не заплутатися: перед обчисленнями випишіть у стовпчик три рядки – масу всієї суміші, масу чистої речовини і концентрацію, і зробіть це двічі, до зміни й після. Тоді видно, що саме змінилося, і рівняння складається з одного рядка. Якщо в умові стоїть відношення, спершу знайдіть масу однієї частини, і лише потім рахуйте все інше.
Коментар викладачки. Друзі, тримайте одне правило-опору, і багато задач цієї теми складеться саме собою: за \(100\%\) ми завжди беремо те, від чого потрібно порахувати. Спочатку підписуємо, що саме тут ціле, потім уже множимо на концентрацію.
Порядок дій завжди один: спершу переводимо відсотки в дріб, потім знаходимо масу чистої речовини, і лише після цього складаємо рівняння для нової суміші.
- Записуємо масу початкового розчину чи сплаву і його концентрацію. Відсотки одразу переводимо в десятковий дріб, поділивши на \(100\).
- Знаходимо масу чистої речовини: \(m_{\text{реч}} = m_{\text{розчину}} \cdot C\). Маса цієї речовини залишається незмінною, якщо ми доливаємо або випаровуємо лише воду. Якщо ж ми досипаємо саму активну речовину (наприклад, сіль), її масу треба обовʼязково додати до початкової.
- Позначаємо через \(x\) те, що додають або випаровують, і записуємо нову масу всієї суміші та нову масу речовини.
- Складаємо рівняння за новою концентрацією: \(\dfrac{m_{\text{реч нова}}}{m_{\text{суміші нова}}} = C_{\text{нова}}\), і розвʼязуємо його.
- Якщо в умові стоїть відношення складників, вводимо коефіцієнт пропорційності: складники дорівнюють \(ax\) і \(bx\), сума частин дає всю масу.
Ось як це виглядає на числах. Сплав масою \(30\) кг складається із заліза й міді, узятих у відношенні \(3 : 2\). Усього частин \(3 + 2 = 5\), на одну частину припадає \(30 : 5 = 6\) кг. Отже, заліза \(6 \cdot 3 = 18\) кг, міді \(6 \cdot 2 = 12\) кг. Той самий розвʼязок через рівняння: \(3x + 2x = 30\), звідси \(5x = 30\) і \(x = 6\) кг.
Другий типовий сюжет – долив однієї речовини. До сплаву масою \(250\) г, що містить \(40\%\) олова, долили \(150\) г олова. Спочатку олова було \(250 \cdot 0{,}4 = 100\) г, після доливання його стало \(100 + 150 = 250\) г, а вся маса сплаву дорівнює \(250 + 150 = 400\) г. Новий уміст олова: \(\dfrac{250}{400} \cdot 100\% = 62{,}5\%\).
Коментар викладачки. Дивіться, що тут головне: коли доливають чисте олово, воно йде і в чисельник, і в знаменник, а коли доливають воду, то лише в знаменник. Ось ви один раз це зрозумієте і далі задачі підуть швиденько.
Маси чистої речовини з обох розчинів додаються, а маси розчинів теж додаються: \(m_1 C_1 + m_2 C_2 = (m_1 + m_2) \cdot C\). Саме тому концентрація суміші завжди лежить між двома початковими концентраціями.
Класичне завдання: змішали \(50\)-відсотковий і \(20\)-відсотковий розчини кислоти та отримали \(600\) г \(30\)-відсоткового розчину, і треба знайти, скільки грамів кожного розчину змішали. Нехай першого розчину \(x\) г, тоді другого \(600 – x\) г, і рівняння має вигляд \(0{,}5x + 0{,}2(600 – x) = 0{,}3 \cdot 600\).
Так само працює задача про молоко різної жирності: змішали \(2\) л молока жирністю \(6\%\) і \(3\) л молока жирністю \(8\%\), і потрібно знайти жирність утвореної суміші. Логіка та сама: окремо жир, окремо загальна кількість.
Відношення перетворюємо на маси через коефіцієнт пропорційності \(x\), і далі задача стає звичайним рівнянням. Наприклад, латунь – це сплав міді і цинку, маси яких відносяться як \(3 : 2\); якщо міді потрібно \(360\) г, то одна частина дорівнює \(360 : 3 = 120\) г, а цинку треба \(120 \cdot 2 = 240\) г.
Такий самий крок роблять і в задачах на пропорційний поділ: коли число ділять на частини, пропорційні числам \(2 : 1 : 3\), спочатку шукають масу однієї частини, а потім домножують її на кількість частин кожного складника.
