Стандартний вигляд числа — це його запис у формі \(a \cdot 10^{n}\), де показник \(n\) — ціле число (його називають порядком числа), а перший множник \(a\) задовольняє умову \(1 \le a \lt 10\). Наприклад, маса Землі 5 976 000 000 000 000 000 000 000 кг у стандартному вигляді це \(5{,}976 \cdot 10^{24}\) кг, а діаметр молекули водню 0,00000000025 м це \(2{,}5 \cdot 10^{-10}\) м.
Нижче: що таке стандартний вигляд і порядок числа, як визначити порядок, покроковий алгоритм запису числа у стандартному вигляді (і коротший спосіб для круглих чисел), готові приклади великих і малих чисел, дії з такими числами (множення, ділення, додавання і різниця), правила порівняння, сім завдань із відповідями для самоперевірки, пʼять типових помилок і місце теми у програмі НМТ з математики.
🔑 Ключові формули
\(a \cdot 10^{n}\), де \(1 \le a \lt 10\), \(n\) — ціле число
якщо порядок \(x\) дорівнює 4, то \(10\,000 \le x \lt 100\,000\)
якщо порядок \(y\) дорівнює \(-2\), то \(0{,}01 \le y \lt 0{,}1\)
\((a \cdot 10^{m}) \cdot (b \cdot 10^{k}) = (a \cdot b) \cdot 10^{m+k}\)
\((a \cdot 10^{m}) : (b \cdot 10^{k}) = (a : b) \cdot 10^{m-k}\)
однакові порядки: \(4{,}7 \cdot 10^{-3} – 3{,}2 \cdot 10^{-3} = 10^{-3}(4{,}7 – 3{,}2) = 1{,}5 \cdot 10^{-3}\)
різні порядки: \(2{,}3 \cdot 10^{4} + 3{,}7 \cdot 10^{3} = 2{,}3 \cdot 10^{4} + 0{,}37 \cdot 10^{4} = 2{,}67 \cdot 10^{4}\)
на порядок більше \(=\) у 10 разів більше
на два порядки \(=\) у 100 разів
на три порядки \(=\) у 1000 разів
Як розв'язувати — покроковий метод
-
1 Крок 1. Подивіться на число
Воно велике, більше за 10, чи мале, менше за 1? Від цього залежить тільки знак показника, більше нічого.
-
2 Крок 2. Поставте кому після першої значущої цифри
У числі 272 000 це дає 2,72. У числі 0,00013 це дає 1,3. Нулі, які стоять на початку малого числа, у перший множник не йдуть.
-
3 Крок 3. Порахуйте, на скільки знаків рухалась кома
У 272 000 комою відокремили 5 цифр праворуч, тобто зменшили число в \(10^{5}\) разів. У 0,00013 кому перенесли на 4 знаки праворуч, тобто число збільшили на 4 порядки.
-
4 Крок 4. Поставте знак показника
Число зменшували, показник додатний: \(272\,000 = 2{,}72 \cdot 10^{5}\). Число збільшували, показник відʼємний: \(0{,}00013 = 1{,}3 \cdot 10^{-4}\). Тут учні спотикаються найчастіше, тому проговорюйте вголос, що саме ви зробили з числом.
-
5 Крок 5. Перевірте перший множник
Він має бути не менший за 1 і менший за 10. Якщо вийшло 20,52 або 0,5, робота ще не закінчена.
-
6 Крок 6. Для круглих чисел — коротший спосіб
Просто порахуйте нулі. У числі 200 000 після двійки пʼять нулів, отже \(200\,000 = 2 \cdot 10^{5}\). А в числі 0,000007 перед сімкою шість нулів разом з нулем цілих, отже \(0{,}000007 = 7 \cdot 10^{-6}\).
📝 Розбір реальних завдань НМТ
Запишіть у стандартному вигляді 0,010203.
Ставимо кому після першої значущої цифри: перший множник 1,0203. Кому перенесли на 2 знаки праворуч, число збільшили, тому показник відʼємний.
