Об’єм призми = площа основи, помножена на висоту: V = Sосн · h. Формула універсальна для всіх призм – прямих, похилих, трикутних, чотирикутних тощо.
Ключова відмінність від піраміди: об’єм призми у 3 рази більший за об’єм піраміди з тією самою основою та висотою (у піраміди є коефіцієнт ⅓, у призми – нема). Це пастка на НМТ – багато учнів помилково додають ⅓ до призми.
Об’єм призми – базова формула НМТ зі стереометрії, з якої починають усі задачі на об’єм. Вона проста (всього два множники), але й тут легко помилитися: додати зайвий коефіцієнт ⅓ (сплутавши з пірамідою) або взяти периметр замість площі основи. Нижче – 4 розв’язані задачі, методика та правило, яке виключить плутанину. Побачити, який конкурсний бал дають ваші бали з чотирьох предметів, можна в калькуляторі НМТ.
🔑 Ключові формули
V = Sосн · h
V = a² · h
V = \(\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) · h
V = a · b · c
Квадрат: a²
Прямокутник: a·b
Трикутник: (a·h△)/2
Рівносторонній: \(\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\)
Як розв'язувати — покроковий метод
-
1 Визначте форму основи
Основа призми – це многокутник. Якщо квадрат/прямокутник – S = a² або a·b. Якщо трикутник – S = \(\dfrac{\text{основа}\cdot\text{висота}}{2}\), для рівностороннього S = \(\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\).
-
2 Обчисліть площу основи
Підставте числа у вибрану формулу. Результат – у квадратних одиницях (см², м²). Якщо є корені (√3, √2) – зберігайте їх у точному вигляді, не переводьте у десяткові.
-
3 Перемножте S на висоту
V = Sосн · h. Висота призми – це довжина бічного ребра у ПРЯМІЙ призмі. У похилій – відстань між основами (не довжина ребра!).
-
4 НЕ додавайте коефіцієнт ⅓
Формула V = S·h, а НЕ V = ⅓·S·h. Коефіцієнт ⅓ – це для піраміди й конуса. Призма – без ⅓. Це найчастіша помилка учнів – перед розрахунком перевірте: призма чи піраміда.
-
5 Перевірте одиниці
Якщо S в см² і h в см – V в см³. Якщо S в м² і h в м – V в м³. Не плутайте: 1 м³ = 1 000 000 см³.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Знайдіть об’єм правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює 4 см, а висота – 10 см.
V = 160 см³
Знайдіть об’єм правильної трикутної призми зі стороною основи 6 см та висотою 8 см.
Площа рівностороннього трикутника. S = \(\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) = \(\dfrac{36\sqrt{3}}{4}\) = 9√3 см².
Об’єм. V = 9√3 · 8 = 72√3 ≈ 124,7 см³.
V = 72√3 ≈ 124,7 см³
Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда з ребрами 5 см, 7 см та 12 см.
V = 420 см³
Піраміда й призма мають однакову основу (квадрат 5×5 см) й однакову висоту (12 см). У скільки разів об’єм призми більший за об’єм піраміди?
об'єм призми у 3 рази більший
⚠️ Типові помилки учнів
Найчастіша помилка. Пишуть V = ⅓·S·h замість V = S·h. Результат занижений у 3 рази. Правило: призма – БЕЗ ⅓, піраміда – з ⅓.
У правильній чотирикутній призмі з периметром 24 см: сторона a = 24/4 = 6. Якщо підставити 24 у S = a² → 576 (неправильно). Правильно: S = 6² = 36 см².
У похилій призмі бічне ребро довше за ВИСОТУ призми. У формулу V = S·h підставляйте ВИСОТУ (перпендикулярну відстань між основами), НЕ ребро.
Для рівностороннього трикутника S = \(\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\), не \(\dfrac{a\cdot h}{2}\) без знання висоти трикутника. Забувають множник
\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\).
Якщо сторона у см, а висота в м – треба звести до однієї системи. Наприклад, 5 см = 0,05 м. Або 2 м = 200 см. Інакше V вийде у неправильних куб. одиницях.
Об’єм призми – одна з найпростіших формул у стереометрії. Складність не в обчисленні, а в уважності. Типова помилка: учні знають правильну формулу, але механічно додають ⅓ після попередньої задачі з пірамідою. Мозок на автопилоті.
