Основна тригонометрична тотожність – це рівність \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\), яка справджується для будь-якого кута \(\alpha\). Вона задає залежність між значеннями синуса і косинуса одного й того самого кута, тому дає можливість знаходити одне з цих значень через інше.
Програма НМТ прямо вимагає знати основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу і виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів із знаходженням їх числового значення. Тобто цю тему не обійти: вона працює і у виразах, і в рівняннях.
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Спростіть вираз \(\operatorname{tg}^{2}\alpha – \operatorname{tg}^{2}\alpha \cdot \sin^{2}\alpha\). Варіанти: А) \(\cos^{2}\alpha\); Б) \(\operatorname{tg}^{2}\alpha\); В) \(0\); Г) \(-\sin^{2}\alpha\); Д) \(\sin^{2}\alpha\).
Д. Виносимо спільний множник: \(\operatorname{tg}^{2}\alpha(1-\sin^{2}\alpha)\). Дужка згортається за основною тотожністю у \(\cos^{2}\alpha\), тому маємо \(\dfrac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}\cdot\cos^{2}\alpha=\sin^{2}\alpha\). Варіант Б може здатися правильним тим, хто виніс множник і забув, що дужка не дорівнює одиниці.
Спростіть вираз \(\dfrac{1-\cos^{2}\alpha}{\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha}\). Варіанти: А) \(\sin\alpha\); Б) \(\operatorname{tg}\alpha\); В) \(1\); Г) \(\cos\alpha\); Д) \(0\).
А. Чисельник за основною тотожністю дорівнює \(\sin^{2}\alpha\). Знаменник розкриваємо через означення тангенса: \(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cos\alpha=\sin\alpha\). Отже, дріб дорівнює \(\dfrac{\sin^{2}\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha\). Варіант В ловить тих, хто скоротив чисельник і знаменник «на око», не спростивши знаменник до кінця.
Обчисліть значення виразу \(\sin^{2}\alpha + 2\cos^{2}\alpha\), якщо \(\cos^{2}\alpha = 0,6\). Варіанти: А) \(1,6\); Б) \(2,2\); В) \(1,2\); Г) \(2\); Д) \(1,36\).
А. Розкладаємо вираз так, щоб зʼявилася основна тотожність: \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1+\cos^{2}\alpha=1+0,6=1,6\). Варіант В) \(1,2\) - це лише \(2\cos^{2}\alpha = 2 \cdot 0,6\): його отримують ті, хто загубив доданок \(\sin^{2}\alpha\).
\(\operatorname{tg}^{2}x \cdot \cos^{2}x + \cos^{2}x=\) Варіанти: А) \(\sin^{2}x\); Б) \(\cos 2x\); В) \(\cos^{2}x\); Г) \(1\); Д) \(\operatorname{tg}^{2}x\).
Г. Перший доданок за означенням тангенса дорівнює \(\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\cdot\cos^{2}x=\sin^{2}x\). Далі маємо \(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\). Варіант А обирають ті, хто спростив перший доданок і не помітив другого.
Обчисліть \(2\sin^{2}x – 2\), якщо \(\cos^{2}x = 0,4\). Варіанти: А) \(-0,8\); Б) \(-1,2\); В) \(0,8\); Г) \(-3,2\); Д) \(1,2\).
А. З основної тотожності \(\sin^{2}x=1-0,4=0,6\), тоді \(2 \cdot 0,6 - 2 = 1,2 - 2 = -0,8\). Варіант Д ловить тих, хто порахував \(2\sin^{2}x\) і забув відняти двійку.
⚠️ Типові помилки учнів
Неправильно. Вона виводиться з рівняння одиничного кола \(x^{2}+y^{2}=1\), а точка на колі є для будь-якого кута повороту, тому тотожність справджується завжди.
Неправильно. Перед радикалом знак обирають залежно від чверті, у якій лежить кут \(\alpha\). Наприклад, якщо \(\alpha\) – кут II чверті, то \(\sin\alpha \gt 0\), а от косинус тупого кута вже відʼємний.
Неправильно. Рівність справджується лише за умови \(\sin\alpha \ne 0\) і \(\cos\alpha \ne 0\), інакше тангенс або котангенс не існує. Зокрема, \(\operatorname{tg}90^\circ\) не існує, бо ділення на нуль неможливе.
Неправильно, знаменники переплутані. Ділення основної тотожності на \(\cos^{2}\alpha\) дає \(1+\operatorname{tg}^{2}\alpha=\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}\), а ділення на \(\sin^{2}\alpha\) дає \(1+\operatorname{ctg}^{2}\alpha=\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha}\). Опора проста: біля тангенса стоїть косинус.
Лише частково. У довідкових матеріалах є основна тотожність, означення тангенса через синус і косинус і формула з тангенсом, а формули з котангенсом і означення котангенса там немає. Тому всю групу треба знати напамʼять.
Найкорисніша звичка у цій темі проста: побачили тангенс або котангенс – одразу перепишіть їх через синус і косинус. Завдання НМТ на тотожності після цього кроку часто згортаються в один-два рядки. І памʼятайте про дужку \(1-\sin^{2}\alpha\): це не «майже одиниця», це рівно \(\cos^{2}\alpha\).
Коментар викладачки. Дивіться, тригонометрія – це лише там, де є синус, косинус, тангенс і котангенс. Усе інше до неї не належить, і це вже добра новина. А ці три-чотири рівності треба просто вивчити напамʼять, бо на них спираються завдання цього блоку.