Відповідь: \(1{,}0203 \cdot 10^{-2}\)
Подайте у стандартному вигляді \(0{,}00027 \cdot 10^{5}\).
Перший множник 0,00027 менший за 1, тому запис не стандартний. Обчислюємо добуток: \(0{,}00027 \cdot 10^{5} = 27\), а \(27 = 2{,}7 \cdot 10^{1}\).
Відповідь: \(0{,}00027 \cdot 10^{5} = 27 = 2{,}7 \cdot 10^{1}\)
Виконайте множення \((1{,}7 \cdot 10^{3}) \cdot (3 \cdot 10^{-8})\).
Перші множники окремо: \(1{,}7 \cdot 3 = 5{,}1\). Степені окремо: \(10^{3-8} = 10^{-5}\). Перший множник 5,1 лежить у межах від 1 до 10, тому запис уже стандартний.
Відповідь: \(5{,}1 \cdot 10^{-5}\)
Виконайте ділення \((1{,}4 \cdot 10^{5}) : (2{,}8 \cdot 10^{-2})\).
Перші множники: \(1{,}4 : 2{,}8 = 0{,}5\). Степені: \(10^{5-(-2)} = 10^{7}\). Отримали \(0{,}5 \cdot 10^{7}\), але 0,5 менше за 1, тому позичаємо один порядок.
Відповідь: \(0{,}5 \cdot 10^{7} = 5 \cdot 10^{6}\)
Обчисліть \(2{,}7 \cdot 10^{4} + 3{,}2 \cdot 10^{5}\).
Порядки різні, тому зводимо до старшого: \(2{,}7 \cdot 10^{4} = 0{,}27 \cdot 10^{5}\). Тоді \(0{,}27 \cdot 10^{5} + 3{,}2 \cdot 10^{5} = (0{,}27 + 3{,}2) \cdot 10^{5}\).
Відповідь: \(0{,}27 \cdot 10^{5} + 3{,}2 \cdot 10^{5} = 3{,}47 \cdot 10^{5}\)
Округліть 137 152 до сотень і запишіть результат у стандартному вигляді.
Округлюємо до сотень: \(137\,152 \approx 137\,200\). Ставимо кому після першої значущої цифри: 1,372, кома перенесена на 5 знаків.
Відповідь: 137 200, тобто \(1{,}372 \cdot 10^{5}\)
Порядок числа \(a\) дорівнює \(-18\). Яким є порядок числа \(100a\)?
Множення на 100 піднімає число на два порядки, тому до порядку додаємо 2: \(-18 + 2 = -16\).
Відповідь: \(-16\), бо множення на 100 піднімає число на два порядки
Виконайте множення \((5{,}7 \cdot 10^{8}) \cdot (3{,}6 \cdot 10^{-2})\) і подайте результат у стандартному вигляді.
\((5{,}7 \cdot 10^{8}) \cdot (3{,}6 \cdot 10^{-2}) = (5{,}7 \cdot 3{,}6) \cdot 10^{8-2} = 20{,}52 \cdot 10^{6}\). І ось тут не зупиняємось: 20,52 більше за 10, тому доводимо до кінця.
Відповідь: \(20{,}52 \cdot 10^{6} = 2{,}052 \cdot 10^{7}\)
Подайте у стандартному вигляді число \(237{,}2 \cdot 10^{7}\).
Перший множник тут більший за 10, тому переписуємо його окремо: \(237{,}2 = 2{,}372 \cdot 10^{2}\).
Тоді \(237{,}2 \cdot 10^{7} = 2{,}372 \cdot 10^{2} \cdot 10^{7} = 2{,}372 \cdot 10^{9}\).
Відповідь: \(2{,}372 \cdot 10^{9}\)
Порівняйте числа: 1) \(2{,}9 \cdot 10^{8}\) і \(1{,}8 \cdot 10^{9}\); 2) \(1{,}3 \cdot 10^{-4}\) і \(1{,}29 \cdot 10^{-4}\); 3) \(1{,}8 \cdot 10^{-6}\) і \(8{,}9 \cdot 10^{-7}\).
