У прямій призмі бічна грань – це завжди прямокутник. У похилій призмі бічні грані – паралелограми; окремі з них можуть бути й прямокутниками, але всі одразу – ні.
Причина проста: у прямій призмі бічні ребра перпендикулярні до основ → всі кути бічної грані прямі → прямокутник. У похилій призмі ребра нахилені до основи → бічна грань у загальному випадку паралелограм. На НМТ достатньо запам’ятати одне асоціативне правило: «пряма = прямокутна».
Це одна з найлегших задач НМТ зі стереометрії (завдання 3 демо-варіанту 2024 – саме про це). Парадокс: ПРОСТО, але й тут помиляються – плутають бічну грань зі стороною основи, забувають ключове слово «пряма», або плутають призму з пірамідою. Нижче – точне правило, розбір реальної задачі НМТ та типові пастки.
🔑 Ключові формули
Прямокутник
Всі 4 кути – прямі (90°). Ширина = сторона основи, висота = бічне ребро.
Паралелограм
Дві пари паралельних сторін. Окрема бічна грань похилої призми може бути й прямокутником, але не всі грані одразу.
Пряма + правильний многокутник в основі
Усі бічні грані – однакові прямокутники. Окремий випадок прямої.
Sбічна = Pосн · h
P – периметр основи, h – висота (= довжина бічного ребра).
Як розв'язувати — покроковий метод
-
1 Прочитайте умову двічі - що саме запитують
Є ТРИ типи питань про грані: (1) основа (вона завжди многокутник – трикутник, квадрат, n-кутник), (2) бічна грань (прямокутник/паралелограм), (3) кількість граней.
-
2 Зверніть увагу на ключове слово
«Пряма» → бічна грань = прямокутник. «Похила» → паралелограм (окремі грані можуть бути прямокутниками). «Правильна» → пряма + правильний многокутник в основі. Без цих слів – задача може стосуватись довільної призми.
-
3 Якщо слово не зазначено - дивіться на рисунок
Якщо бічні ребра намальовані ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО до основ (або кут позначено як 90°) → пряма. Якщо нахилені → похила. На рисунках НМТ перпендикулярність часто позначена маленьким квадратиком у куті.
-
4 Визначте відповідь
Якщо пряма – відповідь «прямокутник» (або «квадрат», якщо сторона основи дорівнює бічному ребру – особливий випадок). Якщо похила – «паралелограм»; чи є серед граней прямокутники, залежить від умови.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Дано пряму трикутну призму. Її бічною гранню є… (А) трикутник (Б) прямокутник (В) відрізок (Г) паралелограм, що не є прямокутником (Д) ромб, що не є квадратом.
Б (прямокутник)
Бічна грань похилої чотирикутної призми – це…?
паралелограм (у загальному випадку)
Дано призму. Бічні ребра утворюють кут 90° з основами. Яка форма бічної грані?
прямокутник
У правильній чотирикутній призмі сторона основи = 5 см, висота = 5 см. Яка форма бічної грані?
квадрат (прямокутник, у якого всі сторони рівні)
⚠️ Типові помилки учнів
Трикутник, квадрат, п’ятикутник – це ОСНОВИ призми. Запитують «бічна грань» → це бічна поверхня, а не основа. Варіант А у задачі НМТ-2024 («трикутник») – саме ця пастка.
Читають «трикутна призма» без «пряма». Машинально обирають паралелограм. Насправді у задачі було «ПРЯМА» – слово часто виділяють. У похилій – паралелограм, але у цій задачі – прямокутник.
Типова неуважність: грань – ДВОвимірна фігура, не одновимірний відрізок. Варіант В в задачі НМТ-2024 – саме ця помилка-«не думаючи».
Бічна грань піраміди – ТРИКУТНИК (бо сходиться у вершину). Бічна грань призми – чотирикутник (прямокутник або паралелограм). У задачі звертайте увагу на слово «призма» vs «піраміда».
Якщо умова натякає на рівні сторони (квадрат) – це НЕ відхилення від «прямокутник», а його частинний випадок. Квадрат = прямокутник, у якого всі сторони однакові.
Задача «бічна грань призми» – з тих, що здаються банально простими, але саме на них учні втрачають бали найчастіше. Типових помилок три: (1) плутанина з основою, (2) ігнорування слова «пряма», (3) відповідь «відрізок» – типова неуважність.
