Об’єм призми = площа основи, помножена на висоту: V = Sосн · h. Формула універсальна для всіх призм — прямих, похилих, трикутних, чотирикутних тощо.
Ключова відмінність від піраміди: об’єм призми у 3 рази більший за об’єм піраміди з тією самою основою та висотою (у піраміди є коефіцієнт ⅓, у призми — нема). Це пастка на НМТ — багато учнів помилково додають ⅓ до призми.
Об’єм призми — базова формула НМТ зі стереометрії, з якої починають усі задачі на об’єм. Вона проста (всього два множники), але 20% учнів стабільно додають зайвий коефіцієнт ⅓ (плутаючи з пірамідою) або плутають площу основи з периметром. Нижче — 4 розв’язані задачі, методика та правило, яке виключить плутанину.
🔑 Ключові формули
V = Sосн · h
V = a² · h
V = \(\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) · h
V = a · b · c
Квадрат: a² · Прямокутник: a·b · Трикутник: (a·h△)/2 · Рівносторонній: \(\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\)
Як розв'язувати — покроковий метод
- 1 Визначте форму основи
Основа призми — це многокутник. Якщо квадрат/прямокутник — S = a² або a·b. Якщо трикутник — S = \(\dfrac{\text{основа}\cdot\text{висота}}{2}\), для рівностороннього S = \(\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\). Якщо правильний шестикутник — S = \(\dfrac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}\).
- 2 Обчисліть площу основи
Підставте числа у вибрану формулу. Результат — у квадратних одиницях (см², м²). Якщо є корені (√3, √2) — зберігайте їх у точному вигляді, не переводьте у десяткові.
- 3 Перемножте S на висоту
V = Sосн · h. Висота призми — це довжина бічного ребра у ПРЯМІЙ призмі. У похилій — перпендикулярна відстань між основами (не довжина ребра!).
- 4 НЕ додавайте коефіцієнт ⅓
Формула V = S·h, а НЕ V = ⅓·S·h. Коефіцієнт ⅓ — це для піраміди й конуса. Призма — без ⅓. Це найчастіша помилка учнів — перед розрахунком перевірте: призма чи піраміда.
- 5 Перевірте одиниці
Якщо S в см² і h в см — V в см³. Якщо S в м² і h в м — V в м³. Не плутайте: 1 м³ = 1 000 000 см³.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Знайдіть об’єм правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює 4 см, а висота — 10 см.
Знайдіть об’єм правильної трикутної призми зі стороною основи 6 см та висотою 8 см.
Площа рівностороннього трикутника. S = \(\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) = \(\dfrac{36\sqrt{3}}{4}\) = 9√3 см².
Об’єм. V = 9√3 · 8 = 72√3 ≈ 124,7 см³.
Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда з ребрами 5 см, 7 см та 12 см.
Піраміда й призма мають однакову основу (квадрат 5×5 см) й однакову висоту (12 см). У скільки разів об’єм призми більший за об’єм піраміди?
⚠️ Типові помилки учнів
Об’єм призми — одна з найпростіших формул у стереометрії. Складність не в обчисленні, а в уважності. За 5 років у KEVIN я бачила цю помилку щороку — учні знають правильну формулу, але механічно додають ⅓ після попередньої задачі з пірамідою. Мозок на автопилоті.
Мій лайфхак: перед тим як писати формулу, поставте собі питання: «Скільки вершин у фігури нагорі?». Піраміда — одна вершина (конус теж) → є ⅓. Призма — не одна вершина, а цілий многокутник нагорі → нема ⅓. Це мнемоніка, яка працює завжди: одна вершина (піраміда, конус) — множник ⅓. Багато вершин (призма, циліндр) — без множника.
Ще спостереження: якщо у задачі кажуть «паралелепіпед» або «куб» — не губтесь: це частинні випадки призми. Куб — правильна чотирикутна призма зі стороною = висоті (V = a³). Прямокутний паралелепіпед — призма з прямокутною основою (V = a·b·c). Формула V = S·h працює для всіх.
Призма — многогранник, утворений двома паралельними рівними многокутниками (основами) та бічними гранями у формі паралелограмів (у прямої — прямокутників).
Об’єм будь-якої призми обчислюється за формулою V = Sосн · h, де Sосн — площа основи, а h — ВИСОТА призми (перпендикулярна відстань між площинами основ).
Частинні випадки:
- Куб: V = a³ (всі ребра однакові)
- Прямокутний паралелепіпед: V = a·b·c (три різні ребра)
- Правильна трикутна призма: V = \(\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) · h
- Правильна шестикутна призма: V = \(\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) · h
Бічна грань = прямокутник
Бічна грань = паралелограм
V = Sосн · h (без ⅓!)
V = ⅓ · Sосн · h
V = a³
V = a · b · c
Sб = Pосн · h
Sб = ½ · P · m
V = ⅓ · π · R² · h
Sб = π · R · L
V = π · R² · h
Sб = 2 · π · R · h
V = ⁴⁄₃ · π · R³
S = 4 · π · R²
❓ Часті запитання
Чому у формулі об'єму призми нема коефіцієнта ⅓?
Бо призма — це «стовп» з однаковим перерізом по всій висоті. Уяви башту з квадратним перерізом: її об’єм = площа перерізу × висота, просто. Піраміда ж «сужається» до вершини — тому її об’єм у 3 рази менший (коефіцієнт ⅓). Це фундаментальна закономірність стереометрії.
Чим куб відрізняється від правильної чотирикутної призми?
Куб — це ЧАСТКОВИЙ ВИПАДОК правильної чотирикутної призми, де всі ребра однакові (сторона основи = висота = бічне ребро). Всі куби — правильні призми, але не всі правильні призми — куби. Формула об’єму куба: V = a³.
Як знайти об'єм похилої призми, якщо дано довжину бічного ребра?
У похилій призмі ВИСОТА ≠ довжина бічного ребра. Треба знайти перпендикулярну відстань між основами. Якщо дано нахил ребра (кут α з основою): h = l·sin(α), де l — довжина ребра. Потім V = S·h як звичайно.
У скільки разів об'єм призми більший за об'єм піраміди з тими самими вимірами?
Рівно у 3 рази. Якщо основа й висота однакові: Vприз = 3·Vпір. Це правило випливає з того, що будь-який куб можна розбити на 3 рівні піраміди з квадратною основою — звідси й коефіцієнт ⅓ в формулі піраміди.
Чи працює формула V = S·h для похилої призми?
Так, але з нюансом: h — це ВИСОТА призми (перпендикулярна відстань між основами), а НЕ довжина бічного ребра. Для прямої призми вони збігаються (ребро перпендикулярне → його довжина = висоті). У похилій — різні.
Як швидко обчислити об'єм куба на НМТ?
V = a³, де a — довжина ребра. Якщо ребро 5 см: V = 125 см³. Якщо 10 см: V = 1000 см³. Корисно пам’ятати куби від 1 до 10: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.
Що робити, якщо основа призми — складна фігура (наприклад, трапеція)?
Обчисліть площу трапеції за формулою S = \(\dfrac{1}{2}(a+b)h\)тр, де a, b — паралельні сторони, hтр — висота трапеції. Потім V = S·h (де h — вже висота призми, не трапеції). Для шестикутника в основі: S = \dfrac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}. Правило — знайти S основи будь-яким способом, далі універсальне V = S·h.