1) Порядок 8 менший за 9, тому \(2{,}9 \cdot 10^{8} \lt 1{,}8 \cdot 10^{9}\), хоч перший множник 2,9 і виглядає солідніше за 1,8.
2) Порядки однакові, тому вирішує другий десятковий знак: \(1{,}3 \gt 1{,}29\), отже \(1{,}3 \cdot 10^{-4} \gt 1{,}29 \cdot 10^{-4}\).
3) Порядок \(-6\) більший за \(-7\), тому більшим є перше число: \(1{,}8 \cdot 10^{-6} \gt 8{,}9 \cdot 10^{-7}\). Перекладіть у звичайний запис, 0,0000018 проти 0,00000089, і сумнівів не лишиться.
⚠️ Типові помилки учнів
Найчастіша помилка: дійшли до \(20{,}52 \cdot 10^{6}\), зраділи й поставили точку, а запис ще не стандартний, бо 20,52 більше за 10. Правильно: \(20{,}52 \cdot 10^{6} = 2{,}052 \cdot 10^{7}\).
Дзеркальна помилка: отримали \(0{,}5 \cdot 10^{7}\) і теж лишили як є. Але 0,5 менше за 1, тому позичаємо один порядок: \(0{,}5 \cdot 10^{7} = 5 \cdot 10^{6}\).
Для малих чисел показник відʼємний, для великих додатний, і жодного винятку тут немає. Проговорюйте вголос, що саме ви зробили з числом: зменшили — показник додатний, збільшили — відʼємний.
Складають \(2{,}3 \cdot 10^{4}\) і \(3{,}7 \cdot 10^{3}\) напряму. Спершу треба звести до старшого порядку: \(3{,}7 \cdot 10^{3} = 0{,}37 \cdot 10^{4}\), тоді \((2{,}3 + 0{,}37) \cdot 10^{4} = 2{,}67 \cdot 10^{4}\).
Найтихіша помилка: бачать \(1{,}92 \cdot 8^{-29}\) і рахують це стандартним виглядом, хоч в основі стоїть 8, а не 10. Стандартний вигляд — це лише \(a \cdot 10^{n}\).
Дивіться, тема сама невелика, а тримає на собі одразу три навички з програми НМТ (НМТ, це національний мультипредметний тест): степінь з цілим показником, округлення і порівняння чисел. Тому розберемо її швиденько, але до кінця.
За 6 років у KEVIN і понад 300 учнів я бачила в цій темі рівно пʼять помилок, і майже завжди це не незнання, а поспіх. Раджу спершу дописати відповідь, а потім окремо, вже спокійно, поглянути тільки на перший множник і спитати себе: він від 1 до 10? Ні-ні-ні, помилятись тут абсолютно нормально, це тема на увагу, а не на розум. На діагностиці я показую цю перевірку в один рух: обвели перший множник олівцем, глянули на нього, і тільки після цього ставимо відповідь. На курсі ми ганяємо саме такі короткі самоперевірки, бо на тесті вони економлять вам не бали за знання, а бали за неуважність.
Про НМТ скажу відкрито. Окремого завдання з формулюванням «запишіть число у стандартному вигляді» в офіційних тестах ЗНО і НМТ з математики за 2009-2024 роки немає: в архіві з 54 варіантів слово «стандартний» не трапляється жодного разу, і в програмі НМТ цей термін теж прямо не названий. Тому обіцяти вам, що це «завдання, яке точно буде», я не стану. Але дивіться, що програма НМТ вимагає у розділі «Дійсні числа»: степінь з натуральним, цілим та раціональним показниками, правила округлення цілих чисел і десяткових дробів, порівняння дійсних чисел. Стандартний вигляд, це всі три навички, зібрані в один рядок. Плюс фізика і хімія, де без такого запису ви просто не прочитаєте умову. Одна тема це добре, а в розділі «Дійсні числа» їх десяток, і на курсі ми проходимо їх усі за такою самою логікою.
Якщо зійшлися всі сім завдань, тема закрита. Якщо спіткнулись на пʼятому або сьомому, вертайтесь до блоку про дії й перечитайте його ще раз, повільніше.