Лайфхак для запам’ятовування: «ПРЯма = ПРЯмокутник». Слова починаються однаково – мнемоніка природна. Для похилої: «похила – паралель» (паралелограм).
Ще одна порада: НА НМТ ця задача – база. Її треба розв’язувати за 15 секунд, не за хвилину. Якщо завдання 3 з’явилося у вас на НМТ – обрали відповідь за 10 секунд → економите 3 хвилини для складних задач далі. Це й є головний урок базових тем: автоматизм на простих завданнях звільняє ресурс для складних.
Призма – многогранник, у якого дві грані (основи) – рівні многокутники, розташовані у паралельних площинах, а решта граней (бічні) – паралелограми.
Пряма призма: бічні ребра перпендикулярні до площини основ. Бічні грані – прямокутники (бо всі кути між бічним ребром і стороною основи – 90°).
Похила призма: бічні ребра НЕ перпендикулярні. Бічні грані – паралелограми. Деякі з них можуть бути прямокутниками, але не всі одночасно.
Правильна призма: пряма призма, у якої основа – правильний многокутник (рівносторонній трикутник, квадрат, правильний шестикутник тощо).
Бічна грань = прямокутник
Бічна грань = паралелограм
V = Sосн · h
V = ⅓ · Sосн · h
Пряма + правильний многокутник в основі
Sбічна = P · h
Sб = Pпер · l, де Pпер – периметр перпендикулярного перерізу, l – бічне ребро
Sб = ½ · P · m
V = ⅓ · π · R² · h
Sб = π · R · L
V = π · R² · h
Sб = 2 · π · R · h
V = ⁴⁄₃ · π · R³
S = 4 · π · R²
❓ Часті запитання
Чому у прямій призмі бічна грань - прямокутник, а у похилій - паралелограм?
Все залежить від кута між бічним ребром і площиною основи. У ПРЯМІЙ цей кут = 90° → всі кути бічної грані прямі → прямокутник. У похилій кут ≠ 90° → бічна грань у загальному випадку паралелограм (окремі грані можуть бути прямокутниками). Геометрія ≠ фізика, це чисті визначення.
Чи може бічна грань похилої призми бути прямокутником?
Так, окрема бічна грань може. Наприклад, у похилого паралелепіпеда з прямокутною основою одна бічна грань перпендикулярна до основи, і тоді дві сусідні з нею бічні грані – прямокутники. Такі задачі є в шкільній математиці. А от усі бічні грані одразу прямокутниками бути не можуть: тоді призма була б прямою.
Як відрізнити пряму призму від похилої на рисунку?
Дивіться на кут між бічним ребром та основою. Якщо ребро йде ВЕРТИКАЛЬНО (перпендикулярно) до основи – пряма. Якщо нахилене під кутом – похила. Часто перпендикулярність позначають маленьким квадратиком у куті на рисунку НМТ.
У правильній чотирикутній призмі бічна грань - квадрат чи прямокутник?
Залежить від розмірів. Правильна чотирикутна призма = пряма призма з квадратом у основі. Її бічна грань – прямокутник, де ширина = сторона основи, висота = висота призми. Якщо вони рівні – це КВАДРАТ (частинний випадок прямокутника). Якщо не рівні – звичайний прямокутник.
Скільки бічних граней має призма?
Стільки ж, скільки сторін у основи. Трикутна призма (трикутник в основі) – 3 бічні грані + 2 основи = 5 граней загалом. Чотирикутна – 4 бічні + 2 = 6 граней (як у звичайного прямокутного паралелепіпеда чи куба). Шестикутна – 6 бічних + 2 = 8 граней.
Чи бічна грань призми завжди чотирикутна?
Так, ЗАВЖДИ. Бічна грань утворена двома паралельними бічними ребрами та двома відповідними сторонами основ. Чотири сторони → чотирикутник. На відміну від піраміди, де бічні грані – трикутники.
У задачі не зазначено, пряма призма чи похила. Що обирати?
Якщо у тексті НЕ вказано «пряма», «похила» чи «правильна», а є рисунок – дивіться на рисунок. Якщо рисунка теж немає, то треба визначити вид призми самостійно, наприклад за допомогою ознак перпендикулярності.