Формула виводиться з рівняння одиничного кола. Нехай при повороті на кут \(\alpha\) початковий радіус одиничного кола переходить у радіус із кінцем у точці \(P_{\alpha}(x;\,y)\). Ця точка належить колу радіуса \(1\), тому її координати задовольняють рівняння \(x^{2}+y^{2}=1\). Але \(x=\cos\alpha\), а \(y=\sin\alpha\), звідси й отримуємо \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\).
Той самий результат дає теорема Піфагора у прямокутному трикутнику, вписаному в одиничне коло: катети дорівнюють \(y\) і \(x\), гіпотенуза дорівнює \(1\), тому \(y^{2}+x^{2}=1\), тобто \((\sin\alpha)^{2}+(\cos\alpha)^{2}=1\). Запис \((\sin\alpha)^{2}\) для зручності прийнято писати без дужок: \(\sin^{2}\alpha\).
Добуток тангенса і котангенса одного й того самого кута дорівнює одиниці: \(\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1\). Це видно одразу, якщо перемножити почленно рівності \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) і \(\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). Рівність справджується для всіх значень \(\alpha\), за яких тангенс і котангенс мають зміст, тобто коли \(\sin\alpha \ne 0\) і \(\cos\alpha \ne 0\).
Із означення тангенса випливає ще одна корисна річ: якщо \(\cos\alpha=0\), тангенса просто не існує, бо на нуль ділити не можна. Саме тому \(\operatorname{tg}90^\circ\) не існує.
- Подивіться, які функції є у виразі. Якщо там є тангенс або котангенс, першим кроком замініть їх на \(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) і \(\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\): майже завжди після цього все скорочується.
- Пошукайте очима заготовку під основну тотожність. Вирази \(1-\cos^{2}\alpha\) і \(1-\sin^{2}\alpha\) одразу замінюйте на \(\sin^{2}\alpha\) і \(\cos^{2}\alpha\) відповідно.
- Якщо винесення спільного множника дає дужку виду \(1-\sin^{2}\alpha\), виносьте цей множник, а дужку згортайте за основною тотожністю.
- Коли у відповіді має бути число, а дано значення однієї функції, виражайте другу через основну тотожність, а знак перед коренем обирайте за чвертю.
- Перевірте область допустимих значень: формула \(1+\operatorname{tg}^{2}\alpha=\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}\) працює лише за \(\cos^{2}\alpha \ne 0\), а \(1+\operatorname{ctg}^{2}\alpha=\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha}\) лише за \(\sin^{2}\alpha \ne 0\).
Коментар викладачки. Ідемо далі, і тут маленька, але дуже корисна річ: у довідкових матеріалах НМТ є лише дві з них, основна тотожність і формула з тангенсом, а формули з котангенсом там немає, тому всі три краще знати напамʼять. Я раджу виписати три рівності на окремий аркуш і перед кожним практикумом швиденько їх проговорювати вголос.
Хочете план підготовки з математики під ваш рівень? Подивіться курс підготовки до НМТ з математики або залиште імʼя і телефон, і ми передзвонимо.
- Основна тригонометрична тотожність: \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)
- Звʼязок тангенса і котангенса: \(\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1\), справджується за умови \(\sin\alpha \ne 0\) і \(\cos\alpha \ne 0\)
- Наслідок після ділення на \(\cos^{2}\alpha\): \(1+\operatorname{tg}^{2}\alpha=\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}\), за умови \(\cos^{2}\alpha \ne 0\)
- Наслідок після ділення на \(\sin^{2}\alpha\): \(1+\operatorname{ctg}^{2}\alpha=\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha}\), за умови \(\sin^{2}\alpha \ne 0\)
- Означення тангенса і котангенса через синус і косинус: \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), \(\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)
- Вираження однієї функції через іншу: \(\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}\), \(\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}\), знак перед коренем обирають залежно від чверті, у якій лежить кут \(\alpha\)
❓ Часті запитання
Що таке основна тригонометрична тотожність?
Це рівність \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\). Вона задає залежність між значеннями синуса і косинуса одного й того самого кута і дозволяє знаходити одне з цих значень через інше.
Як виразити синус через косинус?
За формулою \(\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}\). Знак перед радикалом обирають залежно від чверті, у якій лежить кут: наприклад, для кута II чверті \(\sin\alpha \gt 0\).
Чому \(1+\operatorname{tg}^{2}\alpha=\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}\)?
Тому що обидві частини основної тотожності поділили на \(\cos^{2}\alpha\) за умови \(\cos^{2}\alpha \ne 0\). Аналогічно ділення на \(\sin^{2}\alpha\) дає \(1+\operatorname{ctg}^{2}\alpha=\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha}\).
Чому тангенс \(90^\circ\) не існує?
Бо \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), а \(\cos 90^\circ = 0\). Ділити на нуль не можна, тому значення тангенса для цього кута не визначене.
Які значення можуть набувати синус і косинус?
Для будь-якого кута від \(0^\circ\) до \(180^\circ\) справджуються нерівності \(0 \le \sin\alpha \le 1\) і \(-1 \le \cos\alpha \le 1\). Це випливає з того, що координати точок одиничного півкола змінюються саме в цих межах.
Що вимагає програма НМТ із цієї теми?
Знати основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу, а також означення синуса, косинуса й тангенса числового аргументу, і вміти виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів зі знаходженням числового значення.