Дивись також: НМТ з математики: структура, теми, підготовка · Алгебра: усі теми розділу · Формули скороченого множення · Формули для НМТ: повний довідник · Математика НМТ: повний каталог тем
Означення. Стандартний вигляд числа, це запис у вигляді добутку \(a \cdot 10^{n}\), у якому перший множник обовʼязково лежить у межах від 1 до 10, причому саму десятку вже не беремо: \(1 \le a \lt 10\). Показник \(n\) при цьому — будь-яке ціле число. Такий запис ще називають стандартним записом числа, це те саме.
Що можна записати. У підручнику алгебри 8 класу є важливе уточнення: у стандартному вигляді можна записати будь-яке додатне число, і велике, і дуже мале. Наприклад, маса Землі 5 976 000 000 000 000 000 000 000 кг це \(5{,}976 \cdot 10^{24}\) кг, а діаметр молекули водню 0,00000000025 м це \(2{,}5 \cdot 10^{-10}\) м.
Дивись на перший множник — він вирішує все. Запис 0,42 не стандартний, бо 0,42 менше за 1. Запис \(19{,}2 \cdot 10^{2}\) не стандартний, бо 19,2 більше за 10. Запис \(0{,}05 \cdot 10^{-12}\) не стандартний з тієї ж причини, що й перший. А \(1{,}92 \cdot 8^{-29}\) не стандартний, бо в основі степеня стоїть 8, а не 10. Зате число 3,7 стандартне саме собою: \(3{,}7 = 3{,}7 \cdot 10^{0}\).
Порядок числа. Порядок числа, це показник степеня \(n\) у записі \(a \cdot 10^{n}\), і визначити його означає просто прочитати цей показник. У масі Землі \(5{,}976 \cdot 10^{24}\) кг порядок дорівнює 24, у діаметрі молекули водню \(2{,}5 \cdot 10^{-10}\) м порядок дорівнює \(-10\). Порядок корисний тим, що одразу дає уявлення про розмір числа, навіть якщо ви не дивитесь на перший множник: якщо порядок числа \(x\) дорівнює 4, то \(10\,000 \le x \lt 100\,000\); якщо порядок числа \(y\) дорівнює \(-2\), то \(0{,}01 \le y \lt 0{,}1\).
Правило-опора. Великий додатний порядок означає дуже велике число, великий за модулем відʼємний порядок означає дуже мале. І звідси ж фраза, яку ви чуєте на фізиці: одне число на порядок більше за інше, це в 10 разів більше, на два порядки, це вже в 100 разів.
Готові приклади з підручника. Великі числа: \(272\,000 = 2{,}72 \cdot 10^{5}\), \(20\,500 = 2{,}05 \cdot 10^{4}\), територія України \(6{,}037 \cdot 10^{5}\) \(\text{км}^2\), швидкість світла \(3 \cdot 10^{5}\) км/с. Малі числа: \(0{,}00013 = 1{,}3 \cdot 10^{-4}\), \(0{,}0005 = 5 \cdot 10^{-4}\), діаметр молекули води \(2{,}8 \cdot 10^{-7}\) мм, маса пташки колібрі \(1{,}7 \cdot 10^{-3}\) кг. Працює і у зворотному напрямку: щоб з \(6{,}037 \cdot 10^{5}\) отримати звичайний запис, переносимо кому на 5 знаків праворуч і читаємо 603 700 \(\text{км}^2\).
Дії з числами. Перші множники перемножуємо або ділимо окремо, степені десятки окремо, а додавати і відніматимати можна тільки після того, як обидва числа зведені до однакового порядку. Правило-опора одне: множення і ділення проходять легко, а от у сумі й різниці спершу шукайте очима порядки. Однакові — працюємо далі. Різні — спочатку зводимо.
