Задача на рух – це текстова задача, у якій відстань, швидкість і час повʼязані формулою \(s = v \cdot t\), звідки \(v = s : t\) і \(t = s : v\). Швидкість вважають сталою на всьому шляху.
Програма НМТ прямо вимагає вміння розвʼязувати текстові задачі арифметичним способом і застосовувати рівняння та їх системи до текстових задач. Тобто рух – це не «додаткова» тема, а обовʼязкова частина блоку відношень, відсотків і текстових задач.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Настінний принтер друкує зображення зі сталою швидкістю \(3\) м\(^2\) за одну годину. Скільки хвилин принтер друкував на стіні будинку зображення площею \(2,4\) м\(^2\)?
А) \(36\) · Б) \(40\) · В) \(51\) · Г) \(48\) · Д) \(45\)
Г. Тут працює та сама формула \(t = s : v\), лише замість кілометрів площа. За годину принтер друкує \(3\) м\(^2\), отже \(t = 2,4 : 3 = 0,8\) години, а це \(0,8 \cdot 60 = 48\) хвилин. Пастка у варіанті А: його отримують ті, хто віднімає замість того, щоб ділити: \(3 - 2,4 = 0,6\) години, а це якраз \(36\) хвилин. Ще одна пастка - забути перевести години у хвилини, хоч умова просить саме хвилини.
Вадим планує переглянути навчальний відеоролик тривалістю \(60\) хвилин. Перед переглядом він у налаштуваннях збільшив швидкість відтворення в \(1,5\) раза. Скільки хвилин тепер триватиме перегляд цього відеоролика?
А) \(40\) · Б) \(90\) · В) \(45\) · Г) \(30\) · Д) \(35\)
А. Обсяг «шляху» той самий, а швидкість зросла в \(1,5\) раза, тому час зменшується в \(1,5\) раза: \(60 : 1,5 = 40\) хвилин. Найпривабливіша пастка - варіант Б: там час помножили на \(1,5\) замість того, щоб поділити. Тримайте в голові головне: час і швидкість повʼязані обернено, більша швидкість дає менший час.
Автомобіль, рухаючись містом, витрачає \(6\) л пального на \(100\) км пробігу, а за містом \(4\) л на \(100\) км пробігу. За місяць водій проїхав \(1000\) км, із яких \(300\) км містом, решта – за містом. Скільки літрів пального витратив цей автомобіль за місяць?
А) \(54\) л · Б) \(50\) л · В) \(46\) л · Г) \(40\) л · Д) \(60\) л
В. Шлях ділиться на дві ділянки, і кожну рахуємо окремо. Містом \(300\) км: \(\dfrac{300}{100} \cdot 6 = 18\) л. За містом \(1000 - 300 = 700\) км: \(\dfrac{700}{100} \cdot 4 = 28\) л. Разом \(18 + 28 = 46\) л. Варіант Б (\(50\) л) отримують ті, хто бере середню витрату \(5\) л на весь шлях, хоча містом і за містом проїхали різні відстані.
⚠️ Типові помилки учнів
Неправильно. Назустріч швидкості додаються: \(v_{\text{збл}} = v_1 + v_2\). Віднімання працює лише тоді, коли обидва рухаються в одному напрямку – байдуже, з однієї точки чи з різних.
Неправильно. За течією до власної швидкості додається швидкість течії, а проти течії віднімається, тому це два різні числа.
Неправильно. Відповідь записують у тих одиницях, які просить умова: у завданні про принтер результат \(0,8\) години потрібно перевести в \(48\) хвилин.
Неправильно. З формули \(t = s : v\) видно: більша швидкість на тій самій відстані дає менший час, тому \(60 : 1,5 = 40\) хвилин.
Неправильно. Одиниці залежать від умови: м/хв, м/с, км/год. Якщо шлях у метрах, а час у хвилинах, то й швидкість у м/хв.
У задачах на рух майже все вирішує перший крок, а не формула. Промовте умову вголос і випишіть три величини для кожного учасника: хто, з якою швидкістю і скільки часу рухається. Коли ці три рядки перед очима, тип руху видно одразу, і далі лишається підставити числа. Ідемо не поспішаючи, зате без переплутаних напрямків.