Завдання 3 (тренувальне). Змішали \(50\)-відсотковий і \(20\)-відсотковий розчини кислоти та отримали \(600\) г \(30\)-відсоткового розчину. Скільки грамів \(50\)-відсоткового розчину змішали?
Відповідь: 200. Нехай першого розчину \(x\) г, тоді другого \(600 – x\) г. Кислоти в суміші \(0{,}3 \cdot 600 = 180\) г, тому \(0{,}5x + 0{,}2(600 – x) = 180\), \(0{,}3x + 120 = 180\), \(x = 200\) г. Другого розчину \(400\) г. Перевірка: \(100 + 80 = 180\) г кислоти.
Завдання 4 (тренувальне). Змішали \(2\) л молока жирністю \(6\%\) і \(3\) л молока жирністю \(8\%\). Визначте жирність (у %) утвореної суміші.
Відповідь: 7,2. Окремо рахуємо жир, окремо всю кількість: жиру \(2 \cdot 0{,}06 + 3 \cdot 0{,}08 = 0{,}12 + 0{,}24 = 0{,}36\) л, суміші \(2 + 3 = 5\) л. Жирність \(\dfrac{0{,}36}{5} \cdot 100\% = 7{,}2\%\). Пастка – взяти середнє арифметичне \(\dfrac{6 + 8}{2} = 7\%\): воно не враховує, що молока жирністю \(8\%\) більше.
Одна тема – це добре, а на НМТ їх десятки, і задачі на відсотки з пропорціями тягнуться далі в банківські відсотки та задачі на рух. Усе це розбирають на курсі математики KEVIN. Хочете план підготовки з математики під ваш рівень? Залиште імʼя і телефон, і ми передзвонимо.
- Маса чистої речовини в розчині або сплаві: \(m_{\text{реч}} = m_{\text{розчину}} \cdot C\), де \(C\) – концентрація у вигляді десяткового дробу.
- Один відсоток – це одна сота частина числа: \(1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\).
- Відсотки в десятковий дріб: \(C = \dfrac{p}{100}\), тобто \(40\% = 0{,}4\), \(98\% = 0{,}98\).
- Відсоток від числа: \(m_{\text{реч}} = \dfrac{m_{\text{розчину}}}{100} \cdot p\).
- Концентрація за масами: \(C = \dfrac{m_{\text{реч}}}{m_{\text{розчину}}}\), а у відсотках \(p = \dfrac{m_{\text{реч}}}{m_{\text{розчину}}} \cdot 100\%\).
- Метод частин при відношенні \(a : b\): маси складників дорівнюють \(ax\) і \(bx\), а маса всієї суміші \((a+b)x\), де \(x\) – маса однієї частини.
- Змішування двох розчинів: \(m_1 C_1 + m_2 C_2 = (m_1 + m_2) \cdot C\).
❓ Часті запитання
Яка головна формула в задачах на суміші та сплави?
Головна формула одна: \(m_{\text{реч}} = m_{\text{розчину}} \cdot C\). Концентрацію \(C\) беремо десятковим дробом, тобто \(40\%\) записуємо як \(0{,}4\), поділивши відсотки на \(100\).
Як знайти відсотковий уміст речовини в сплаві?
Поділіть масу чистої речовини на масу всього сплаву і помножте на \(100\%\): \(p = \dfrac{m_{\text{реч}}}{m_{\text{розчину}}} \cdot 100\%\). Наприклад, \(250\) г олова в \(400\) г сплаву дають \(62{,}5\%\).
Чи можна складати концентрації двох розчинів?
Ні, складати можна лише маси. Працює рівняння \(m_1 C_1 + m_2 C_2 = (m_1 + m_2) \cdot C\), тому із \(50\%\) і \(20\%\) розчинів виходить розчин з концентрацією між \(20\%\) і \(50\%\), яка залежить від мас (у прикладі з \(200\) г і \(400\) г це \(30\%\)), а не \(70\%\).
Що робити, коли в умові замість відсотків стоїть відношення?
Вводьте коефіцієнт пропорційності: при відношенні \(3 : 2\) маси складників дорівнюють \(3x\) і \(2x\), а вся маса \(5x\). З рівняння \(5x = 30\) знаходимо масу однієї частини \(x = 6\) кг.
Чи бувають такі задачі системою рівнянь?
Так, і це нормальний спосіб розвʼязання: задачі про суміші двох видів цукерок або двох сортів печива зручно розвʼязувати саме системами лінійних рівнянь, коли невідомі і маси, і вартість.
Чи потрібно тут вміти працювати з дробами і пропорціями?
Так, це базовий інструмент теми. Програма НМТ прямо вимагає знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, відсоток від числа і число за значенням його відсотка, а також розвʼязувати задачі на пропорційний поділ.