Порівняння. Спершу порівнюємо порядки: у кого порядок більший, те число і більше, а перші множники в цьому разі взагалі не потрібні. Якщо порядки однакові, тоді вже порівнюємо перші множники. Найпідступніший випадок, коли обидва порядки відʼємні: у парі \(1{,}8 \cdot 10^{-6}\) і \(8{,}9 \cdot 10^{-7}\) порядок \(-6\) більший за \(-7\), тому більшим є перше число, хоч 8,9 і виглядає більшим за 1,8.
- Визнач: число велике (\(\gt 10\)) чи мале (\(\lt 1\)) — це задає знак показника.
- Постав кому після першої значущої цифри: 272 000 → 2,72; 0,00013 → 1,3.
- Порахуй, на скільки знаків рухалась кома — це модуль показника.
- Число зменшували — показник «+»; збільшували — показник «−».
- Перевір перший множник: \(1 \le a \lt 10\).
- Множення: перші множники перемнож, показники додай.
- Ділення: перші множники поділи, показники відніми.
- Додавання/віднімання: спершу глянь на порядки. Однакові — винеси степінь за дужки.
- Різні порядки — зведи до старшого, потім додавай.
- Наприкінці ще раз перевір перший множник.
- Порівняй порядки: у кого порядок більший, те число і більше.
- Перші множники в цьому разі взагалі не потрібні.
- Порядки однакові — порівнюй перші множники.
- Обидва порядки відʼємні: \(-6\) більше за \(-7\), тому \(1{,}8 \cdot 10^{-6} \gt 8{,}9 \cdot 10^{-7}\).
- Сумніваєшся — перекладай у звичайний запис.
❓ Часті запитання
Що таке стандартний вигляд числа?
Це запис числа у формі \(a \cdot 10^{n}\), де перший множник \(a\) задовольняє умову \(1 \le a \lt 10\), а показник \(n\) є цілим числом. Наприклад, \(272\,000 = 2{,}72 \cdot 10^{5}\), а \(0{,}00013 = 1{,}3 \cdot 10^{-4}\). У стандартному вигляді можна записати будь-яке додатне число.
Як записати число 0,0005 у стандартному вигляді?
\(0{,}0005 = 5 \cdot 10^{-4}\). Переносимо кому на чотири знаки праворуч, щоб у цілій частині лишилась одна цифра, відмінна від нуля, і отримуємо 5. Число при цьому збільшили на чотири порядки, тому показник степеня беремо зі знаком мінус. Ідея полягає в збереженні рівноваги: зміна самого числа компенсується протилежною зміною показника степеня \(10^{n}\). Якщо числове значення збільшується — степінь зменшується, і навпаки. Це дозволяє змінити форму запису, не змінюючи суть.
Чи записане число 3,7 у стандартному вигляді?
Так. Число 3,7 задовольняє умову \(1 \le a \lt 10\), тому це вже стандартний вигляд, а його порядок дорівнює 0: \(3{,}7 = 3{,}7 \cdot 10^{0}\). А от 0,42 і 117 у стандартному вигляді не записані, бо перший множник виходить за межі від 1 до 10.
Що означає, що одне число на порядок більше за інше?
Що воно більше в 10 разів. Якщо на два порядки, то в 100 разів, якщо на три, то в 1000 разів. Порядок числа, це показник степеня у записі \(a \cdot 10^{n}\), тому різниця в один порядок завжди дає множник 10.
Чому запис \(19{,}2 \cdot 10^{2}\) не є стандартним виглядом числа?
Бо перший множник 19,2 більший за 10, а умова вимагає \(1 \le a \lt 10\). Правильний запис такий: \(19{,}2 \cdot 10^{2} = 1{,}92 \cdot 10^{3}\). Так само не проходить \(0{,}05 \cdot 10^{-12}\), бо 0,05 менше за 1, у стандартному вигляді це \(5 \cdot 10^{-14}\).
Чи є стандартний вигляд числа в програмі НМТ з математики?
Прямо такого формулювання у програмі НМТ немає, і в офіційних тестах ЗНО та НМТ за 2009-2024 роки воно не зустрічається. Але програма вимагає степінь з цілим показником, округлення і порівняння дійсних чисел, а стандартний вигляд, це саме ці навички разом.