Одиниці вимірювання швидкості (км/год, м/хв, м/с та інші) залежать від умови задачі. Якщо жук за 5 хв проповзає 10 м, його швидкість вимірюють у м/хв: \(10 : 5 = 2\) (м/хв).
Коментар викладачки. Друзі, дивіться: у цій темі всього одна формула, \(s = v \cdot t\), а решта – це та сама формула, лише з іншою швидкістю. Летимо далі, за течією швидкість більша, проти течії менша, назустріч швидкості додаються. Ідемо не від формул, а від умови: спочатку промовляємо вголос, хто куди рухається, і аж потім записуємо.
- Визначте, що дано і що шукаємо. Випишіть окремо \(s\), \(v\), \(t\) для кожного учасника руху.
- Зʼясуйте тип руху. Учасники рухаються назустріч, в одному напрямку з однієї точки, у протилежних напрямках чи це рух річкою.
- Складіть потрібну швидкість. Назустріч і в протилежні боки швидкості додаються, услід за одним обʼєктом віднімаються, річкою течія додається або віднімається від власної швидкості.
- Підставте у формулу. Наприклад, \(s_{\text{від}} = (v_1 – v_2)t\) або \(s = (v_1 + v_2)t_{\text{зуст}}\).
- Перевірте одиниці й запишіть відповідь у тих одиницях, які просить умова: хвилини, кілометри, м/с.
Приклад: рух в одному напрямку
Два автомобілі одночасно виїхали з однієї парковки в одному напрямку. Швидкість першого 60 км/год, швидкість другого 72 км/год. Яка відстань буде між автомобілями через 9 год? Розвʼязання: \(s_{\text{від}} = (v_1 – v_2)t = (72 – 60) \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108\) (км). Відповідь: 108 км.
Приклад: рух назустріч
Два автобуси виїхали одночасно з двох міст назустріч один одному і зустрілися через 5 год. Швидкість одного 45 км/год, а другого на 10 км/год більша. Спочатку знаходимо швидкість другого: \(45 + 10 = 55\) (км/год). Далі \(s = (v_1 + v_2)t_{\text{зуст}} = (45 + 55) \cdot 5 = 500\) (км). Відповідь: 500 км.
Завдання 4 (тренувальне). Велосипедист проїхав \(20\) км зі швидкістю \(10\) км/год і \(15\) км зі швидкістю \(5\) км/год. Знайдіть середню швидкість руху велосипедиста.
А) \(7,5\) км/год · Б) \(7\) км/год · В) \(5\) км/год · Г) \(12,5\) км/год · Д) \(8\) км/год
Відповідь: Б. Середня швидкість – це весь шлях, поділений на весь час. Час на кожній ділянці: \(t = s : v\), тобто \(20 : 10 = 2\) год і \(15 : 5 = 3\) год. Увесь шлях \(35\) км, увесь час \(5\) год, тому \(v_{\text{сер}} = 35 : 5 = 7\) км/год. Пастка у варіанті А: \(7,5\) – це середнє арифметичне швидкостей \(\dfrac{10 + 5}{2}\), а воно тут не працює, бо на ділянках різний час.
Завдання 5 (тренувальне). Швидкість товарного поїзда дорівнює \(60\) км/год. Чому дорівнює його довжина в метрах, якщо відомо, що він проходить повз нерухомого спостерігача за \(15\) секунд?
Відповідь: 250. Повз спостерігача поїзд проходить відстань, що дорівнює його довжині. Переводимо швидкість у м/с: \(60\) км/год \(= \dfrac{60\,000}{3600} = \dfrac{50}{3}\) м/с. Тоді \(s = v \cdot t = \dfrac{50}{3} \cdot 15 = 250\) м. Пастка – множити \(60 \cdot 15 = 900\), не перевівши одиниці.
Коментар викладачки. Знову ж таки, зверніть увагу: у НМТ числа підбирають так, щоб усе рахувалося зручно і без калькулятора. Якщо у вас виходить громіздкий дріб, це майже завжди сигнал, що десь переплутано дію, а не те, що задача «злюча». Перевірте, що на що ділите.