Мій лайфхак: перед тим як писати формулу, поставте собі питання: «Скільки вершин у фігури нагорі?». Піраміда – одна вершина (конус теж) → є ⅓. Призма – не одна вершина, а цілий многокутник нагорі → нема ⅓. Це мнемоніка, яка працює завжди: одна вершина (піраміда, конус) – множник ⅓. Багато вершин (призма, циліндр) – без множника.
Ще спостереження: якщо у задачі кажуть «паралелепіпед» або «куб» – не губтесь: це частинні випадки призми. Куб – правильна чотирикутна призма зі стороною = висоті (V = a³). Прямокутний паралелепіпед – призма з прямокутною основою (V = a·b·c). Формула V = S·h працює для всіх.
Призма – многогранник, утворений двома паралельними рівними многокутниками (основами) та бічними гранями у формі паралелограмів (у прямої – прямокутників).
Об’єм будь-якої призми обчислюється за формулою V = Sосн · h, де Sосн – площа основи, а h – ВИСОТА призми (перпендикулярна відстань між площинами основ).
Частинні випадки:
- Куб: V = a³ (всі ребра однакові)
- Прямокутний паралелепіпед: V = a·b·c (три різні ребра)
- Правильна трикутна призма: V = \(\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) · h
- Правильна шестикутна призма: V = \(\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) · h
Бічна грань = прямокутник
Бічна грань = паралелограм
V = Sосн · h (без ⅓!)
V = ⅓ · Sосн · h
V = a³
V = a · b · c
Sб = Pосн · h
Sб = ½ · P · m
V = ⅓ · π · R² · h
Sб = π · R · L
V = π · R² · h
Sб = 2 · π · R · h
V = ⁴⁄₃ · π · R³
S = 4 · π · R²
❓ Часті запитання
Чому у формулі об'єму призми нема коефіцієнта ⅓?
Бо призма – це «стовп» з однаковим перерізом по всій висоті. Уявіть башту з квадратним перерізом: її об’єм = площа перерізу × висота, просто. Піраміда ж «сужається» до вершини – тому її об’єм у 3 рази менший (коефіцієнт ⅓). Це фундаментальна закономірність стереометрії. Призму й піраміду плутають найчастіше, тому на заняттях з математики до НМТ їх розбирають поруч.
Чим куб відрізняється від правильної чотирикутної призми?
Куб – це ЧАСТКОВИЙ ВИПАДОК правильної чотирикутної призми, де всі ребра однакові (сторона основи = висота = бічне ребро). Всі куби – правильні призми, але не всі правильні призми – куби. Формула об’єму куба: V = a³.
Як знайти об'єм похилої призми, якщо дано довжину бічного ребра?
У похилій призмі ВИСОТА ≠ довжина бічного ребра. Треба знайти перпендикулярну відстань між основами. Якщо дано нахил ребра (кут α з основою): h = l·sin(α), де l – довжина ребра. Потім V = S·h як звичайно.
У скільки разів об'єм призми більший за об'єм піраміди з тими самими вимірами?
Рівно у 3 рази. Якщо основа й висота однакові: Vприз = 3·Vпір. Це правило випливає з того, що будь-який куб можна розбити на 3 рівні піраміди з квадратною основою – звідси й коефіцієнт ⅓ в формулі піраміди.
Чи працює формула V = S·h для похилої призми?
Так, але з нюансом: h – це ВИСОТА призми (перпендикулярна відстань між основами), а НЕ довжина бічного ребра. Для прямої призми вони збігаються (ребро перпендикулярне → його довжина = висоті). У похилій – різні.
Як швидко обчислити об'єм куба на НМТ?
V = a³, де a – довжина ребра. Якщо ребро 5 см: V = 125 см³. Якщо 10 см: V = 1000 см³. Корисно пам’ятати куби від 1 до 10: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.
Що робити, якщо основа призми - складна фігура (наприклад, трапеція)?
Обчисліть площу трапеції за формулою S = \(\dfrac{1}{2}(a+b)h_{\text{тр}}\), де a, b – паралельні сторони, \(h_{\text{тр}}\) – висота трапеції. Потім V = S·h (де h – вже висота призми, не трапеції). Для шестикутника в основі: S = \(\dfrac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}\). Правило – знайти S основи будь-яким способом, далі універсальне V = S·h.