Під час руху за течією річки власна швидкість човна збільшується на швидкість течії, а під час руху проти течії, навпаки, зменшується на швидкість течії. Якщо власна швидкість човна 15 км/год, а швидкість течії 2 км/год, то \(15 + 2 = 17\) (км/год) – швидкість човна за течією, а \(15 – 2 = 13\) (км/год) – швидкість човна проти течії.
Саме тому в задачах про теплохід чи пліт умова майже завжди дає два різні часи: на однакову відстань за течією витрачається менше годин, ніж проти течії. Наприклад, класична умова звучить так: відстань між містами за течією річки теплохід проходить за 6 год, а проти течії за 8 год, і треба знайти час, за який цю відстань пропливе пліт.
Розвʼязання. Пліт пливе зі швидкістю течії, тому шукаємо саме її. Візьмемо відстань за \(1\). За течією: \(v + u = \dfrac{1}{6}\), проти течії: \(v – u = \dfrac{1}{8}\). Звідси \(u = \left(\dfrac{1}{6} – \dfrac{1}{8}\right) : 2 = \dfrac{1}{24} : 2 = \dfrac{1}{48}\). Пліт пропливе цю відстань за \(t = 1 : \dfrac{1}{48} = 48\) год.
Одна тема – це добре, а на НМТ їх десятки. На курсі математики KEVIN текстові задачі проходять системно: рух, робота, суміші й відсотки за однією логікою, щоб на тесті не витрачати час на пригадування формул.
Хочете план підготовки з математики під ваш рівень? Залиште імʼя і телефон, і ми передзвонимо.
- Основна формула руху: \(s = v \cdot t\), \(v = s : t\), \(t = s : v\).
- Рух за течією: \(v_{\text{за течією}} = v_{\text{власна}} + v_{\text{течії}}\).
- Рух проти течії: \(v_{\text{проти течії}} = v_{\text{власна}} – v_{\text{течії}}\).
- Швидкість віддалення (рух з однієї точки в одному напрямку, \(v_1 \gt v_2\)): \(v_{\text{від}} = v_1 – v_2\), а відстань \(s_{\text{від}} = (v_1 – v_2)t\).
- Рух з однієї точки у протилежних напрямках: \(v_{\text{від}} = v_1 + v_2\), відстань \(s_{\text{від}} = (v_1 + v_2)t\).
- Швидкість зближення (рух назустріч): \(v_{\text{збл}} = v_1 + v_2\), а до зустрічі \(s = (v_1 + v_2)t_{\text{зуст}}\).
❓ Часті запитання
Яка головна формула задач на рух?
\(s = v \cdot t\). З неї отримують \(v = s : t\) і \(t = s : v\). У задачах на рух вважають, що швидкість на всьому шляху стала.
Як знайти швидкість зближення і швидкість віддалення?
Швидкість зближення – це відстань, на яку обʼєкти зближаються за одиницю часу, і для руху назустріч \(v_{\text{збл}} = v_1 + v_2\). Швидкість віддалення – це відстань, на яку обʼєкти віддаляються за одиницю часу, і для руху в одному напрямку \(v_{\text{від}} = v_1 – v_2\), а в протилежних напрямках \(v_{\text{від}} = v_1 + v_2\).
Як рахувати швидкість човна за течією і проти течії?
За течією власна швидкість збільшується на швидкість течії, проти течії зменшується на неї. Для човна з власною швидкістю 15 км/год і течії 2 км/год це 17 км/год і 13 км/год відповідно.
Скільки задач на рух буває на НМТ?
Точної кількості офіційно не фіксують, але програма НМТ прямо вимагає розвʼязувати текстові задачі арифметичним способом і застосовувати рівняння та системи до текстових задач, тому готуватися до цієї теми треба обовʼязково.
Чи можна розвʼязувати задачі на рух рівнянням, а не арифметично?
Так. Програма НМТ окремо вимагає вміння застосовувати рівняння, нерівності та системи рівнянь до розвʼязування текстових задач, тому обидва способи правильні: обирайте той, у якому менше шансів заплутатися.
Чому в задачі про принтер працює формула руху?
Бо це та сама залежність «величина = швидкість помножити на час», лише замість відстані площа: \(3\) м\(^2\) за годину, тому \(t = 2,4 : 3 = 0,8\) години, тобто \(48\) хвилин.